2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第九章　第8讲　曲线与方程

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第九章　第8讲　曲线与方程

‎ [基础题组练]‎ ‎1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　)‎ A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对 解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔ 故或 ‎2．(2020·银川模拟)设D为椭圆＋x2＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0，2)，延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．x2＋(y－2)2＝20‎ B．x2＋(y＋2)2＝20‎ C．x2＋(y－2)2＝5‎ D．x2＋(y＋2)2＝5‎ 解析：选B.设点P坐标为(x，y)．因为D为椭圆＋x2＝1上任意一点，且A，B为椭圆的焦点，所以|DA|＋|DB|＝2.又|PD|＝|BD|，所以|PA|＝|PD|＋|DA|＝|DA|＋|DB|＝2，所以＝2，所以x2＋(y＋2)2＝20，所以点P的轨迹方程为x2＋(y＋2)2＝20.故选B.‎ ‎3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是(　　)‎ 解析：选D.当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，故y ‎′＝1－(0≤x′≤2，0≤y′≤1)．当P沿BC运动时，y＝1，则(0≤x≤1)，所以y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知P′的轨迹如D项图象所示，故选D.‎ ‎4．(2020·兰州模拟)已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝－8x　　　　　　　 B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 解析：选A.设P(x，y)，M(－2，0)，N(2，0)，||＝4.则＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，由||·||＋·＝0，得4＋4(x－2)＝0，化简整理得y2＝－8x.故选A.‎ ‎5．(2020·郑州模拟)动点M在圆x2＋y2＝25上移动，过点M作x轴的垂线段MD，D为垂足，则线段MD中点的轨迹方程是(　　)‎ A.＋＝1 B．＋＝1‎ C.－＝1 D．－＝1‎ 解析：选B.如图，设线段MD中点为P(x，y)，M(x0，y0)，D(x0，0)，因为P是MD的中点，‎ 所以又M在圆x2＋y2＝25上，所以x＋y＝25，即x2＋4y2＝25，＋＝1，所以线段MD的中点P的轨迹方程是＋＝1.故选B.‎ ‎6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．‎ 解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.‎ 答案：y＝2x－2‎ ‎7．△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．‎ 解析：如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.‎ ‎|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，‎ 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为－＝1(x>3)．‎ 答案：－＝1(x>3)‎ ‎8．设F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．‎ 解析：由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，则OD∥F2B，从而可知|OD|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4.‎ 答案：x2＋y2＝4‎ ‎9．如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．‎ ‎(1)△PAB的周长为10；‎ ‎(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；‎ ‎(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．‎ 解：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.‎ 因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，‎ 因此|PA|－|PB|＝1.‎ 由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，‎ 且2a＝1，2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.‎ ‎(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.‎ 因此其轨迹方程为y2＝－8x.‎ ‎10．(2020·宝鸡模拟)已知动圆P恒过定点，且与直线x＝－相切．‎ ‎(1)求动圆P圆心的轨迹M的方程；‎ ‎(2)在正方形ABCD中，AB边在直线y＝x＋4上，另外C，D两点在轨迹M上，求该正方形的面积．‎ 解：(1)由题意得动圆P的圆心到点的距离与它到直线x＝－的距离相等，‎ 所以圆心P的轨迹是以为焦点，直线x＝－为准线的抛物线，且p＝，所以动圆P圆心的轨迹M的方程为y2＝x.‎ ‎(2)由题意设CD边所在直线方程为y＝x＋t.‎ 联立消去y，整理得x2＋(2t－1)x＋t2＝0.‎ 因为直线CD和抛物线交于两点，‎ 所以Δ＝(2t－1)2－4t2＝1－4t＞0，解得t＜.‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝1－2t，x1x2＝t2.‎ 所以|CD|＝ ‎＝＝.‎ 又直线AB与直线CD之间的距离为|AD|＝，|AD|＝|CD|，‎ 所以＝，解得t＝－2或t＝－6，‎ 经检验t＝－2和t＝－6都满足Δ＞0.‎ 所以正方形边长|AD|＝3或|AD|＝5，‎ 所以正方形ABCD的面积S＝18或S＝50.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)‎ A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)‎ B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)‎ C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)‎ D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)‎ 解析：选A.设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．‎ ‎2．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)‎ A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9‎ C.＋＝1 D．x2＝16y 解析：选B.因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.‎ A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．‎ ‎3.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 解析：选C.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.‎ ‎4．(2020·四川成都石室中学模拟)已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)和一动点P，给出下列结论：‎ ‎①若|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆；‎ ‎②若|PF1|－|PF2|＝1，则点P的轨迹是双曲线；‎ ‎③若＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则点P的轨迹是圆；‎ ‎④若|PF1|·|PF2|＝a2(a≠0)，则点P的轨迹关于原点对称；‎ ‎⑤若直线PF1与PF2的斜率之积为m(m≠0)，则点P的轨迹是椭圆(除长轴两端点)．‎ 其中正确的是________．(填序号)‎ 解析：对于①，由于|PF1|＋|PF2|＝2＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2，故①不正确．‎ 对于②，由于|PF1|－|PF2|＝1，故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，故②不正确．‎ 对于③，设P(x，y)，由题意得＝λ，整理得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋(2＋2λ2)x＋1－λ2＝0.因为λ＞0，且λ≠1，所以x2＋y2＋x＋＝0，所以点P的轨迹是圆，故③正确．‎ 对于④，设P(x，y)，则|PF1|·|PF2|＝·＝a2.又点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因为·＝·＝a2，所以点P′(－x，－y)也在曲线·＝a2上，即点P的轨迹关于原点对称，故④正确．‎ 对于⑤，设P(x，y)，则kPF1＝，kPF2＝，由题意得kPF1·kPF2＝·＝＝m(m≠0)，整理得x2－＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确．‎ 综上，正确结论的序号是③④.‎ 答案：③④‎ ‎5．(一题多解)(2020·东北三省四市一模)如图，已知椭圆C：＋＝1的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.‎ ‎(1)求动点N的轨迹方程；‎ ‎(2)求四边形MB2NB1面积的最大值．‎ 解：(1)法一：设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)．‎ 由题知B1(0，－3)，B2(0，3)，‎ 所以kMB1＝，kMB2＝.‎ 因为MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，‎ 所以直线NB1：y＋3＝－x，①‎ 直线NB2：y－3＝－x，②‎ ‎①×②得y2－9＝x2.‎ 又因为＋＝1，‎ 所以y2－9＝x2＝－2x2，‎ 整理得动点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．‎ 法二：设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)．‎ 由题知B1(0，－3)，B2(0，3)，‎ 所以kMB1＝，kMB2＝.‎ 因为MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，‎ 所以直线NB1：y＋3＝－x，①‎ 直线NB2：y－3＝－x，②‎ 联立①②，解得 又＋＝1，‎ 所以x＝－，‎ 故代入＋＝1，得＋＝1.‎ 所以动点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．‎ 法三：设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)，‎ 则直线NB1：y＝－x－3，①‎ 直线MB1与椭圆C：＋＝1的交点M的坐标为.‎ 则直线MB2的斜率为kMB2＝＝－.‎ 所以直线NB2：y＝2kx＋3.②‎ 由①②得点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．‎ ‎(2)由(1)方法三得直线NB1：y＝－x－3，①‎ 直线NB2：y＝2kx＋3，②‎ 联立①②解得x＝，即xN＝，故四边形MB2NB1的面积S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)＝3×＝＝≤，当且仅当|k|＝时，S取得最大值.‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(－，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝2.‎ ‎(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过R(3，0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若＝λ(λ＞1)，求证：＝λ.‎ 解：(1)依题意知，直线A1N1的方程为y＝(x＋)，①‎ 直线A2N2的方程为y＝－(x－)，②‎ 设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，①×②得y2＝－(x2－6)，‎ 又mn＝2，整理得＋＝1.故点M的轨迹C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：设过点R的直线l：x＝ty＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，－y1)，‎ 由消去x，得(t2＋3)y2＋6ty＋3＝0，(*)‎ 所以y1＋y2＝－，y1y2＝.‎ 由＝λ，得(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)，故x1－3＝λ(x2－3)，y1＝λy2，‎ 由(1)得F(2，0)，要证＝λ，即证(2－x1，y1)＝λ(x2－2，y2)，　‎ 只需证2－x1＝λ(x2－2)，只需证＝－，即证2x1x2－5(x1＋x2)＋12＝0，又x1x2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9，x1＋x2＝ty1＋3＋ty2＋3＝t(y1＋y2)＋6，所以2t2y1y2＋6t(y1＋y2)＋18－5t(y1＋y2)－30＋12＝0，即2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝0，‎ 而2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝2t2·－t·＝0成立，得证．‎