高考数学专题复习练习：第十章 10_2排列与组合的概念

高考数学专题复习练习：第十章 10_2排列与组合的概念

‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)‎ ‎＝ ‎(2)C＝＝＝ 性质 ‎(1)0！＝1；A＝n！‎ ‎(2)C＝C；C＝C＋C ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)‎ ‎(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　×　)‎ ‎(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　)‎ ‎(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　√　)‎ ‎(5)A＝nA.(　√　)‎ ‎(6)kC＝nC.(　√　)‎ ‎1．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24 B．48‎ C．60 D．72‎ 答案　D 解析　由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种情况，再将剩下的4个数字排列得到A种情况，则满足条件的五位数有C·A＝72(个)．故选D.‎ ‎2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A．144 B．120 C．72 D．24‎ 答案　D 解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.‎ ‎3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)‎ A．8 B．24 C．48 D．120‎ 答案　C 解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，‎ 共有AA＝48(种)．‎ ‎4．某高三毕业班有40人，同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)‎ 答案　1 560‎ 解析　依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560(条)留言．‎ ‎5．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．‎ 答案　14‎ 解析　分两类：①有1名女生：CC＝8.‎ ‎②有2名女生：CC＝6.‎ ‎∴不同的选派方案有8＋6＝14(种). ‎ 题型一　排列问题 例1　(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法．‎ ‎(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．‎ 答案　(1)2 520　(2)216‎ 解析　(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2 520(种)排法．‎ ‎(2)当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种．故不同的排法共有A＋CA＝120＋96＝216(种)．‎ 引申探究 ‎1．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？‎ 解　前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040(种)排法．‎ ‎2．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？‎ 解　相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．根据分步乘法计数原理，共有A·A·A＝288(种)排法. ‎ ‎3．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？‎ 解　不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法，故共有A·A＝1 440(种)排法．‎ ‎4．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？‎ 解　先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A＝5(种)排法；再安排其他人，有A＝720(种)排法．所以共有A·A＝3 600(种)排法．‎ 思维升华　排列应用问题的分类与解法 ‎(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. ‎ ‎　由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数．‎ 求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？‎ ‎(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？‎ 解　(1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A个，2,3去排四个空档，有A个，即有AA个；而0在首位时，有AA个，即有AA－AA＝252(个)含有2,3，但它们不相邻的五位数．‎ ‎(2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有A个，去掉0在首位，即有A－A个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A－A＝100(个)六位数．‎ 题型二　组合问题 例2　(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是(　　)‎ A．60 B．63‎ C．65 D．66‎ ‎(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法．‎ 答案　(1)D　(2)36‎ 解析　(1)因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有C＋C＋CC＝66(种)不同的取法．‎ ‎(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C＝36(种)不同的选法．‎ 引申探究 ‎1．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？‎ 解　由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C＝C＝126(种)不同的选法．‎ ‎2．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？‎ 解　可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C种选法，再从余下的9人中选4人，有C种选法，所以共有C×C＝378(种)不同的选法．‎ ‎3．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？‎ 解　可考虑间接法，从12人中选5人共有C种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C种，共有C－C＝666(种)不同的选法．‎ 思维升华　组合问题常有以下两类题型变化 ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．‎ ‎　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ 解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，‎ ‎∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．‎ ‎(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种)．‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．‎ ‎(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100(种)．‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．‎ ‎(4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．‎ ‎(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式 C－C＝6 545－455＝6 090(种)．‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．‎ 题型三　排列与组合问题的综合应用 命题点1　相邻问题 例3　(2017·济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)‎ A．3×3! B．3×(3！)3‎ C．(3！)4 D．9!‎ 答案　C 解析　把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法．‎ 命题点2　相间问题 例4　某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．‎ 答案　120‎ 解析　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法．由分类加法计数原理知共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．‎ 命题点3　特殊元素(位置)问题 例5　(2016·郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个．‎ 答案　51‎ 解析　分三类：第一类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有A＝6(个)；‎ 第二类，只有2或3其中的一个，需从1,4,5中选两个数字组成三位数，有2CA＝36(个)；‎ 第三类，2,3均有，再从1,4,5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成CA＝9(个)．‎ 由分类加法计数原理，知这样的三位数共有51个．‎ 思维升华　排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 ‎(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．‎ ‎(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．‎ ‎(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．‎ ‎(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．‎ ‎　(1)(2016·山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(　　)‎ A．150 B．180‎ C．200 D．280‎ ‎(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有(　　)‎ A．150种 B．114种 C．100种 D．72种 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有·A＝90(种)分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C·A＝60(种)‎ 分派方法，所以不同分派方法种数为90＋60＝150，故选A.‎ ‎(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有＋＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)．‎ ‎14．排列、组合问题 典例　有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．‎ 错解展示 解析　先从一等品中取1个，有C种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C种不同取法，共有C×C＝2 736(种)不同取法．‎ 答案　2 736‎ 现场纠错 解析　方法一　将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理，知有CC＋CC＋C＝1 136(种)．‎ 方法二　考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C－C＝1 136(种)．‎ 答案　1 136‎ 纠错心得　(1)解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．‎ ‎(2)解题时要细心、周全，做到不重不漏.‎ ‎1．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为(　　)‎ A．48 B．36 C．24 D．12‎ 答案　C 解析　(捆绑法)爸爸排法有A种，两个小孩排在一起故看成一体，有A种排法，妈妈和孩子共有A种排法，‎ ‎∴排法种数共有AAA＝24(种)．故选C.‎ ‎2．(2016·黄山月考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为(　　)‎ A．16 B．18 C．24 D．32‎ 答案　C 解析　将四个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有A＝6(种)排法，再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．‎ ‎3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有(　　)‎ A．34种 B．48种 C．96种 D．144种 答案　C 解析　程序A有A＝2(种)结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的3个元素排列有AA＝48(种)，‎ 由分步乘法计数原理，知实验编排共有2×48＝96(种)方法．‎ ‎4．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有(　　)‎ A．12种 B．20种 C．40种 D．60种 答案　C 解析　(消序法)五个元素没有限制全排列为A，‎ 由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，‎ 故除以这三个元素的全排列A，‎ 可得×2＝40(种)．‎ ‎5．(2016·长沙模拟)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，‎ 要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(　　)‎ A．AC B.AC C．AA D．2A 答案　B 解析　方法一　将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A种．‎ 所以不同的安排方法有CA(种)．‎ 方法二　先从6个班级中选2个班级有种不同方法，然后安排学生有CC种，故有＝AC(种)．‎ ‎6．(2017·汉中质检)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)‎ A．24对 B．30对 C．48对 D．60对 答案　C 解析　正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C＝66(对)，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角．相对两面上的4条对角线组成的C＝6(对)组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3C＝18(对)．所以成60°角的有C－3C＝66－18＝48(对)．‎ ‎7．(2016·北京西城区期末)现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种．(用数字作答)‎ 答案　54‎ 解析　第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有CA＝18(种)；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有AA＝36(种)．根据分类加法计数原理可得，共有36＋18＝54(种)．‎ ‎8．(2017·福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)‎ 答案　60‎ 解析　分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A种分法；‎ 第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有CA种分法．‎ 总获奖情况共有A＋CA＝60(种)．‎ ‎9．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．‎ 答案　36‎ 解析　先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A种方法，而A，B可交换位置，所以有2A＝48(种)摆法，又当A，B相邻且又满足A，C相邻，有2A＝12(种)摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．‎ ‎10．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．‎ 答案　11‎ 解析　把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o.共一种排法，所以总的排法种数为A＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种)．‎ ‎11．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)‎ 答案　480‎ 解析　从左往右看，若C排在第1位，共有A＝120(种)排法；若C排在第2位，A和B有C右边的4个位置可以选，共有A·A＝72(种)排法；若C排在第3位，则A，B可排C的左侧或右侧，共有A·A＋A·A＝48(种)排法；若C排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．‎ ‎12．(2017·青岛月考)2016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”，“8685”为“金猴卡”，求这组号码中“金猴卡”的张数．‎ 解　①当后四位数恰有2个6时，“金猴卡”共有C×9×9＝486(张)；‎ ‎②当后四位数恰有2个8时，“金猴卡”也共有C×9×9＝486(张)．‎ 但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况，所以要减掉C＝6，即“金猴卡”共有486×2－6＝966(张)．‎ ‎13．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？‎ 解　设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：‎ 第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝6(种)；‎ 第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝12(种)；‎ 第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C·C＝8(种)；‎ 第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A＝12(种)．‎ 由分类加法计数原理，知不同的选派方法共有6＋12＋8＋12＝38(种)．‎ ‎*14.(2017·洛阳预测)设三位数n＝，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？‎ 解　a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c∈{1,2,3，…，9}．①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数字都相同，所以n1＝C＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有2C组，但当大数为底时，设a>b，必须满足b

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