2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十一章　第3讲　变量间的相关关系、统计案例

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十一章　第3讲　变量间的相关关系、统计案例

‎ [基础题组练]‎ ‎1．根据如下样本数据：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎0.5‎ ‎0.5‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 得到的线性回归方程为y＝bx＋a，则(　　)‎ A.a>0，b>0　　　　　　　 B．a>0，b<0‎ C.a<0，b>0 D．a<0，b<0‎ 解析：选B.根据给出的数据可发现：整体上y与x呈现负相关，所以b<0，由样本点(3，4.0)及(4，2.5)可知a>0，故选B.‎ ‎2．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)‎ A．－1 B．0‎ C. D．1‎ 解析：选D.所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.‎ ‎3．(2020·山东德州模拟)已知某产品连续4个月的广告费xi(千元)与销售额yi(万元)(i＝1，2，3，4)满足xi＝15, yi＝12.若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系，且回归直线方程为y＝bx＋a，b＝0.6，当广告费用为5千元时，可预测销售额为（　　）,‎ A.3万元 B.3.15万元 C.3.5万元 D.3.75万元,‎ 解析：选D.由已知xi＝15，y i＝12，得＝＝3.75，＝＝3，所以3＝3.75×0.6＋a，解得a＝0.75.所以回归直线方程为y＝0.6x＋0.75.则当x＝5时，y＝3.75万元．故选D.‎ ‎4．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计 年份(届)‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 学科竞赛获省级一等奖 及以上的学生人数x ‎51‎ ‎49‎ ‎55‎ ‎57‎ ‎103‎ ‎96‎ ‎108‎ ‎107‎ 被清华、北大等世界名校录取的学生人数y 根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为1.35，该校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为(　　)‎ A．111 B．117‎ C．118 D．123‎ 解析：选B.因为＝53，＝103.5，所以a＝－＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线方程为y＝1.35x＋31.95.当x＝63时，代入解得y＝117，故选B.‎ ‎5．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．‎ 非一线 一线 总计 愿生 ‎45‎ ‎20‎ ‎65‎ 不愿生 ‎13‎ ‎22‎ ‎35‎ 总计 ‎58‎ ‎42‎ ‎100‎ 由χ2＝，‎ 得χ2＝≈9.616.‎ 参照下表，‎ P(χ2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 下列结论正确的是(　　)‎ A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”‎ B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”‎ C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”‎ D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”‎ 解析：选C.因为K2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.‎ ‎6．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为________．‎ 解析：因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程y＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y＝0.6×5＋1.2＝4.2，‎ 所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为＝84%.‎ 答案：84%‎ ‎7．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学成绩 ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 物理成绩 ‎72‎ ‎77‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎93‎ ‎95‎ 给出散点图如下：‎ 根据以上信息，判断下列结论：‎ ‎①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；‎ ‎②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；‎ ‎③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．‎ 其中正确的个数为________．‎ 解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.‎ 答案：1‎ ‎8．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx2－附近波动．经计算xi＝11，yi＝13，x＝21，则实数b的值为________．‎ 解析：令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－，此时＝＝，＝＝，代入y＝bt－，得＝b×－，解得b＝.‎ 答案： ‎9．(2020·云南昆明诊断)某公司准备派出选手代表公司参加某职业技能挑战赛．经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好．已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间t(单位：秒)及挑战失败(用“×”表示)的情况如表1：‎ 序号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ t甲 ‎×‎ ‎96‎ ‎93‎ ‎×‎ ‎92‎ ‎×‎ ‎90‎ ‎86‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎78‎ ‎77‎ ‎75‎ t乙 ‎×‎ ‎95‎ ‎×‎ ‎93‎ ‎×‎ ‎92‎ ‎×‎ ‎88‎ ‎83‎ ‎×‎ ‎82‎ ‎80‎ ‎80‎ ‎74‎ ‎73‎ 据表1中的数据，应用统计软件得表2：‎ 均值(单位：秒)‎ 方差 线性回归方程 甲 ‎85‎ ‎50.2‎ t甲＝－1.59x＋99.31‎ 乙 ‎84‎ ‎54‎ t乙＝－1.73x＋100.26‎ ‎(1)根据上述回归方程，预测甲、乙分别在下一次完成该项关键技能挑战所用的时间；‎ ‎(2)若该公司只有一个参赛名额，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由．‎ 解：(1)当x＝16时，t甲＝－1.59×16＋99.31＝73.87(秒)，‎ t乙＝－1.73×16＋100.26＝72.58(秒)．‎ ‎(2)甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次，失败次数都为5次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，根据所给信息，结合(1)中预测结果，综合分析，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适，理由如下：‎ 因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，x甲>x乙，乙选手用时更短；‎ 由于S6.635，‎ 所以有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．‎ ‎(2)根据频率分布直方图和频数分布表知，设备改造前产品为合格品的概率为＝，‎ 设备改造后产品为合格品的概率为＝>，‎ 显然设备改造后产品合格率更高，因此设备改造后性能更优．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：‎ 年龄 ‎[15，25)‎ ‎[25，35)‎ ‎[35，45)‎ ‎[45，55)‎ ‎[55，65]‎ 支持“延迟退休”的人数 ‎15‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎28‎ ‎17‎ ‎(1)由以上统计数据填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 不支持 总计 ‎(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．‎ ‎①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；‎ ‎②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．‎ 参考数据及公式：‎ P(χ2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ χ2＝ 解：(1)列联表如下：‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ 不支持 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 因为χ2＝＝＝6.25＞3.841，‎ 所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．‎ ‎(2)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．‎ ‎①抽到1人是45岁以下的概率为＝，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为＝.‎ 故所求概率为＝.‎ ‎②X＝0，1，2.‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 可得随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故EX＝1×＋2×＝.‎ ‎2．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 广告投入量/万元 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ 收益/万元 ‎14.21‎ ‎20.31‎ ‎31.8‎ ‎31.18‎ ‎37.83‎ ‎44.67‎ 他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：‎ ‎(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；‎ ‎(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除．‎ ‎(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；‎ ‎(ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？‎ 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝‎ 解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．‎ ‎(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得＝×(7×6－6)＝7.2，，‎ ＝×(30×6－31.8)＝29.64.‎ 所以y关于x的回归方程为y＝3x＋8.04.‎ ‎(ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得y＝3×18＋8.04＝62.04，‎ 故预报值为62.04万元．‎