2020年高中数学第二章向量数乘运算及其几何意义

2020年高中数学第二章向量数乘运算及其几何意义

‎2.2.2‎‎-2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)‎ A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ 解析：∵O，E，F是不共线的任意三点，∴＋＝，由此可以推出＝－.‎ 答案：B ‎2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　)‎ A.＝ B.＋＝ C.－＝ D.＋＝0‎ 解析：－＝，故C项错．‎ 答案：C ‎3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－‎5a＋6b，＝‎7a－2b，则一定共线的三点是(　　)‎ A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 解析：＝＋＝‎2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，‎ ‎∴与共线，∴A、B、D三点共线．‎ 答案：A ‎4．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是(　　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB延长线上 C．点P在线段AB反向延长线上 D．点P在直线AB外 解析：∵＝2－，∴－＝－，‎ 5‎ ‎∴＝，‎ ‎∴点P在线段AB反向延长线上，故应选C.‎ 答案：C ‎5．已知点C在线段AB上，且＝，则等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：＝⇒＝.∴＝＝－，∴＝－.‎ 答案：D ‎6．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用、表示为________．‎ 解析：＝＋＝＋2＝＋2(－)，∴＝2－.‎ 答案：2－ ‎7．已知点M是△ABC的重心，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.‎ 解析：如图，＝，而＋＝2，故＋＝2×＝3，∴m＝3.‎ 答案：3‎ ‎8．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝________.‎ 解析：由2－(b＋c－3x)＋b＝0，得x－a＋b－c＝0，‎ ‎∴x＝a－b＋c.‎ 答案：a－b＋c ‎9．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)．‎ 解析：如图所示▱ABCD中，连接AC交BD于O点，‎ 则O平分AC和BD.‎ ‎∵＝3，∴＝，‎ ‎∴N为OC的中点，‎ 5‎ 又M为BC的中点，∴MN＝BO，∴＝＝＝(b－a)．‎ ‎10．设a，b是两个不共线的非零向量，记＝a，＝tb(t∈R)，＝(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？‎ 解析：∵＝a，＝tb，＝(a＋b)，∴＝－＝tb－a，‎ ＝－＝(a＋b)－a＝b－a，‎ ‎∵A、B、C三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，‎ 即tb－a＝λ(b－a)．‎ 由于a，b不共线，∴ 解得 故当t＝时，A、B、C三点共线．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．给出下列各式：‎ ‎①＋＋；②－＋－；‎ ‎③－＋；④－＋＋.‎ 对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：①＋＋＝＋＝0；‎ ‎②－＋－＝＋－(＋)＝‎ －＝0；‎ ‎③－＋＝＋＋＝＋＝0；‎ ‎④－＋＋＝＋＋－＝＋＝0.‎ 答案：A ‎2．对于△ABC内部一点O，存在实数λ，使得＋＝λ(＋)成立，则△OBC与△ABC的面积之比是(　　)‎ A．1∶2 B．1∶3‎ 5‎ C．1∶4 D．1∶6‎ 解析：如图，设D，E分别是AB，AC的中点，以OA，OB为邻边作▱OAGB，以OA，OC为邻边作▱OAFC，则＋＝＝2 ，＋＝＝2 ，因为＋＝λ(＋)，所以＝λ，所以点D，O，E三点共线，所以点O在直线DE上，又因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△OBC与△ABC的面积之比为1∶2.‎ 答案：A ‎3．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.‎ 解析：因为＝， ＝－，＝－，所以－＝－，‎ ＝－＋.所以＝a－b＋c.‎ 答案：a－b＋c ‎4．如图所示，O是平面内一定点，A、B、C是平面 内不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，‎ λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．‎ 解析：设＝，＝，则与分别为单位向量，以它们为邻边作▱ADFE，则它为菱形，‎ ‎∴AF在∠BAC的平分线上，∴＝－＝λ(＋)＝λ.‎ ‎∴与共线．∴点P的轨迹一定过△ABC的内心．‎ 答案：内 ‎5．已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是M，N，设＝a， ＝b，试用a，b表示，.‎ 5‎ 解析：在平行四边形ABCD中，M，N分别 是边BC，CD的中点，‎ 所以＝，＝.‎ 所以＝＋＝＋，‎ ＝＋，所以 解得＝a－b，＝b－a.‎ ‎6．在△ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且＝，‎ ＝，AD与BE交于R，证明：＝.‎ 证明：由A，D，R三点共线，可得＝λ＋(1－λ)＝λ＋(1－λ).‎ 由B，E，R三点共线，‎ 可得＝μ＋(1－μ)＝μ＋(1－μ).‎ 所以所以 所以＝＋.‎ 所以＝－＝－，‎ ＝－＝－ ‎＝－ ‎＝＝.‎ 5‎