高考数学专题复习练习：12-3 专项基础训练

高考数学专题复习练习：12-3 专项基础训练

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：30分钟)‎ ‎1．(2017·宁波一模)已知实数a满足－3＜a＜4，函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R的概率为P1，定义域为R的概率为P2，则(　　)‎ A．P1＞P2　　　　　　　　　B．P1＝P2‎ C．P1＜P2 D．P1与P2的大小不确定 ‎【解析】 若f(x)的值域为R，则Δ＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2，故P1＝＋＝.若f(x)的定义域为R，则Δ＝a2－4＜0，得－2＜a＜2，故P2＝＝，所以P1＜P2.‎ ‎【答案】 C ‎2．(2017·石家庄一模)在区间[0，1]上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 设这两个数分别是x，y，则总的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－×＝，所以这两个数之和小于的概率是.‎ ‎【答案】 C ‎3．(2017·山西四校联考)在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 设AB，AC上分别有点D，E满足AD＝AB且AE＝AC，则△ADE∽△ABC，DE∥BC且DE＝BC.∵点A到DE的距离等于点A到BC的距离的，∴DE到BC的距离等于△ABC高的.当动点P在△ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，∴当P在△ADE内部运动时，△PBC的面积大于，∴所求概率为＝＝.‎ ‎【答案】 D ‎4．(2017·石家庄模拟)已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2 km处，B地在O地正北方向2 km处，某测绘队员在A，B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是(　　)‎ A. B. C．1－ D．1－ ‎【解析】 由题意知在等腰直角三角形OAB中，以O为圆心，为半径的圆截AB所得的线段长为2，而|AB|＝2，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－＝1－.‎ ‎【答案】 D ‎5．(2017·吉林实验中学)如图，设区域D＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到阴影区域M＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x3}内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎【答案】 A ‎6．(2017·鞍山调查)一只昆虫在边分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．‎ ‎【解析】 如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为×5×12＝30，阴影部分的面积为×π×22＝2π，所以所求概率为＝.‎ ‎【答案】 ‎7．(2017·湖北七市联考)AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于的概率是________．‎ ‎【解析】 依题意知，当相应的弦长大于时，圆心到弦的距离小于 ＝，因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于的地方，所求的概率等于.‎ ‎【答案】 ‎【解析】 如图所示，当m＝0时，平面区域E(阴影部分)的面积最大，此时点P落在平面区域E内的概率最大．‎ ‎【答案】 0‎ ‎9．(2017·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．‎ ‎【解析】 由题意作图，如图 则点P应落在深色阴影部分，‎ S三角形＝×6×＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为，故点P到三个顶点的距离都不小于1的概率为＝.‎ ‎【答案】 ‎10．已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y)．‎ ‎(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；‎ ‎(2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足a·b<0的概率．‎ ‎【解析】 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，‎ 所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；‎ 由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，‎ 所以满足a·b＝－1的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3个；‎ 故满足a·b＝－1的概率为＝.‎ ‎ (2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6}；‎ 满足a·b<0的基本事件的结果为 A＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6且－2x＋y<0}；‎ 画出图形如图，‎ 矩形的面积为S矩形＝25，‎ 阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，‎ 故满足a·b<0的概率为.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2016·课标全国Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 方法一 7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为＝.故选B.‎ 方法二 当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－＝.‎ ‎【答案】 B ‎12．(2015·湖北)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则(　　)‎ A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p3＜p1‎ C．p3＜p1＜p2 D．p3＜p2＜p1‎ ‎【解析】 如图，点(x，y)所处的空间为正方形OBCA表示的平面区域(包括其边界)，故本题属于几何概型中的“面积比”型．分别画出三个事件对应的图形，根据图形面积的大小估算概率的大小．‎ 满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p2＜p3＜p1.‎ ‎【答案】 B ‎13．(2016·黑龙江哈尔滨六中期末)设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 区域D：，表示矩形，面积为3.‎ 到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为×1×＋×π×4＝＋，∴所求概率为P＝.故选D.‎ ‎【答案】 D ‎14．(2017·山东青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．‎ ‎【解析】 易知小正方形的边长为－1，故小正方形的面积为S1＝(－1)2＝4－2，大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝＝＝.‎ ‎【答案】 ‎15．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．‎ ‎【解析】 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0，24]，y∈[0，24]}．‎ A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．‎ 所求概率为P(A)＝＝ ‎＝＝.‎