山东师范大学附属中学2020届高三最后一卷（打靶卷）数学试题 Word版含解析

山东师范大学附属中学2020届高三最后一卷（打靶卷）数学试题 Word版含解析

2020 年普通高等学校招生全国统一考试(山师附中模拟卷) 数学学科 本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案 写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合 ，按交集定义，即可求解. 【详解】由 ，得 ，所以 ， 故选：B． 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2.已知复数 z 满足 z(1+2i)=i，则复数 在复平面内对应点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象 限 【答案】D 【解析】 【分析】 { }2= | 2 0M x x − < { }2, 1,0,1,2N = − − M N = ∅ { }1 { }0,1 { }1,0,1− M 2 2 0x x− < ( )0,2x∈ { }1M N∩ = z 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标得答案． 【详解】解：由 ，得 ，所以 复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基 础题． 3.已知向量 ， ，则“m＜1”是“ ， 夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合平面向量数量积的知识可得若 ， 夹角为钝角，则 且 ，再由 且  结合充分条件、必要条件的概念即可得解. 【详解】若 ， 夹角为钝角，则 且 ， 由 可得 ，解得 且 ， 由 且  可得“m＜1”是“ ， 夹角为钝角”的必要不充分条 件. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用平面向量数量积解决向量夹角问题，考查了充分条件、必要条件的 判断，属于中档题. 4.甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区 分站的位置，则不同的站法总数是（ ） A. 90 B. 120 C. 210 D. 216 z (1 2 )z i i+ = (1 2 ) 2 1 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 5 i i iz ii i i −= = = ++ + − 2 1 5 5z i= − ∴ z 2 1,5 5  −   ( ), 2a m= − ( )2,1b = a b a b 1m < 4m ≠ − { 1m m < }4m ≠ − { }1m m < a b cos , 0a b <  cos , 1a b ≠ −  2 2 2cos , 4 5 a b ma b a b m ⋅ −= = + ⋅      2 2 2 2 0 4 5 2 2 1 4 5 m m m m − < + ⋅ − ≠ − + ⋅ 1m < 4m ≠ − { 1m m < }4m ≠ − { }1m m < a b 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有 2 人站在同一 台阶上，剩余 1 人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解. 【详解】因为甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上，且每级台阶最多站 2 人， 所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有： 种站法； 第二类，有 2 人站在同一台阶上，剩余 1 人独自站在一个台阶上，共有： 种 站法； 所以每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是 . 故选：C 【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的 能力，属于中档题. 5.已知定义在 上 函数 ， ， ， ， 则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断函数在 时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到 ，比较 三个数的大小，然后根据函数在 时的单调性， 比较出三个数 的大小. 【详解】当 时， ，函数 在 时，是增函数.因为 ，所以函数 是奇函数，所 以有 ，因为 ，函 的 3 3 6 3 120C A = 2 2 2 3 6 2 90C C A = 120 90 210+ = R ( ) 2 xf x x= ⋅ 3(log 5)a f= 3 1(log )2b f= − (ln3)c f= a b c c b a> > b c a> > a b c> > c a b> > 0x > 3(log 2)b f= 3 3log 5,log 2,ln3 0x > , ,a b c 0x > '( ) 2 2 ( ) 2 ln 2 2 0x x x xf x x x f x x= ⋅ = ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ > ( )f x 0x > ( ) 2 2 ( )x xf x x x f x−− = − ⋅ = − ⋅ = − ( )f x 3 3 3 1 1(log ) ( log ) (log 2)2 2b f f f= − = − = 3 3log 5 loln3 1 g 2 0> > > > 数 在 时，是增函数，所以 ，故本题选 D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性 是解题的关键. 6.对 n 个不同的实数 a1，a2，…，an 可得 n！个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n！ 行的数阵.对第 i 行 ai1，ai2，…，ain，记 bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+(－1)nnain，i=1，2，3…， n！.例如用 1，2，3 可得数阵如图，对于此数阵中每一列各数之和都是 12，所以 bl+b2+…b6= －12+2×12－3×12=－24.那么，在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中，b1+b2+…b120 等于（ ） A. －3600 B. －1800 C. －1080 D. －720 【答案】C 【解析】 【分析】 根据用 1，2，3，4，5 形成的数阵和每个排列为一行写成一个 n！行的数阵，得到数阵中行 数，然后求得每一列各数字之和，再代入公式求解. 【详解】由题意可知：数阵中行数为： ， 在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中， 每一列各数字之和都是： ， . 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 7.已知 中， ， ， ， 为 所在平面上一点，且满足 .设 ，则 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 ( )f x 0x > c a b> > 5! 120= ( )5! 5 1 2 3 4 5 360÷ × + + + + = ( ) ( )1 2 120... 360 1 2 3 4 5 360 3 1080b b b+ + + = × − + − + − = × − = − ABC∆ 60A = ° 6AB = 4AC = O ABC∆ OA OB OC= = AO AB ACλ µ= +   λ µ+ 11 18 7 11 分析】 由由 ，得：点 是 的外心，由向量的投影的概念可得： ， 再代入运算 ，即可 【详解】解：由 ，得：点 是 的外心， 又外心是中垂线的交点，则有： ， 即 ， 又 ， ， ， 所以 ，解得： ， 即 ， 故选： ． 【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题. 8.在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M 是 AC 的中点，则三棱锥 B1－ ABM 的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意找到三棱锥 B1－ABM 的外接球球心为 中点,即可求出其半径,则可求出其表面 积. 【详解】如图所示： 【 OA OB OC= = O ABC∆ · 18 · 8 AO AB AO AC  =  =     6 2 3 3 4 2 λ µ λ µ + =  + = OA OB OC= = O ABC∆ · 18 · 8 AO AB AO AC  =  =     ( )· 18 ( )· 8 AB AC AB AB AC AC λ µ λ µ  + =  + =       6AB = 4AC = 12AB AC =   6 2 3 3 4 2 λ µ λ µ + =  + = 4 9 1 6 λ µ  =  = 4 1 11 9 6 18 λ µ+ = + = C 3 2 π 2π 5 4 π 9 8 π 1AB 取 中点为 ， 中点为 .并连接 , 则 平面 , 所以 所以三棱锥 B1－ABM 的外接球球心为 中点 . 所以 , 所以三棱锥 B1－ABM 的外接球的表面积为 . 故选:B 【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积,属于基础题.解本题的关键在于画出三棱柱，找到 三棱锥的外接球球心. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 得 0 分. 9.Keep 是一款具有社交属性的健身 APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身 饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep 可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天 的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据 Keep 记录的 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了 下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ） 1AB O AB D DM OD ⊥ ABM DA DB DM= = 1OA OB OM OB= = = 1AB O 1 2 2 2 ABR = = 24 2S Rπ π= = A. 月跑步里程最小值出现在 2 月 B. 月跑步里程逐月增加 C. 月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D. 1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，变化趋势，波动性即得解 【详解】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在 2 月，故 A 正确； 月跑步平均里程不是逐月增加的，故 B 不正确； 月跑步里程数从小到大排列分别是：2 月，8 月，3 月，4 月，1 月，5 月，7 月，6 月，11 月，9 月，10 月，故 5 月份对应的里程数为中位数，故 C 正确； 1 月到 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数据处理能 力，属于基础题 10.已知函数 ，下列结论不正确的是（ ） A. 函数图像关于 对称 B. 函数在 上单调递增 C. 若 ，则 ( ) sin cos sin cosf x x x x x= + + − 4x π= ,4 4 π π −   1 2( ) ( ) 4f x f x+ = 1 2 2 ( )2x x k k Z π π+ = + ∈ D. 函数 f(x)的最小值为－2 【答案】BCD 【解析】 【分析】 去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域， 由三角函数的性质求之． 【详解】解：由题意可得： ， 函数图象如下所示 故对称轴为 ， ，故 A 正确； 显然函数在 上单调递增， 上单调递减，故 B 错误； 当 ， 时函数取得最小值 ，故 D 错误； 要使 ，则 ，则 或 ， 或 ， 所以 或 ， ，故 C 错误． 故选：BCD． 32cos (2 ,2 )2cos sin cos 4 4( ) sin cos sin cos 2sin sin cos 52sin [2 ,2 ]4 4 x x k kx x xf x x x x x x x x x x k k π ππ π π ππ π  ∈ − +< = + + − = =    ∈ + + 4x k π π= + ( )k Z∈ ,04 π −   0, 4      π 5 24x k π π= + ( )k Z∈ ( )min 2f x = − 1 2( ) ( ) 4f x f x+ = 1 2( ) ( ) 2f x f x= = 1 12 πx k= 1 122x k π π= + 2 22x k π= 2 222x k π π= + ( )1 2,k k Z∈ 2 1 22x x k π π+ = + 2 1x x kπ+ = ( )k Z∈ 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的应用，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号， 变为分段函数，再分段求值域，属于中档题． 11.已知正方体 棱长为 ，如图， 为 上的动点， 平面 .下 面说法正确的是（ ） A. 直线 与平面 所成角的正弦值范围为 B. 点 与点 重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C. 点 为 的中点时，若平面 经过点 ，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯 形 D. 己知 为 中点，当 的和最小时， 为 的中点 【答案】AC 【解析】 【分析】 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法可判断 A 选项的正误；证明出 平面 ，分别取棱 、 、 、 、 、 的中点 、 、 、 、 、 ，比较 和六边形 的周长和面积的大小，可判断 B 选项的正误；利用空间向量法找出平 面 与棱 、 的交点 、 ，判断四边形 的形状可判断 C 选项的正误；将 矩 形 与 矩 形 延 展 为 一 个 平 面 ， 利 用 、 、 三 点 共 线 得 知 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 M 1CC AM ⊥ α AB α 3 2,3 2       M 1C α M 1CC α B α N 1DD AM MN+ M 1CC D DA DC 1DD x y z D xyz− 1AC ⊥ 1A BD 1 1A D 1 1A B 1BB BC CD 1DD E F Q N G H 1A BD EFQNGH α 1 1A D 1 1A B E F BDEF 1 1ACC A 1 1CC D D A M N 最短，利用平行线分线段成比例定理求得 ，可判断 D 选项的正误. 【详解】对于 A 选项，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，则点 、 、设点 ， 平面 ，则 为平面 的一个法向量，且 ， ， ， 所以，直线 与平面 所成角的正弦值范围为 ，A 选项正确； 对于 B 选项，当 与 重合时，连接 、 、 、 ， 在正方体 中， 平面 ， 平面 ， ， 四边形 是正方形，则 ， ， 平面 ， 平面 ， ，同理可证 ， ， 平面 ， 易知 是边长为 的等边三角形，其面积为 ，周长 为 . AM MN+ MC D DA DC 1DD x y z D xyz− ( )2,0,0A ( )2,2,0B ( )( )0,2, 0 2M a a≤ ≤ AM ⊥ α AM α ( )2,2,AM a= − ( )0,2,0AB = 2 2 4 2 3 2cos , ,3 22 8 8 AB AM AB AM AB AM a a ⋅  < > = = = ∈ ⋅ × + +         AB α 3 2,3 2       M 1CC 1A D BD 1A B AC 1 1 1 1ABCD A B C D− 1CC ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD 1BD CC∴ ⊥  ABCD BD AC⊥ 1CC AC C=  BD∴ ⊥ 1ACC 1AC ⊂ 1ACC 1AC BD∴ ⊥ 1 1AC A D⊥ 1A D BD D ∩ = 1AC∴ ⊥ 1A BD 1A BD 2 2 ( )1 23 2 2 2 34A BDS = × =△ 2 2 3 6 2× = 设 、 、 、 、 、 分别为棱 、 、 、 、 、 的中点， 易知六边形 是边长为 的正六边形，且平面 平面 ， 正六边形 的周长为 ，面积为 ， 则 的面积小于正六边形 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于 C 选项，设平面 交棱 于点 ，点 ， ， 平面 ， 平面 ， ，即 ，得 ， ， 所以，点 为棱 的中点，同理可知，点 为棱 的中点，则 ， ， E F Q N G H 1 1A D 1 1A B 1BB BC CD 1DD EFQNGH 2 //EFQNGH 1A BD EFQNGH 6 2 ( )236 2 3 34 × × = 1A BD EFQNGH α 1 1A D ( ),0,2E b ( )0,2,1M ( )2,2,1AM = − AM ⊥ α DE ⊂ α AM DE∴ ⊥ 2 2 0AM DE b⋅ = − + =  1b = ( )1,0,2E∴ E 1 1A D F 1 1A B ( )2,1,2F ( )1,1,0EF = 而 ， ， 且 ， 由空间中两点间的距离公式可得 ， ， ， 所以，四边形 为等腰梯形，C 选项正确； 对于 D 选项，将矩形 与矩形 延展为一个平面，如下图所示： 若 最短，则 、 、 三点共线， ， ， ，所以，点 不是棱 的中点，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折 线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题. 12.函数 f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（ ） A. 当 a=1 时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 2x－y+1=0 B. 当 a=1 时，f(x)存在唯一极小值点 x0 且－1＜f(x0)＜0 C. 对任意 a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点 D. 存在 a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】 逐一验证选项，选项 A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项 B 通过导数 求出函数极值并判断极值范围，选项 C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直 ( )2,2,0DB = 1 2EF DB∴ =  //EF DB∴ EF DB≠ 2 2 22 0 1 5DE = + + = ( ) ( ) ( )2 2 22 2 1 2 2 0 5BF = − + − + − = DE BF∴ = BDEF 1 1ACC A 1 1CC D D AM MN+ A M N 1 1//CC DD 2 2 2 2 2 2 2 MC AC DN AD ∴ = = = − + 1 12 2 2MC CC= − ≠ M 1CC 线 y＝a 的交点问题． 【详解】选项 A，当 时， ， ， 所以 ，故切点为 ， ， 所以切线斜率 ， 故直线方程为： ，即切线方程为： ， 选项 A 正确. 选项 B，当 时， ， ， 恒成立，所以 单调递增， 又 , ,所以 ，即 ，所以 所以存在 ，使得 ，即 则在 上， ，在 上， ， 所以在 上， 单调递减，在 上， 单调递增. 所以 存在唯一的极小值点 . ,则 ， ，所以 B 正确. 对于选项 C、D， ， 令 ，即 ，所以 , 则令 , ,令 ,得 1a = ( ) sinxf x e x= + ( ),x π∈ − +∞ ( )0 1f = ( )0,1 ( ) cosxf x e x′ = + ( )0 2k f= ′ = ( )1 2 0y x− = − 2 1y x= + 1a = ( ) sinxf x e x= + ( ),x π∈ − +∞ ( ) cosxf x e x′ = + ( ) sin 0xf x e x′′ = − > ( )f x′ 2 02f π ′ − = >   3 4 3 4 3 3 1cos4 4 2 2f e e π π π π−   ′ − = + − =     −   23 3 4 2 2e e e π π  = >   >  3 4 2e π > 3 4 1 2 2e π < 3 04f π ′ − <   0 3 ,4 2x π π ∈ − −   ( )0 0f x′ = 0 0cos 0xe x+ = ( )0，xπ− ( ) 0f x′ < ( )0x + ∞， ( ) 0f x′ > ( )0，xπ− ( )f x ( )0x + ∞， ( )f x ( )f x 0x ( ) 0 0 0 0 0 0sin sin cos 2 sin 4 xf x e x x x x π = + = − = −   0 3 ,4 2x π π ∈ − −   0 3,4 4x π ππ − ∈ − −   ( )02 sin 1,04x π − ∈ −   ( ) sinxf x e a x= + ( ),x π∈ − +∞ ( ) 0f x = sin 0xe a x+ = 1 sin x x a e − = ( ) sin x xF x e = ( ),x π∈ − +∞ ( ) 2 sincos sin 4 x x xx xF x e e π − − −  ′ = = ( ) 0F x′ = , 1,4x k k k Z ππ= + ≥ − ∈ 由函数 的图像性质可知: 时， ， 单调递减. 时， ， 单调递增. 所以 时， 取得极小值， 即当 时 取得极小值， 又 ,即 又因为在 上 单调递减，所以 所以 时， 取得极小值， 即当 时 取得极大值， 又 ，即 所以 当 时， 所以当 ，即 时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以 C 不正确. 当 ，即 时， 与 的图象只有一个交点 即存在 a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点，故 D 正确. 故选：ABD ． 2 sin 4y x π = −   52 ,2 +4 4x k k π ππ π ∈ +   2 sin 04x π − >   ( )F x 5 2 ,2 + +24 4x k k π ππ π π ∈ +   2 sin 04x π − <   ( )F x 52 , , 14x k k Z k ππ= + ∈ ≥ − ( )F x 3 5, ,4 4x π π= −  ( )F x 3 5 4 4 3 5sin sin4 4 e e π π π π −    −      < < 3 5 4 4F F π π   − < <        3, 4 ππ − −   ( )F x ( ) 3 43 2 4 2F x F e ππ ≥ − = −   2 , , 04x k k Z k ππ= + ∈ ≥ ( )F x 9, ,4 4x π π=  ( )F x 9 4 4 9sin sin4 4 e e π π π π         < < 9 4 4F F π π   > >        ( ) 4 2 4 2 F x F e π π ≤ =   ( ),x π∈ − +∞ ( )3 4 4 2 2 2 2 e F x e π π− ≤ ≤ 3 41 2 2 ea π − < − 3 4 2a e π> 4 1 2 2a e π− = 42a e π = − 1= −y a ( ) sin x xF x e = 【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑 推理等学科素养的体现，属于难题题． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 的展开式中的常数项为____________________.(用数字作答) 【答案】240 【解析】 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 的幂指数等于 0，求出 的值，即可求得常数项． 【详解】解： 展开式的通项公式为 ， 令 ，求得 ，可得展开式中的常数项为 ， 故答案为：240． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数， 二项式系数的性质，属于基础题． 14.一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的 1 个绿球和 3 个红球.甲、乙两人从箱中轮 流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到 红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿 球的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】 先 定 义 事 件 ， ， ， ， 从 而 得 到 事 件 “ 甲 恰 好 摸 到 两 次 绿 球 的 情 况 为 事 件 ，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。 【详解】设“甲摸到绿球”的事件为 ，则 ， “甲摸到红球”的事件为 ，则 ， 设“乙摸到绿球”的事件为 ，则 ， 6 2 1(2 )x x − x r 6 2 1(2 )x x − 6 6 3 1 6 2 ( 1)r r r r rT C x− − + = −   6 3 0r− = 2r = 2 4 6 2 240C = 15 128 A A B B ( ), ,AAA B B AABA ABAA+ A 1( ) 4P A = A 3( ) 4P A = B 1( ) 4P B = “乙摸到红球”的事件为 ，则 ， 在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是 ， 所以 . 故答案为： 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解 的关键是准确定义相关事件。 15.己知 a，b 为正实数，直线 y=x－a 与曲线 y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则 的最小 值是_______________. 【答案】4 【解析】 【分析】 由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得 、 ，进而可得 ，再 利用 ，结合基本不等式即可得解. 【详解】对 求导得 ， 因为直线 y=x－a 与曲线 y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)， 所以 即 ， 所以 ，所以切点为 ， 由切点 在切线 y=x－a 上可得 即 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立. B 3( ) 4P B = ( ), ,AAA B B AABA ABAA+ 1 1 3 1 3 3 114 4 4 4 4 4 4P = × × × + × × × + 3 3 1 1 15 4 4 4 4 128 × × × = 15 128 1 1 a b + 0 1x b= − 0 0y = 1b a+ = ( )1 1 1 1 a ba b a b  + = + +   ( )lny x b= + 1y x b ′ = + 0 1 1x b =+ 0 1x b= − ( ) ( )0 0ln ln 1 0y x b b b= + = − + = ( )1 ,0b− ( )1 ,0b− 1 0b a− − = 1b a+ = ( )1 1 1 1 2 2 2 4b a b aa ba b a b a b a b  + = + + = + + ≥ +  ⋅ =  1 2b a= = 所以 的最小值是 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及 运算求解能力，属于中档题. 16.已知双曲线 ，F1，F2 是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上且在第一象限， 圆 M 是△F1PF2 的内切圆.则 M 的横坐标为_________，若 F1 到圆 M 上点的最大距离为 ，则△F1PF2 的面积为___________. 【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 【分析】 利用双曲线的定义以及内切圆的性质，求得 的横坐标.由 F1 到圆 M 上点的最大距离，求 得圆 的半径，求得直线 的方程，由此求得 点的坐标，从而求得 ，进而 求得△F1PF2 的面积. 【详解】双曲线的方程为 ，则 . 设圆 分别与 相切于 ， 根据双曲线的定义可知 ，根据内切圆的性质可知 ①， 而 ②. 由①②得： ，所以 , 所以直线 的方程为 ，即 的横坐标为 . 设 的坐标为 ，则 到圆 M 上点的最大距离为 ， 即 ，解得 . 设直线 的方程为 ，即 . 1 1 a b + 4 4 2 2 18 yx − = 4 3 24 3 M M 1PF P 1 2,PF PF 2 2 18 yx − = 1, 2 2, 1 8 3a b c= = = + = M 1 2 1 2, ,PF PF F F , ,B C A 1 2 2PF PF− = ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2PF PF PB F B PC F C F B F C F A F A− = + − + = − = − = 1 2 1 2 6F A F A F F+ = = 1 24, 2F A F A= = ( )1,0A MA 1x = M 1 M ( )( )1, 0M r r > 1F 1 4 3MF r+ = 2 24 4 3r r+ + = 4 3 3r = 1PF ( )( )3 0y k x k= + > 3 0kx y k− + = 到直线 的距离为 ，解得 . 所以线 的方程为 . 由 且 在第一象限，解得 . 所以 ， . 所以△F1PF2 的面积为 . 故答案为： ； 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查圆的几何性质、直线和圆的位置关系，考查数 形结合的数学思想方法，属于中档题. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.已知数列 的前 项和为 ，且 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和 ，且 对任意 恒成立，求 范 M 1PF 2 4 3 33 4 3 31 k k k − + = + 3k = 1PF ( )3 3y x= + ( ) 2 2 3 3 18 y x yx  = + − = P ( )5,8 3P ( ) ( )22 1 5 3 8 3 16PF = + + = 2 1 2 14PF PF a= − = ( )1 2 1 2 1 2 PF PF F F r× + + ⋅ ( )1 4 316 14 62 3 = × + + × 24 3= 1 24 3 { }na n nS ( )*2 1n nS a n N= − ∈ { }na 1 n n n n ab S S + = ⋅ { }nb n nT nT m≥ *n N∈ m 围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）因为 ，所以 ，两式相减，整理得 ，令 ， 求出 ，进而得解； （2）求出数列 的通项公式，通过裂项相消法进行求和，将 与 0 比较，判断出 的单调性，求出 的最小值，从而得解. 【详解】（1）因为 ① 所以 ② 由①式 ②式得 ，即 ， 又当 时， ，解得 ， 所以 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 . （2） ， ， ， 所以 单调递增， 所以 ， 所以 . 12n na -= 1 3m ≤ 2 1n nS a= − 1 12 1n nS a− −= − 12n na a −= 1n = 1a { }nb 1n nT T+ − nT nT ( )*2 1n nS a n N= − ∈ ( )1 12 1 2n nS a n− −= − ≥ − ( )12 2 2n n na a a n−= − ≥ ( )12 2n na a n−= ≥ 1n = 1 12 1a a= − 1 1a = { }na 12n na -= .1 2 2 11 2 n n nS −= = −− ( )( ) 1 11 1 2 1 1 1( )2 2 1 2 12 1 2 1 n n n n nn n n n ab S S − ++ + = = = −⋅ − −− − 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1n n n nT + +         = − + − + + − = −        − − − − − − −         1 1 2 1 1 1( ) 02 2 1 2 1n n n nT T+ + +− = − >− − nT ( ) 1min 1 3nT T= = 1 3m ≤ 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用、裂项相消法求和及确定数列中的最大（小）项， 考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.当数列出现前后项差的时候，可考 虑裂项相消求和法.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些 项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点. 18.平面四边形 ABCD 中，边 BC 上有一点 E，∠ADC=120°，AD=3， ， ， （1）求 AE 的长： （2）己知∠ABC=60°求△ABE 面积的最大值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）在 中利用正弦定理可得 ，根据边角关系可得 ，进而可得 ，利用勾股定理计算即可； （2）先利用余弦定理算出 ，再通过三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）在 中由正弦定理可得 ， 即 ， 因为 ， 所以 是锐角， 2sin 3ECD∠ = 3DE = 3 3 4CE = AE 2 3= 3 3 CED sin CDE∠ CDE∠ 90ADE∠ = ° 12AB BE⋅ ≤ CED sin sin DE CE ECD CDE =∠ ∠ 3 3 3 4 2 sin 3 CDE = ∠ 1sin ,2CDE∴ ∠ = CE DE< CDE∠ 故 ，又∠ADC=120° ，在直角三角形 中， ； （2）在 中， ，由余弦定理可得： ， 因为 ，当且仅当 时等号成立， 从而， . 所以△ABE 面积的最大值为 . 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理解三角形，考查面积公式的应用，是中档题. 19.在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点 E 是 BC 的中点.将△ABD 沿 BD 折起，使 AB⊥AC，连接 AE，AC，DE，得到三棱锥 A－BCD. （1）求证：平面 ABD⊥平面 BCD （2）若 AD=1，二面角 C－AB－D 的余弦值为 ，求二面角 B－AD－E 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 AB⊥AC 和 AB⊥AD，可得AB⊥平面 ADC，所以AB⊥CD，而BD⊥DC，所以CD⊥ 30∠ = °CDE 90ADE∴∠ = ° ADE 2 2 2 23 3 12, 2 3AE AD DE AE= + = + = = ABE△ 2 3, 60AE ABC= ∠ = ° 2 2 2 2 22 cos60 ,12AE AB BE AB BE AB BE AB BE= + − ⋅ ° = + − ⋅ 2 2 2 , 12 2 ,AB BE AB BE AB BE AB BE+ ≥ ⋅ ∴ ⋅ + ≥ ⋅ 12AB BE∴ ⋅ ≤ 2 3AB BE= = 1 3sin 60 3 32 4ABES AB BE AB BE= ⋅ ° = ⋅ ≤  3 3 7 7 3 .2 平面 ADB，从而可证得平面 ABD⊥平面 BCD； （2）由 AB⊥平面 ADC，可知二面角 C－AB－D 平面角为∠CAD，由二面角 C－AB－D 的余弦值为 ，解出 AB，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面ABD 的法向量，平面 AED 的法向量，即可得二面角 B－AD－E 的正弦值 【详解】（1）证明：因为直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC， 所以 AB⊥AD， 因为 AB⊥AC， ，所以 AB⊥平面 ADC， 所以 AB⊥CD， 因为 BD⊥DC， , 所以 CD⊥平面 ADB， 因为 CD 在平面 BCD 内， 所以平面 ABD⊥平面 BCD （2）由（1）知 AB⊥平面 ADC， 所以二面角 C－AB－D 的平面角为∠CAD， 因为 CD⊥平面 ADB，所以 AD⊥CD， 所以 ,得 ,所以 , 设 ，则 ， 由题意可知 ,所以 ，即 ，解得 ， 所以 ， 如图所示，建立空间直角坐标系 D-xyz，则 , 所以 , 因为 CD⊥平面 ADB，所以令平面 ADB 的法向量为 ， 的 7 7 AC AD A= AB BD B= 1 7cos 7 ADCAD AC AC ∠ = = = 7AC = 6CD = AB x= 2 1BD x= + ABD △ DCB AB AD CD BD = 2 1 6 1 x x = + 2x = 3, 3BD BC= = 3 6 3 6(0,0,0), ( 3,0,0), (0, 6,0), ( ,0, ), ( , ,0)3 3 2 2D B C A E 3 6 3 6( ,0, ), ( , ,0)3 3 2 2DA DE= =  (0,1,0)m = 设平面 AED 的法向量为 ，则 ，即 ， 取 ，则 ， 设二面角 B－AD－E 的平面角为 ， 则 ， 所以 ， 所以二面角 B－AD－E 的正弦值为 ， 【点睛】 此题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等知识，属于中档题. 20.从 年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.目前，蝗虫 已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大，主要危害禾本科植物， 能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数 和平均温度 有关，现收集了以往某地 的 组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 平均温度 ( , , )n x y z= 0 0 n DA n DE  ⋅ =  ⋅ =   3 6 03 3 3 6 02 2 x z x y  + =  + = 1y = 2, 1x z= − = θ 1 1 21 2 1 1 m ncos m n θ ⋅= = = × + +     21 3sin 1 ( )2 2 θ = − = 3 2 2019 y x 7 /x C 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数 个 表中 ， . （1）根据散点图判断， 与 （其中 为自然对数的底数）哪一 个更适宜作为平均产卵数 关于平均温度 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理 由）并由判断结果及表中数据，求出 关于 的回归方程.（结果精确到小数点后第三位） （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到 以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工 防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到 以上的概率为 . ①记该地今后 年中，恰好需要 次人工防治的概率为 ，求 取 得最大值时相应的概率 ； ②根据①中的结论，当 取最大值时，记该地今后 年中，需要人工防治的次数为 ， 求 的数学期望和方差. /y 7 11 21 24 66 115 325 x y z ( )( ) 1 n i i x x z z = − −∑ ( )2 1 n i i x x = −∑ 27.429 81.286 3.612 40.182 147.714 lni iz y= 7 1 1 7 i i z z = = ∑ y a bx= + dxy ce= e 2.718=  y x y x 28 C 28 C ( )0 1p p< < ( )3,n n n N ∗≥ ∈ 2 ( )f p ( )f p 0p ( )f p 6 X X 附：对于一组数据 、 、 、 ，其回归直线 的斜率和截距 的最小二乘法估计分别为： ， . 【 答 案 】（1 ） 更 适 宜 ； ； （ 2 ） ① ； ② ， . 【解析】 【分析】 （1）利用图象可得出 更适宜作为平均产卵数 关于平均温度 的回归类型，对 ，两边取自然对数，求出 关于 的回归方程，进而可得出 关于 的回归方程； （2）①对函数 求导数，利用导数判断该函数的单调性，求出函数取最值时对应的 的值； ②由 取最大值时对应 的值，得出 ，由二项分布的数学期望和方差公 式可得出 、 的值. 【详解】（1）由散点图可以判断， 更适宜作为平均产卵数 关于平均温度 的回归 类型， 对 两边取自然对数得 ，令 ， ， ，则 . 因为 ， ， 所以， 关于 的回归方程为 ， 所以， 关于 的回归方程为 ； 的 ( )1 1,x z ( )2 2,x z  ( )7 7,x z z a bx= + ( )( ) ( ) 7 1 7 2 1 i i i i i x x z z b x x = = − − = − ∑ ∑ a z bx= − dxy ce= 0.272 3.849xy e ∧ −= 0 2p n = ( ) 2E X = ( ) 4 3D X = dxy ce= y x dxy ce= z x y x ( )f p p ( )f p p ( ),X B n p∼ ( )E X ( )D X dxy ce= y x dxy ce= ln lny c dx= + lnz y= lna c= b d= z a bx= + ( )( ) ( ) 7 1 7 2 1 40.182 0.272147.714 i i i i i x x z z b x x = = − − = = ≈ − ∑ ∑ 3.612 0.272 27.429 3.849a z bx= − = − × = − z x 0.272 3.849z x= − y x  0.272 3.849xy e −= （2）①由 ， ， 且 ，当 时， ；当 时， . 所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 所以，函数 在 处取得极大值，亦即最大值， ； ②由①可知，当 时， 取最大值， 又 ，则 ，由题意可知 ， ， . 【点睛】本题考查非线性回归方程的求解，考查了利用导数求函数的最值，同时也考查了利 用二项分布求随机变量的数学期望和方差，考查计算能力，属于中等题. 21.已知椭圆 E： 经过点 ，且焦距为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 为椭圆 的左顶点，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，记直线 、 的斜率分别为 ， ，若 ，求直线 的方程. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 【分析】 (1)由焦距为 可得 ，，再将点 代入椭圆方程与 联立即可求出椭圆 的方程； (2)由题意知，直线 的斜率不存在，不符合要求，故可设直线 方程为 ，设 ，将直线与椭圆的方程联立，消去 利用根与系数关系可求出 ， ( ) ( ) 22 2 1 n nf p C p p −= ⋅ ⋅ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 32 2 2 22 1 2 1 1 2 1 2n n n n n nf p C p p n C p p C p p p n p− − −  = ⋅ − − − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − − −′  ( ) ( )32 1 2n nC p p np−= ⋅ − ⋅ − 3n ≥ n ∗∈N 20 p n < < ( ) 0f p′ > 2 1pn < < ( ) 0f p′ < ( )f p 20, n      2 ,1n      ( )f p 2p n = 0 2p n ∴ = 2p n = ( )f p 6n = 1 3p = 16, 3X  ∼    ( ) 16 23E X∴ = × = ( ) 1 2 46 3 3 3D X = × × = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3( 1, )2 − 2 E A E 2F l E P Q AP AQ 1k 2k 1 2 1 2k k+ = − l 2 2 14 3 x y+ = 2 2 0x y− − = 2 1c = 3( 1, )2 − 2 2 1a b− = E l l ( 1)y k x= − 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y y 1 2x x+ 代入 化简即可求出 . 【详解】(1)由条件 ，又 ，联立解得 椭圆 的方程： . (2)由条件得 ， ， 若 斜率不存在，由对称性知 ，不符合要求； 若 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 方程为 ， 联立 ，得 设 ，则 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以直线 的方程为 . 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆相交问题的处理方法，直线的 斜率公式，属于中档题. 22.已知函数 ， . （Ⅰ）若曲线 与曲线 在公共点处有共同的切线，求实数 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数 是否有零点？如果有，求出该 的 1 2x x 1 2 1 2k k+ = − k 2 2 2 1c a b= − = 2 2 1 9 14a b + = 2, 3a b= = E 2 2 14 3 x y+ = ( 2,0)A − 2 (1,0)F l 1 2 0k k+ = l l k l ( 1)y k x= − 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y = − + = 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,4 3 4 3 k kx x x xk k −+ = =+ + 1 2 1 2 1 22 2 y yk k x x + = ++ + 1 2 1 2 ( 1) ( 1) 2 2 k x k x x x − −= ++ + 1 2 3 3(1 1 )2 2k x x = − + −+ + 1 2 1 2 3( 4)[2 ]( 2)( 2) x xk x x + += − + + 2 2 2 2 2 2 83( 4)4 3[2 ]4 12 82 44 3 4 3 k kk k k k k ++= − − + × ++ + 2 2 2 1 1(2 )kk k k += − = − 1 1 2k − = − 2k = l 2 2 0x y− − = ( ) lnf x a x= a R∈ ( )y f x= ( )g x x= a 1 ( ) ( ) 12 xxeF x xf x − = − + 零点；若没有，请说明理由. 【答案】（I） ；（II）无零点. 【解析】 试 题 分 析 ： （ Ⅰ ） 设 曲 线 与 曲 线 公 共 点 为 则 由 ， ，即可求 的值； （Ⅱ）函数 是否有零点，转化为函数 与 函数 在区间 是否有交点，求导根据函数单调性可知 最小 值为 ， 最大值为 ，从而无零点 试题解析： （Ⅰ）函数 的定义域为 ， ， 设曲线 与曲线 公共点为 由于在公共点处有共同的切线，所以 ，解得 ， . 由 可得 . 联立 解得 . （Ⅱ）函数 是否有零点， 转化为函数 与函数 在区间 是否有交 点， ，可得 ， 2 ea = ( )y f x= ( )g x x= ( )0 0,x y ( ) ( )0 0f x g x=′ ′ ( ) ( )0 0f x g x= a ( ) ( ) 1 12 xxeF x xf x − = − + ( ) ( ) ln2 eH x xf x x x= = ( ) 1 12 xxeG x − = − ( )0,x∈ +∞ ( )H x 1 1 2H e   = −   ( )G x ( ) 11 2G = − ( ) lnf x a x= ( )0,+∞ ( ) af x x ′ = ( ) 1 2 g x x ′ = ( )y f x= ( )g x x= ( )0 0,x y 0 0 1 2 a x x = 2 0 4x a= 0a > ( ) ( )0 0f x g x= 0 0lna x x= 2 0 0 0 4 , , x a alnx x  = = 2 ea = ( ) ( ) 1 12 xxeF x xf x − = − + ( ) ( ) ln2 eH x xf x x x= = ( ) 1 12 xxeG x − = − ( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) ln2 eH x xf x x x= = ( ) ( )ln 1 ln2 2 2 e e eH x x x= +′ + = 令 ，解得 ，此时函数 单调递增； 令 ，解得 ，此时函数 单调递减. ∴当 时，函数 取得极小值即最小值， . 可得 ， 令 ，解得 ，此时函数 单调递增； 令 ，解得 ，此时函数 单调递减. ∴当 时，函数 取得极大值即最大值， . 因此两个函数无交点.即函数 无零点. 点睛：本题中涉及根据函数零点个数求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零 点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解， 如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函 数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. ( ) 0H x′ > 1 ,x e  ∈ +∞   ( )H x ( ) 0H x′ < 10,x e  ∈   ( )H x 1x e = ( )H x 1 1 2H e   = −   ( ) 1 12 xxeG x − = − ( ) ( ) 11 12 xG x x e −= −′ ( ) 0G x′ > 0 1x< < ( )G x ( ) 0G x′ < 1x > ( )G x 1x = ( )G x ( ) 11 2G = − ( ) ( ) 1 12 xxeF x xf x − = − +