2018-2019学年山东省山东师范大学附属中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年山东省山东师范大学附属中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山东省山东师范大学附属中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．设，复数表示纯虚数，则的值为（ ）‎ A．1 B．-1 C． D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接由复数z的实部等于0且虚部不等于0求得m的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵z＝m2﹣1+（m-1）i表示纯虚数，‎ 则，解得：m＝1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题．‎ ‎2．设复数满足，则复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用i4＝1，复数的运算法则、虚部的定义即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵i4＝1，∴i2019＝（i4）504•i3＝﹣i．‎ ‎∴i．‎ ‎∴，其虚部为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的周期性、复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．‎ ‎3．在复平面内，若复数，则复数的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】由复数的模长及除法运算求解即可 ‎【详解】‎ 则= ，其共轭复数为，对应的点为 位于第一象限 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎4．如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断：‎ ‎①在区间内单调递增； ‎ ‎②在区间内单调递减；‎ ‎③在区间内单调递增； ‎ ‎④是极小值点； ‎ ‎⑤是极大值点.‎ 其中正确的是（ ）‎ A．③⑤ B．②③ C．①④⑤ D．①②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用使f′（x）＞0的区间是增区间，使f′（x）＜0的区间是减区间，分别对①②③进行逐一判定，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值，再对④⑤进行判定．‎ ‎【详解】‎ 对于①，f′（x）在区间（-2,2）内有正有负，故函数y＝f（x）在区间（-2,2）内有增有减，故①不正确；‎ 对于②，在区间（2,4）,f′（x）＞0,故f（x）单增，故②不正确；‎ 对于③，在区间（2,3）,f′（x）＞0,故f（x）单增，故③正确；‎ 对于④，当x＝ 时，函数f′（x），故④不正确；‎ 对于⑤，当x时，f′（x）=0，且f′（x）先正后负，x=4为极大值点故⑤正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于易错题．‎ ‎5．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）‎ A．-1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用向量垂直数量积为0的性质求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵向量（1，1，0），（﹣1，0，2），‎ ‎∴k（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），‎ ‎2（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2， 2），‎ ‎∵k和2互相垂直，‎ ‎∴（k）•（2）＝ ‎ 解得k．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量垂直时实数的值的求法，解题时要认真审题，是基础题．‎ ‎6．从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有（ ）‎ A．9种 B．12种 C．54种 D．72种 ‎【答案】C ‎【解析】分析可得，“这3人中至少有1名女生”与“只选派男生”为对立事件，即则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选派男生的方案数，由排列的方法计算全部方案与只选派男生的方案数，计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，有A53种选法，‎ 其中只选派男生的方案数为A33，‎ 分析可得，“这3人中至少有1名女生”与“只选派男生”为对立事件，‎ 则这3人中至少有1名女生等于A53﹣A33＝54种，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列的运用，出现最多、至少一类问题时，常见的方法是间接法．‎ ‎7．已知正四面体，分别是棱的中点，则直线与直线所成角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取AD的中点G, 连接MG,GN,MN,证明∠GNM或其补角即为异面直线AC与MN所成的角，求解 为等腰直角三角形,得异面直线AC与MN所成的角为 ‎【详解】‎ 取AD的中点G,连接MG,GN,MN,分别是棱的中点,得GN是 的中位线,,同理,MG是 的中位线 , 故∠GNM或其补角即为异面直线AC与MN所成的角.‎ 设正四面体ABCD的边长为1,则 ., , 为等腰直角三角形, ‎ 故异面直线AC与MN所成的角为,‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角，考查线线平行，注意异面直线所成角的范围，是基础题 ‎8．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先对函数进行求导，求出在x＝1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．‎ ‎【详解】‎ ‎∵y＝exlnx，∴，∴f'（1）＝e，f（1）＝0，‎ 点（1，0）处的切线为：y＝e（x﹣1）与坐标轴的交点为：（0，-e），（，0），‎ S1，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率，属基本知识的考查．‎ ‎9．已知函数有极值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出函数的导数，由题意得导数在R上有两个不相等的零点，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）＝x3-ax2+（a+6）x，‎ ‎∴f′（x）＝3x2-2ax+a+6，‎ ‎∵函数在R上存在极值，‎ ‎∴函数在R上不是单调函数 ‎∴f′（x）＝3x2-2ax+a+6，有两个不等的根，‎ 即△＝4a2﹣12a﹣72＞0，‎ 解得a＜﹣3，或a＞6，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数a的取值范围，属于中档题，解题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只一个零点的误解．‎ ‎10．近期20所高校要来山师附中进行高考招生政策宣讲，学校办公室要从小郑、小赵、小李、小汤、小王5名工作人员中选派4人分别从事接待、礼仪、保卫、司机四项不同的工作，若其中小郑和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）‎ A．48种 B．36种 C．18种 D．12种 ‎【答案】B ‎【解析】按小郑和小赵参加的人数分类讨论求解即可 ‎【详解】‎ 若小郑和小赵只有一人参加：共 若小郑和小赵都参加：共，综上共有24+12=36种 ‎【点睛】‎ 本题考查简单的排列组合，考查分类讨论思想，是基础题 ‎11．已知，则（ ）‎ A．2017 B．2018 C．2019 D．2020‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用导数运算及赋值法求则可求 ‎【详解】‎ 令x=2019,得，则 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算，考查计算能力，是基础题 ‎12．已知函数，，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求导，求出的最值，再根据，使得，得到关于a的不等式解得即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ， 故的最小值为;‎ 函数≤a,故a≥e 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数与函数的最值问题，以及不等式有解问题，双变元问题，考查转化化归能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知，则的值为________．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】由排列数的运算求解即可 ‎【详解】‎ 由题，解得n=15‎ 故答案为15‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列数的运算法则，熟记公式准确计算是关键，是基础题 ‎14．已知函数是奇函数，，当时，，则不等式的解集为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意构造函数g（x）＝xf（x）求出g′（x），根据条件判断出g（x）的单调性和奇偶性，由f（2）＝0得g（2）＝0，结合g（x）单调性判断出各个区间上的符号，从而可得到f（x）在各个区间上的符号，即可求出不等式f（x）＜0的解集．‎ ‎【详解】‎ 设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝x•f′（x）+f（x），‎ ‎∵当x<0时，有x•f′（x）+f（x）>0，则g′（x）>0，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，‎ ‎∵函数f（x）是R上奇函数，∴函数g（x）是R上的偶函数，‎ 则g（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ 又f（2）＝0，则g（2）＝0，‎ ‎∴在（0，2）内恒有g（x）＞0；在（2，+∞）内恒有g（x）＜0，‎ 在（﹣∞，﹣2）内恒有g（x）＜0；在（﹣2，0）内恒有g（x）＞0，‎ ‎∴在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0，‎ 在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0，‎ ‎∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞），‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题，考查构造函数法，属于中档题．‎ ‎15．已知函数(a≤0)，函数，若不存在，使，则实数的取值范围为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）＝g′（x2），得到关于a的不等式解得即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝ex﹣ax，函数g（x）＝﹣x3﹣ax2，‎ ‎∴f′（x）＝ex﹣a＞﹣a，g′（x）＝﹣x2﹣2ax＝﹣（x）2，‎ ‎∵不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）＝g′（x2），‎ ‎∴，‎ 解得-1≤a≤0，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎16．将正方形沿对角线折成直二面角，‎ ‎①与平面所成角的大小为 ‎②是等边三角形 ‎③与所成的角为 ‎④ ‎ ‎⑤二面角为 则上面结论正确的为_______．‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．‎ ‎【详解】‎ 作出如图的图象，E是BD的中点，易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角 对于命题①AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；‎ 对于命题②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；‎ 对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；‎ 对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；‎ 对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角的平面角，又BH=DH=AC,BD=∠BHD=-故二面角不是 综上知②③④是正确的 故答案为②③④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．‎ ‎17．求下列函数在指定点的导数：‎ ‎（1） ，； ‎ ‎（2），．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由导数运算法则求导即可求解（2）由导数运算法则求导即可求解 ‎【详解】‎ ‎（1）， ‎ ‎（2），‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算法则，熟记求导公式是关键，考查运算能力，是基础题 ‎18．某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产千件需另投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且满足函数关系：．‎ ‎（1）写出年利润（万元）关于该新型玩具年产量（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？‎ ‎【答案】（1）（2）9千件；38.6万元 ‎【解析】（1）由G(x)等于销售收入减去成本求解即可；（2）求导判断函数单调性求最值即可 ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，（）‎ ‎（2）由（1）得，令，得. ‎ ‎∴当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减.‎ ‎∴当时，有.‎ 即当年产量为9千件时，该厂在该商品生产中获得的年利润最大且最大值为38.6万元 ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的应用，考查函数的最值，考查运算求解能力，是基础题 ‎19．正四棱柱中，，为中点，为中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角为，求的长．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）2‎ ‎【解析】（1） 法一，取中点G,连接EG，GF,BF,证明EBFG为平行四边形,得EG∥BF,即可证明； 法二，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，证明即可（2）由求a即可 ‎【详解】‎ ‎（1） 法一，取中点G,连接EG, GF,BF,则GF∥且GF=，同理EB∥且EB=，故EB∥FG,EB=FG,则EBFG为平行四边形，则EG∥BF, 平面，所以平面 法二：以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系 设，则，，，，， ‎ 故，．， ‎ 设平面的法向量．‎ ‎∴，，得 取，得平面的一个法向量．，‎ 又平面，所以平面； ‎ ‎（2） ，则．‎ ‎ 即 ‎ 解得，即的长为2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的判定，线面角的向量求法，考查空间想象和运算求解能力，是中档题 ‎20．已知函数 ‎（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间及函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若时，函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单减区间为；单增区间为；最大值为， 最小值为 （2）‎ ‎【解析】（1）由求得a,b，得，求得f（x）的单调性求得最值，（2）由在区间上是减函数，得，分离a求解即可 ‎【详解】‎ ‎（1）与直线垂直的直线斜率为2，‎ ‎，则 ‎ 则，（），‎ 当时， ，递减；当时，，递增.‎ 所以的单减区间为；的单增区间为. ‎ 因为在上减，在上增,又>‎ 所以函数在上的最大值为， 最小值为 ‎ ‎（2）若时， ‎ 若函数在区间上是减函数，则 即，设，，‎ 所以在上单调递增， ‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与最值，考查不等式恒成立问题，注意转化化归的应用，考查运算能力，是中档题 ‎21．在四棱锥中，平面平面，，，，，，.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）（3）见解析 ‎【解析】（1）由面面垂直的性质得面，即可证明面（2）取中点为，连结，，证明， 以为原点，如图建系易知，，，，求面及面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可（3）假设存在点使得∥面， 设，由∥面，为的法向量，得，‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵面面，面面，‎ ‎∵，面，∴面， ‎ ‎∵面， ∴，‎ 又，∴面， ‎ ‎（2）取中点为，连结，，‎ ‎∵， ∴， ‎ ‎∵， ∴， ‎ 以为原点，如图建系易知，，，，‎ 则，，，，‎ 设为面的法向量，令．， ‎ 设为面的法向量，令．‎ ‎， ‎ 则二面角余弦值为 ‎ 故二面角正弦值为 ‎（3）假设存在点使得∥面， 设，，‎ 由（2）知，，，， ‎ 有∴‎ ‎∵∥面，为的法向量，‎ ‎∴，即，得 ‎ 综上，存在点，即当时，点即为所求．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的证明，二面角的向量求法，线面平行的向量表示，考查转化和计算能力，是中档题 ‎22．已知函数，（）．‎ ‎（1）若，求的极值； ‎ ‎（2）若时，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）极大值是，的极小值是（2）‎ ‎【解析】（1） ，求导，判断，变化求得极值；（2）解法一:分离a,求最值得a的范围，解法二: ，讨论a的范围得解 ‎【详解】‎ ‎（1）当时， ‎ 时，则，.‎ 当变化时，，变化状态如下表：‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎ +‎ ‎ 0‎ ‎ -‎ ‎ 0‎ ‎ +‎ ‎ ↗‎ 极大 ‎ ↘‎ 极小 ‎ ↗‎ 所以的极大值是，的极小值是 ‎ ‎（2））等价于当时，恒成立 解法一: 当，等号成立，当，，设 ‎，由经典不等式 ∴‎ 或者，，‎ ‎， ∴，，又 ∴‎ 解法二: ，，‎ 若，则，，∴，即不等式恒成立.（充分性）‎ 若， ∴ ‎ ‎，，，，‎ 这与当时，恒成立相矛盾（必要性）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能力，是中档题