2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第二章　7 第7讲　函数的图象

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第二章　7 第7讲　函数的图象

‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·台州市高考模拟)函数f(x)＝(x3－3x)sin x的大致图象是(　　)‎ 解析：选C.函数f(x)＝(x3－3x)sin x是偶函数，排除A，D；当x＝时，f()＝[()3－3×]×＜0，排除B，故选C.‎ ‎2.若函数f(x)＝ 的图象如图所示，则f(－3)等于　　(　　)‎ A．－　　　　　　　　　 B．－ C．－1 D．－2‎ 解析：选C.由图象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，所以f(x)＝，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.‎ ‎3．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是(　　)‎ 解析：选B.当a＝0时，函数为y1＝－x与y2＝x，排除D.当a≠0时，y1＝ax2－x＋＝a－＋，而y2＝a2x3－2ax2＋x＋a，求导得y′2＝3a2x2－4ax＋1，令y′2＝0，解得x1＝，x2＝，所以x1＝与x2＝是函数y2的两个极值点．当a＞0时，＜＜；当a＜0时，＞＞‎ eq f(1,a)，即二次函数y1的对称轴在函数y2的两个极值点之间，所以选项B不合要求，故选B.‎ ‎4．已知y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图象的对称轴是(　　)‎ A．x＝1 B．x＝－1‎ C．x＝－ D．x＝ 解析：选D.因为函数y＝f(2x＋1)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，而函数y＝f(2x)的图象是将函数y＝f(2x＋1)的图象向右平移个单位，所以对称轴也向右平移个单位，所以函数y＝f(2x)的图象的对称轴为x＝.‎ ‎5．(2020·绍兴一中模拟)函数y＝的图象大致是(　　)‎ 解析：选A.因为y＝，所以函数y＝是奇函数，图象关于原点对称，故排除C；当x＜－1时，恒有y＜0，故排除D；－1＜x＜0时，y＞0，故可排除B；故选A.‎ ‎6．设函数f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者，下列说法错误的是(　　)‎ A．函数f(x)为偶函数 B．若x∈[1，＋∞)时，有f(x－2)≤f(x)‎ C．若x∈R时，f(f(x))≤f(x)‎ D．若x∈[－4，4]时，|f(x－2)|≥f(x)‎ 解析：选D.在同一坐标系中画出f(x)的图象如图所示．‎ f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数，故A正确．‎ 由图可知x∈[1，＋∞)时，有f(x－2)≤f(x)，故B成立．‎ 从图象上看，当x∈[0，＋∞)时，有0≤f(x)≤x成立，令t＝f(x)，则t≥0，故f(f(x))≤f(x)，故C成立．‎ 取x＝，则f＝f＝，‎ f＝，|f(x－2)|1.‎ 所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5‎ ‎≥2－5＝1，‎ 当且仅当x＝2时取等号，f(x)的最小值为1.‎ 所以a＝2，b＝1，‎ 所以函数g(x)＝＝，关于直线x＝－1对称，故选B.‎ ‎2．定义函数f(x)＝则函数g(x)＝xf(x)－6在区间[1，2n](n∈N*)内所有零点的和为(　　)‎ A．n B．2n C.(2n－1) D.(2n－1)‎ 解析：选D.由g(x)＝xf(x)－6＝0得f(x)＝，‎ 故函数g(x)的零点即为函数y＝f(x)和函数y＝图象交点的横坐标．‎ 由f(x)＝f可得，函数y＝f(x)是以区间(2n－1，2n)为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖直方向上缩短为原来的，从而先作出函数y＝f(x)在区间[1，2]上的图象，再依次作出其在[2，4]，[4，8]，…，[2n－1，2n]上的图象(如图)．‎ 然后再作出函数y＝的图象，结合图象可得两图象的交点在函数y＝f(x)的极大值点的位置，由此可得函数g(x)在区间(2n－1，2n)上的零点为xn＝＝·2n，故所有零点之和为Sn＝·＝.故选D.‎ ‎3．设函数f(x)＝，若f(a)＝－，则a＝________，若方程f(x)－b＝0有三个不同的实根，则实数b的取值范围是________．‎ 解析：若－4a2＝－，解得a＝－，‎ 若a2－a＝－，解得a＝，‎ 故a＝－或；当x＜0时，f(x)＜0，‎ 当x＞0时，f(x)＝－，f(x)的最小值是－，‎ 若方程f(x)－b＝0有三个不同的实根，‎ 则b＝f(x)有3个交点，故b∈.‎ 故答案为：－或；.‎ 答案：－或　 ‎4．(2020·学军中学模拟)函数f(x)＝与g(x)＝|x＋a|＋1的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：设y＝h(x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，‎ 则h(x)＝f(－x)＝ 作出y＝h(x)与y＝g(x)的函数图象如图所示．‎ 因为f(x)与g(x)图象上存在关于y轴对称的点，所以y＝h(x)与y＝g(x)的图象有交点，所以－a≤－e，即a≥e.‎ 答案：[e，＋∞)‎ ‎5．已知函数f(x)＝2x，x∈R.‎ ‎(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？‎ ‎(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．‎ 解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，‎ 由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；‎ 当00)，H(t)＝t2＋t，‎ 因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以H(t)>H(0)＝0.‎ 因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．‎ ‎6．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；‎ ‎(2)若函数f(x)＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．‎ 解：(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，则y0＝f(x0)．‎ 设P点关于x＝m的对称点为P′，‎ 则P′的坐标为(2m－x0，y0)．‎ 由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得 f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]‎ ‎＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.‎ 即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上．‎ 所以y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．‎ ‎(2)对定义域内的任意x，‎ 有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．‎ 所以|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，‎ 即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．‎ 又因为a≠0，‎ 所以2a－1＝0，得a＝.‎