高考数学专题复习：课时达标检测(六十四) 参数方程

高考数学专题复习：课时达标检测(六十四) 参数方程

课时达标检测(六十四) 参数方程 ‎1．(2017·郑州模拟)已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ－，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．‎ 解：(1)ρ＝2cos＝2(cos θ＋sin θ)，‎ 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)C1的普通方程为x＋y＋2＝0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，以为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d＝＝，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.‎ ‎2．在极坐标系中，已知三点O(0,0)，A，B.‎ ‎(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；‎ ‎(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为(θ是参数)，若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．‎ 解：(1)O(0,0)，A，B对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，则过点O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y＝0，将代入可求得经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(2)圆C2：(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，圆心为(－1，－1)，半径为|a|，而圆C1的圆心为(1,1)，半径为，所以当圆C1与圆C2外切时，有＋|a|＝，解得a＝±.‎ ‎3．(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C的参数方程为 ‎(1)写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；‎ ‎(2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝，求点M轨迹的直角坐标方程．‎ 解：(1)直线l的直角坐标方程为y＝x，曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设点M(x0，y0)，过点M的直线为l1：(t为参数)，由直线l1与曲线C相交可得：＋tx0＋2ty0＋x＋2y－2＝0，由|MA|·|MB|＝，得t1t2＝＝，即x＋2y＝6，x2＋2y2＝6表示一椭圆，设直线l1为y＝x＋m，将y＝x＋m代入＋y2＝1得，3x2＋4mx＋‎2m2‎－2＝0，由Δ>0得－0，上述方程有两个相异的实数根，设为t1，t2，‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝8，‎ 化简有3cos2α＋4sin αcos α＝0，‎ 解得cos α＝0或tan α＝－，‎ 从而可得直线l的直角坐标方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.‎ ‎6．已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程；‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ 解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α), 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．‎ ‎7．(2017·河南六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝相交于A，B两点．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．‎ 解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcos θ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x(x≠0)．由直线l的参数方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1t2＝7，所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝×＝6，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，所以△AOB的面积是|AB|·d＝×6×2＝12.‎ ‎8．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求＋的值．‎ 解：(1)由ρsin2θ＝8cos θ得，ρ2sin2θ＝8ρcos θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.‎ ‎(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0)，将直线l的方程代入y2＝8x，得(tsin α)2＝8(2＋tcos α)，整理得sin2α·t2－8cos α·t－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，∴t1＋t2＝，t1t2＝－＜0，故＋＝＋＝＝＝＝ ＝.‎