高考数学专题复习练习：考点规范练47

高考数学专题复习练习：考点规范练47

考点规范练47　抛物线 ‎　考点规范练A册第36页　 ‎ 基础巩固组 ‎1.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)‎ 答案B 解析由题意知,该抛物线的准线方程为x=-1,则其焦点坐标为(1,0).‎ ‎2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(　　)‎ A.-‎17‎‎16‎ B.-‎15‎‎16‎ C.‎17‎‎16‎ D.‎‎15‎‎16‎ 答案B 解析抛物线方程可化为x2=-y‎4‎,其准线方程为y=‎1‎‎16‎.‎ 设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知‎1‎‎16‎-y0=1,y0=-‎15‎‎16‎.‎ ‎3.(2016河南中原学术联盟仿真)过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8〚导学号74920336〛‎ 答案D 解析由题设知线段AB的中点到准线的距离为4.‎ 设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2.‎ 由抛物线的定义知 ‎|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8.‎ ‎4.(2016河南商丘三模)已知抛物线y2=8x与双曲线x‎2‎a‎2‎-y2=1的一个交点为M,F为抛物线的焦点,若|MF|=5,则该双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A.5x±3y=0 B.3x±5y=0‎ C.4x±5y=0 D.5x±4y=0‎ 答案A 解析由题意可知抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2.‎ 设M(m,n),则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=5,解得m=3.‎ 由n2=24,可得n=±2‎6‎.‎ 将M(3,±2‎6‎)代入双曲线x‎2‎a‎2‎-y2=1,‎ 可得‎9‎a‎2‎-24=1,解得a=‎3‎‎5‎,‎ 即有双曲线的渐近线方程为y=±‎5‎‎3‎x,即5x±3y=0.‎ ‎5.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为‎1‎‎2‎,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=(　　)‎ A.3 B.6 C.9 D.12〚导学号74920337〛‎ 答案B 解析∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),‎ ‎∴E的右焦点的坐标为(2,0).‎ 设椭圆E的方程为x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),∴c=2.‎ ‎∵ca‎=‎‎1‎‎2‎,∴a=4.‎ ‎∴b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为x‎2‎‎16‎‎+‎y‎2‎‎12‎=1.‎ ‎∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.‎ ‎6.(2016河北南宫一中三模)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x‎2‎a-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a=(　　)‎ A.‎1‎‎9‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎1‎‎2‎〚导学号74920338〛‎ 答案A 解析因为抛物线的准线为x=-p‎2‎,所以有1+p‎2‎=5,得p=8,所以m=4.又双曲线的左顶点坐标为(-a,0),所以有‎4‎‎1+‎a‎=‎‎1‎a,解得a=‎1‎‎9‎,故选A.‎ ‎7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　　. ‎ 答案9‎ 解析设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.‎ ‎8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为　　　　　.〚导学号74920339〛 ‎ 答案2‎ 解析由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.‎ ‎9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2‎2‎的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),‎ 化简得y2=4x(x>0).‎ ‎(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 设l的方程为x=ty+m.‎ 由x=ty+m,‎y‎2‎‎=4x,‎得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0,‎ 于是y‎1‎‎+y‎2‎=4t,‎y‎1‎y‎2‎‎=-4m.‎‎①‎‎②‎ 因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),‎ 所以FA‎·‎FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.‎ 又FA‎·‎FB<0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③‎ 因为x=y‎2‎‎4‎,所以不等式③可变形为 y‎1‎‎2‎‎4‎‎·‎y‎2‎‎2‎‎4‎‎+y1y2-y‎1‎‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎2‎‎4‎+1<0,‎ 即‎(‎y‎1‎y‎2‎‎)‎‎2‎‎16‎+y1y2-‎1‎‎4‎[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.④‎ 将①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤‎ 因为对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式⑤对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,即3-2‎2‎0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎2‎‎2‎ D.1〚导学号74920343〛‎ 答案C 解析设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),Fp‎2‎‎,0‎,‎ 则FP‎=‎2pt‎2‎-p‎2‎,2pt,FM=‎x-p‎2‎,y.‎ ‎∵FM‎=‎‎1‎‎3‎FP,‎ ‎∴‎x-p‎2‎=‎2p‎3‎t‎2‎-p‎6‎,‎y=‎2pt‎3‎,‎‎∴‎x=‎2p‎3‎t‎2‎+p‎3‎,‎y=‎2pt‎3‎.‎ ‎∴kOM=‎2t‎2t‎2‎+1‎‎=‎1‎t+‎‎1‎‎2t≤‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎,‎ 当且仅当t=‎2‎‎2‎时等号成立.‎ ‎∴(kOM)max=‎2‎‎2‎,故选C.‎ ‎13.‎ 如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则ba=　　　　　　　　.〚导学号74920344〛 ‎ 答案1+‎‎2‎ 解析由正方形的定义可知BC=CD,结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点,所以|AD|=p=a,Dp‎2‎‎,0‎,Fp‎2‎‎+b,b,将点F的坐标代入抛物线的方程得b2=2pp‎2‎‎+b=a2+2ab,‎ 变形得ba‎2‎‎-‎‎2ba-1=0,‎ 解得ba=1+‎2‎或ba=1-‎2‎(舍去),所以ba=1+‎2‎.‎ ‎14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=‎5‎‎4‎|PQ|.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.‎ 解(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=‎8‎p.‎ 所以|PQ|=‎8‎p,|QF|=p‎2‎+x0=p‎2‎‎+‎‎8‎p.‎ 由题设得p‎2‎‎+‎8‎p=‎5‎‎4‎×‎‎8‎p,‎ 解得p=-2(舍去)或p=2.‎ 所以C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).‎ 代入y2=4x得y2-4my-4=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1+y2=4m,y1y2=-4.‎ 故AB的中点为D(2m2+1,2m),‎ ‎|AB|=m‎2‎‎+1‎|y1-y2|=4(m2+1).‎ 又l'的斜率为-m,‎ 所以l'的方程为x=-‎1‎my+2m2+3.‎ 将上式代入y2=4x,并整理得y2+‎4‎my-4(2m2+3)=0.‎ 设M(x3,y3),N(x4,y4),‎ 则y3+y4=-‎4‎m,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E‎2‎m‎2‎‎+2m‎2‎+3,‎‎-‎‎2‎m,|MN|=‎1+‎‎1‎m‎2‎|y3-y4|=‎4(m‎2‎+1)‎‎2m‎2‎+1‎m‎2‎.‎ 由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=‎1‎‎2‎|MN|,从而‎1‎‎4‎|AB|2+|DE|2=‎1‎‎4‎|MN|2,‎ 即4(m2+1)2+‎2m+‎‎2‎m‎2‎‎+‎2‎m‎2‎‎+2‎‎2‎=‎‎4(m‎2‎+1‎)‎‎2‎(2m‎2‎+1)‎m‎4‎,‎ 化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.‎ 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.〚导学号74920345〛‎ 高考预测 ‎15.已知抛物线x2=2py(p>0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1>x2.‎ ‎(1)若直线AB的斜率为‎1‎‎2‎,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程;‎ ‎(2)若AP=λPB,是否存在异于点P的点Q,使得对任意λ,都有QP⊥(QA-λQB)?若存在,求Q点坐标;若不存在,说明理由.‎ 解(1)由已知得p=2,直线和y轴交于点(0,2),‎ 则直线AB的方程为y-2=‎1‎‎2‎x,即x-2y+4=0.‎ 由x-2y+4=0,‎x‎2‎‎=4y,‎得A,B的坐标分别为(4,4),(-2,1).‎ 又x2=4y,可得y=‎1‎‎4‎x2,故y'=‎1‎‎2‎x,‎ 故抛物线在点A处切线的斜率为2.‎ 设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,‎ 则b-4‎a-4‎‎=-‎1‎‎2‎,‎‎(a+2‎)‎‎2‎+(b-1‎)‎‎2‎=(a-4‎)‎‎2‎+(b-4‎)‎‎2‎,‎ 解得a=-1,b=‎13‎‎2‎,r2=‎125‎‎4‎,‎ 故圆的方程为(x+1)2+y-‎‎13‎‎2‎‎2‎‎=‎‎125‎‎4‎,‎ 即为x2+y2+2x-13x+12=0.‎ ‎(2)依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-8=0,故x1x2=-8.①‎ 由已知AP=λPB得-x1=λx2.‎ 若k=0,这时λ=1,要使QP⊥(QA-λQB),Q点必在y轴上.‎ 设点Q的坐标是(0,m),从而QP=(0,2-m),‎ QA‎-λQB=(x1,y1-m)-λ(x2,y2-m)=(x1-λx2,y1-m-λ(y2-m)),‎ 故QP·(QA-λQB)=(2-m)[y1-λy2-m(1-λ)]=0,‎ 即y1-λy2-m(1-λ)=0,‎ 即x‎1‎‎2‎‎4‎‎+x‎1‎x‎2‎·‎x‎2‎‎2‎‎4‎-m‎1+‎x‎1‎x‎2‎=0,‎ 即‎1‎‎4‎x‎2‎(x1+x2)(x1x2-4m)=0,将①代入得m=-2.‎ 所以存在点Q(0,-2)使得QP⊥(QA-λQB).〚导学号74920346〛‎