2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第七章　4 第4讲　基本不等式

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第七章　4 第4讲　基本不等式

‎[基础题组练]‎ ‎1．当x＞0时，函数f(x)＝有(　　)‎ A．最小值1　　　 　　　　 B．最大值1‎ C．最小值2 D．最大值2‎ 解析：选B.f(x)＝≤＝1.‎ 当且仅当x＝，x＞0即x＝1时取等号．‎ 所以f(x)有最大值1.‎ ‎2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件．‎ ‎3．(2020·嘉兴期中)若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C. D. 解析：选B.因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，‎ 所以x＋2y＋－8≥0，‎ 设x＋2y＝t＞0，‎ 所以t＋t2－8≥0，‎ 所以t2＋4t－32≥0，‎ 即(t＋8)(t－4)≥0，‎ 所以t≥4，‎ 故x＋2y的最小值为4.‎ ‎4．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)‎ A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 解析：选D.由题意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2，‎ 所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，‎ 即3a＋4b＝ab，故＋＝1.‎ 所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋ ‎≥7＋2 ＝7＋4.‎ 当且仅当＝时取等号．故选D.‎ ‎5．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)‎ A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ C．(－2，1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)‎ 解析：选C.根据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<，因为＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－20，所以a－1>0，所以＋＝＋＝＋≥2 ＝2，当且仅当＝和＋＝1同时成立，即a＝b＝3时等号成立，所以＋的最小值为2，故选A.‎ ‎7．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．‎ 解析：由基本不等式得a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤＝ ‎，当且仅当a＝b＝时取到等号．‎ 答案：2　 ‎8．(2020·嘉兴期中)已知0＜x＜，则x(5－4x)的最大值是________．‎ 解析：因为0＜x＜，‎ 所以0＜5－4x＜5，‎ 所以x(5－4x)＝·4x(5－4x)≤·＝，当且仅当x＝时取等号，故最大值为.‎ 答案： ‎9．(2020·温州市瑞安市高考模拟)若x＞0，y＞0，则＋的最小值为________．‎ 解析：设＝t＞0，则＋＝＋t＝＋(2t＋1)－≥2－＝－，当且仅当t＝＝时取等号．‎ 答案：－ ‎10．(2020·宁波十校联考)已知a，b均为正数，且a＋b＝1，c＞1，则(－1)·c＋的最小值为________．‎ 解析：因为a＋b＝1，‎ 所以－1＝－1‎ ‎＝＋≥2 ＝，‎ 当且仅当＝即a＝－1，b＝2－时取等号，‎ 所以(－1)·c＋≥c＋＝(c－1＋＋1)≥3，当且仅当c＝2时取等号．‎ 答案：3 ‎11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ 解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 又x>0，y>0，则1＝＋≥2 ＝.‎ 得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝·(x＋y)‎ ‎＝10＋＋≥10＋2 ＝18.‎ 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，‎ 所以x＋y的最小值为18.‎ ‎12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中 ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？‎ 解：(1)由试验数据知，s1＝n＋4，s2＝n＋，‎ 所以 解得.‎ 又n∈N，所以n＝6.‎ ‎(2)由(1)知，s＝＋，v≥0.‎ 依题意，s＝＋≤12.6，‎ 即v2＋24v－5 040≤0，解得－84≤v≤60.‎ 因为v≥0，所以0≤v≤60.‎ 故行驶的最大速度为60 km/h.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则x＋2y的最小值为(　　)‎ A．2 B. C. D. 解析：选C.由已知可得＝×(＋)＝＋＝＋，又M、G、N三点共线，故＋＝1，所以＋＝3，则x＋2y＝(x＋2y)··＝≥(当且仅当x＝y时取等号)．故选C.‎ ‎2．已知x>0，y>0，2x＋y＝1，若4x2＋y2＋－m<0恒成立，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－1，0)∪ B. C. D. 解析：选B.4x2＋y2＋－m<0恒成立，即m>4x2＋y2＋恒成立．因为x>0，y>0，2x＋y＝1，所以1＝2x＋y≥2，所以0<≤(当且仅当2x＝y＝时，等号成立)．因为4x2＋y2＋＝(2x＋y)2－4xy＋＝1－4xy＋＝－4＋，所以4x2＋y2＋的最大值为，故m>，选B.‎ ‎3．(2020·杭州学军中学考试)已知a＜b，若二次不等式ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立，则M＝的最小值为________．‎ 解析：由条件知a＞0，b－a＞0.由题意得Δ＝b2－4ac≤0，解得c≥，所以M＝≥＝＝＝ ‎＝＋＋4≥2＋4＝4＋4＝8，当且仅当b＝3a时等号成立，所以M的最小值为8.‎ 答案：8‎ ‎4．(2020·浙江省名校联考)已知a＞0，b＞－1，且a＋b＝1，则＋ 的最小值为____________．‎ 解析：＋＝a＋＋＝a＋＋b＋1－2＋，又a＋b＝1，a＞0，b＋1＞0，所以a＋＋b＋1－2＋＝＋＝＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当＝即a＝4－2，b＝2－3时取等号，所以＋的最小值为.‎ 答案： ‎5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.‎ 求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；‎ ‎(2)＋的最小值．‎ 解：(1)因为x>0，y>0，‎ 所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.‎ 因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，‎ 当且仅当2x＝5y时，等号成立．‎ 因此有解得 此时xy有最大值10.‎ 所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.‎ 所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.‎ ‎(2)因为x>0，y>0，‎ 所以＋＝·＝≥‎ ＝.‎ 当且仅当＝时，等号成立．‎ 由解得 所以＋的最小值为.‎ ‎6.(2020·义乌模拟)如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．‎ ‎(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？‎ ‎(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？‎ 解：设AP＝x米，AQ＝y米．‎ ‎(1)则x＋y＝200，△APQ的面积S＝xy·sin 120°＝xy.所以S≤＝2 500.‎ 当且仅当 即x＝y＝100时取“＝”．‎ ‎(2)由题意得100×(x＋1.5y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40 000＝1.75＋，当y＝时，PQ有最小值，此时x＝.‎