高考数学专题复习练习:12-3 专项基础训练

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高考数学专题复习练习:12-3 专项基础训练

‎ A组 专项基础训练 ‎(时间:30分钟)‎ ‎1.(2017·宁波一模)已知实数a满足-3<a<4,函数f(x)=lg(x2+ax+1)的值域为R的概率为P1,定义域为R的概率为P2,则(  )‎ A.P1>P2         B.P1=P2‎ C.P1<P2 D.P1与P2的大小不确定 ‎【解析】 若f(x)的值域为R,则Δ=a2-4≥0,得a≤-2或a≥2,故P1=+=.若f(x)的定义域为R,则Δ=a2-4<0,得-2<a<2,故P2==,所以P1<P2.‎ ‎【答案】 C ‎2.(2017·石家庄一模)在区间[0,1]上任取两个数,则这两个数之和小于的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 设这两个数分别是x,y,则总的基本事件构成的区域是确定的平面区域,所求事件包含的基本事件构成的区域是确定的平面区域,如图所示,阴影部分的面积是1-×=,所以这两个数之和小于的概率是.‎ ‎【答案】 C ‎3.(2017·山西四校联考)在面积为S的△ABC内部任取一点P,则△PBC的面积大于的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 设AB,AC上分别有点D,E满足AD=AB且AE=AC,则△ADE∽△ABC,DE∥BC且DE=BC.∵点A到DE的距离等于点A到BC的距离的,∴DE到BC的距离等于△ABC高的.当动点P在△ADE内时,P到BC的距离大于DE到BC的距离,∴当P在△ADE内部运动时,△PBC的面积大于,∴所求概率为==.‎ ‎【答案】 D ‎4.(2017·石家庄模拟)已知O,A,B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2 km处,B地在O地正北方向2 km处,某测绘队员在A,B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是(  )‎ A. B. C.1- D.1- ‎【解析】 由题意知在等腰直角三角形OAB中,以O为圆心,为半径的圆截AB所得的线段长为2,而|AB|=2,故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1-=1-.‎ ‎【答案】 D ‎5.(2017·吉林实验中学)如图,设区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},向区域内随机投一点,且投入到区域内任一点都是等可能的,则点落到阴影区域M={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x3}内的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎【答案】 A ‎6.(2017·鞍山调查)一只昆虫在边分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行,则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________.‎ ‎【解析】 如图所示,该三角形为直角三角形,其面积为×5×12=30,阴影部分的面积为×π×22=2π,所以所求概率为=.‎ ‎【答案】 ‎7.(2017·湖北七市联考)AB是半径为1的圆的直径,M为直径AB上任意一点,过点M作垂直于直径AB的弦,则弦长大于的概率是________.‎ ‎【解析】 依题意知,当相应的弦长大于时,圆心到弦的距离小于 =,因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于的地方,所求的概率等于.‎ ‎【答案】 ‎【解析】 如图所示,当m=0时,平面区域E(阴影部分)的面积最大,此时点P落在平面区域E内的概率最大.‎ ‎【答案】 0‎ ‎9.(2017·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P,则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________.‎ ‎【解析】 由题意作图,如图 则点P应落在深色阴影部分,‎ S三角形=×6×=12,三个小扇形可合并成一个半圆,故其面积为,故点P到三个顶点的距离都不小于1的概率为=.‎ ‎【答案】 ‎10.已知向量a=(-2,1),b=(x,y).‎ ‎(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b=-1的概率;‎ ‎(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率.‎ ‎【解析】 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,‎ 所包含的基本事件总数为6×6=36(个);‎ 由a·b=-1有-2x+y=-1,‎ 所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个;‎ 故满足a·b=-1的概率为=.‎ ‎ (2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};‎ 满足a·b<0的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};‎ 画出图形如图,‎ 矩形的面积为S矩形=25,‎ 阴影部分的面积为S阴影=25-×2×4=21,‎ 故满足a·b<0的概率为.‎ B组 专项能力提升 ‎(时间:30分钟)‎ ‎11.(2016·课标全国Ⅰ)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 方法一 7:30的班车小明显然是坐不到的.当小明在7:50之后8:00之前到达,或者8:20之后8:30之前到达时,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为=.故选B.‎ 方法二 当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,7:50~8:30的其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-=.‎ ‎【答案】 B ‎12.(2015·湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥”的概率,p2为事件“|x-y|≤”的概率,p3为事件“xy≤”的概率,则(  )‎ A.p1<p2<p3 B.p2<p3<p1‎ C.p3<p1<p2 D.p3<p2<p1‎ ‎【解析】 如图,点(x,y)所处的空间为正方形OBCA表示的平面区域(包括其边界),故本题属于几何概型中的“面积比”型.分别画出三个事件对应的图形,根据图形面积的大小估算概率的大小.‎ 满足条件的x,y构成的点(x,y)在正方形OBCA及其边界上.事件“x+y≥”对应的图形为图①所示的阴影部分;事件“|x-y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分;事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分.对三者的面积进行比较,可得p2<p3<p1.‎ ‎【答案】 B ‎13.(2016·黑龙江哈尔滨六中期末)设不等式组,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离小于2的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 区域D:,表示矩形,面积为3.‎ 到坐标原点的距离小于2的点,位于以原点O为圆心、半径为2的圆内,则图中的阴影面积为×1×+×π×4=+,∴所求概率为P=.故选D.‎ ‎【答案】 D ‎14.(2017·山东青岛一模)如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角θ=.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是________.‎ ‎【解析】 易知小正方形的边长为-1,故小正方形的面积为S1=(-1)2=4-2,大正方形的面积为S=2×2=4,故飞镖落在小正方形内的概率P===.‎ ‎【答案】 ‎15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h,乙船停泊时间为2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.‎ ‎【解析】 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y,记事件A为“两船都不需要等待码头空出”,则0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即y-x≥1或x-y≥2.故所求事件构成集合A={(x,y)|y-x≥1或x-y≥2,x∈[0,24],y∈[0,24]}.‎ A为图中阴影部分,全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.‎ 所求概率为P(A)== ‎==.‎
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