2018届二轮复习函数的图象与性质课件

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第 1 讲　函数的图象与性质 专题二 　 函数与导数 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　函数的性质及应用 1. 单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质 . 利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论 . 复合函数的单调性遵循 “ 同增异减 ” 的原则 . 2. 奇偶性 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 . (2) 在公共定义域内： ① 两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ② 两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③ 一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数 . (3) 若 f ( x ) 是奇函数且在 x ＝ 0 处有定义，则 f (0) ＝ 0. (4) 若 f ( x ) 是偶函数，则 f ( x ) ＝ f ( － x ) ＝ f (| x |). (5) 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称 . 3. 周期性 定义：周期性是函数在定义域上的整体性质 . 若函数在其定义域上满足 f ( a ＋ x ) ＝ f ( x )( a ≠ 0) ，则其一个周期 T ＝ | a |. 常见结论： (1) f ( x ＋ a ) ＝－ f ( x ) ⇒ 函数 f ( x ) 的最小正周期为 2| a | ， a ≠ 0. 答案 解析 例 1 　 (1)(2017 届河北省衡水中学六调 ) 已知 f ( x ) 是奇函数，且 f (2 － x ) ＝ f ( x ) ， 当 x ∈ [ 2,3 ] 时， f ( x ) ＝ log 2 ( x － 1) ，则 f 等于 A.2 － log 2 3 B.log 2 3 － log 2 7 C.log 2 7 － log 2 3 D.log 2 3 － 2 √ 思维升华 思维升华　 可以 根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值 . 解析　 因为 f ( x ) 是奇函数，且 f (2 － x ) ＝ f ( x ) ， 所以 f ( x － 2) ＝－ f ( x ) ，所以 f ( x － 4) ＝ f ( x ) ， 又当 x ∈ [2,3] 时， f ( x ) ＝ log 2 ( x － 1) ， (2)(2017 届四川省资阳市期末 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 x ( x ∈ R ) ，若不等式 f (2 m ＋ mt 2 ) ＋ f (4 t )<0 对任意实数 t ≥ 1 恒成立，则实数 m 的取值范围是 答案 解析 √ 思维升华 思维升华　 利用函数的单调性解不等式的关键是化成 f ( x 1 )< f ( x 2 ) 的形式 . 解析　 由题意得 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，则 f ( x ) 为奇函数且 f ( x ) 在 R 上单调递增， 不等式 f (2 m ＋ mt 2 ) ＋ f (4 t )<0 对任意实数 t ≥ 1 恒成立， 则 2 m ＋ mt 2 < － 4 t 在 t ≥ 1 时恒成立， 跟踪演练 1 　 (1)(2017 届河南南阳一中月考 ) 已知函数 y ＝ f ( x ) 是 R 上的偶函数，设 a ＝ ln ， b ＝ (ln π) 2 ， c ＝ ln ， 当对任意的 x 1 ， x 2 ∈ (0 ，＋ ∞ ) 时，都有 ( x 1 － x 2 )· [ f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ] <0 ，则 A. f ( a )> f ( b )> f ( c ) B. f ( b )> f ( a )> f ( c ) C. f ( c )> f ( b )> f ( a ) D. f ( c )> f ( a )> f ( b ) 答案 解析 √ 解析　 由 ( x 1 － x 2 )[ f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ] <0 可知， 又因为函数 y ＝ f ( x ) 是 R 上的偶函数，所以 y ＝ f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上单调递增， 因此 f ( c )> f ( a )> f ( b ) ，故选 D. (2)(2017 届安徽省池州市东至县联考 ) 设偶函数 f ( x ) 对任意 x ∈ R ，都有 f ( x ＋ 3) ＝－ ， 且当 x ∈ [ － 3 ，－ 2] 时， f ( x ) ＝ 4 x ，则 f (2 018) ＝ _____. 答案 解析 － 8 解析　 由条件可得 f ( x ＋ 6) ＝ f ( x ) ，函数的周期为 6 ， f (2 018) ＝ f (6 × 336 ＋ 2) ＝ f (2) ＝ f ( － 2) ＝－ 8. 热点二　函数图象及应用 1. 作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换 . 2. 利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点 . 例 2 　 (1)(2017· 深圳调研 ) 函数 y ＝ f ( x ) ＝ ·cos x 的图象大致是 答案 解析 √ 思维升华 解析　 易知函数定义域为 { x | x ≠ 0} ，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，因此函数图象关于原点对称 . 当自变量从原点右侧 x → 0 时， y → ＋ ∞ ，故选 C . 思维升华　 根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法 . (2)(2017 届菏泽期末 ) 若函数 y ＝ f ( x ) 的图象上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则称点对 [ A ， B ] 为 y ＝ f ( x ) 的 “ 友情点对 ” ，点对 [ A ， B ] 与 [ B ， A ] 可 看作 同一个 “ 友情点对 ” ，若函数 f ( x ) ＝ 恰好 有两个 “ 友情点对 ” ，则实数 a 的值为 A. － 2 B.2 C.1 D.0 答案 解析 √ 思维升华 思维升华　 判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选 . 要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值 . 解析　 首先注意到 (0 ， a ) 没有对称点 . 当 x >0 时， f ( x ) ＝－ x 3 ＋ 6 x 2 － 9 x ＋ a ，则－ f ( － x ) ＝－ x 3 － 6 x 2 － 9 x － a ， 即－ x 3 － 6 x 2 － 9 x － a ＝ 2( x <0) 有两个实数根， 即 a ＝－ x 3 － 6 x 2 － 9 x － 2( x <0) 有两个实数根 . 画 出 y ＝－ x 3 － 6 x 2 － 9 x － 2( x <0) 的图象如图所示，由图可知当 a ＝ 2 时有两个解 . 跟踪演练 2 　 (1)(2017 届山西晋中榆社中学 月考 ) 函数 f ( x ) ＝ (16 x － 16 － x )log 2 | x | 的图象大致为 答案 解析 √ 解析　 由定义域为 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ， f ( － x ) ＝－ f ( x ) ⇒ f ( x ) 是奇函数，可排除 B ， C ， 答案 解析 √ 若 a ＝ 0 ，则选项 D 是正确的，故排除 D. 三次函数 g ( x ) ＝ a 2 x 3 － 2 ax 2 ＋ x ＋ a ， 所以选项 B 的图象错误，故选 B. 热点三　基本初等函数的图象和性质 1. 指数函数 y ＝ a x ( a >0 ， a ≠ 1) 与对数函数 y ＝ log a x ( a >0 ， a ≠ 1) 的图象和性质，分 0< a <1 ， a >1 两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质 . 2. 幂函数 y ＝ x α 的图象和性质，主要掌握 α ＝ 1,2,3 ， ，－ 1 五种情况 . 思维升华　 指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力 . 例 3 　 (1)(2017· 深圳调研 ) 设 a ＝ 0.2 3 ， b ＝ log 0.3 0.2 ， c ＝ log 3 0.2 ，则 a ， b ， c 大小关系正确的是 A. a > b > c B. b > a > c C. b > c > a D. c > b > a √ 解析　 根据指数函数和对数函数的增减性知， 因为 0< a ＝ 0.2 3 <0.2 0 ＝ 1 ， b ＝ log 0.3 0.2>log 0.3 0.3 ＝ 1 ， c ＝ log 3 0.2 a > c ，故选 B. 答案 解析 思维升华 答案 解析 √ 思维升华　 比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性 . 思维升华 跟踪演练 3 　 (1)(2017· 全国 Ⅰ ) 设 x ， y ， z 为正数，且 2 x ＝ 3 y ＝ 5 z ，则 A.2 x <3 y <5 z B.5 z <2 x <3 y C.3 y <5 z <2 x D.3 y <2 x <5 z 答案 解析 √ 解析　 令 t ＝ 2 x ＝ 3 y ＝ 5 z ， ∵ x ， y ， z 为正数， ∴ t >1. ∴ 2 x >3 y . ∴ 2 x <5 z ， ∴ 3 y <2 x <5 z . 故选 D. (2)(2017 届四川雅安中学月考 ) 对任意实数 a ， b 定义运算 “ Δ ” ： a Δ b ＝ 设 f ( x ) ＝ 3 x ＋ 1 Δ(1 － x ) ，若函数 f ( x ) 与函数 g ( x ) ＝ x 2 － 6 x 在区间 ( m ， m ＋ 1) 上均为减函数，则实数 m 的取值范围是 A.[ － 1,2] B .(0,3] C.[0,2] D .[1,3] 答案 解析 √ ∴ 函数 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减，函数 g ( x ) ＝ ( x － 3) 2 － 9 在 ( － ∞ ， 3] 上单调递减，若函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在区间 ( m ， m ＋ 1) 上均为减函数， Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 全国 Ⅲ 改编 ) 函数 y ＝ 1 ＋ x ＋ 的 部分图象大致为 _____.( 填序号 ) ④ 1 2 3 4 答案 解析 2.(2017· 天津改编 ) 已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数， g ( x ) ＝ xf ( x ). 若 a ＝ g ( － log 2 5.1) ， b ＝ g (2 0.8 ) ， c ＝ g (3) ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ________. b < a < c 解析　 依题意 a ＝ g ( － log 2 5.1 ) ＝ ( － log 2 5.1)· f ( － log 2 5.1 ) ＝ log 2 5.1 f (log 2 5.1) ＝ g (log 2 5.1). 因为 f ( x ) 在 R 上是增函数，可设 0 ＜ x 1 ＜ x 2 ， 则 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 ). 从而 x 1 f ( x 1 ) ＜ x 2 f ( x 2 ) ，即 g ( x 1 ) ＜ g ( x 2 ). 所以 g ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上亦为增函数 . 又 log 2 5.1 ＞ 0,2 0.8 ＞ 0,3 ＞ 0 ，且 log 2 5.1 ＜ log 2 8 ＝ 3,2 0.8 ＜ 2 1 ＜ 3 ， 而 2 0.8 ＜ 2 1 ＝ log 2 4 ＜ log 2 5.1 ， 所以 3 ＞ log 2 5.1 ＞ 2 0.8 ＞ 0 ，所以 c ＞ a ＞ b . 答案 解析 1 2 3 4 6 解析　 若 0 ＜ a ＜ 1 ，由 f ( a ) ＝ f ( a ＋ 1) ， 若 a ≥ 1 ，由 f ( a ) ＝ f ( a ＋ 1) ， 得 2( a － 1) ＝ 2( a ＋ 1 － 1) ，无解 . 答案 解析 1 2 3 4 4.(2017· 全国 Ⅱ ) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈ ( － ∞ ， 0) 时， f ( x ) ＝ 2 x 3 ＋ x 2 ，则 f (2) ＝ ____. 答案 解析 1 2 3 4 12 解析　 方法一 　令 x ＞ 0 ，则－ x ＜ 0. ∴ f ( － x ) ＝－ 2 x 3 ＋ x 2 . ∵ 函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ). ∴ f ( x ) ＝ 2 x 3 － x 2 ( x ＞ 0). ∴ f (2) ＝ 2 × 2 3 － 2 2 ＝ 12. 方法二 　 f (2) ＝－ f ( － 2 ) ＝－ [2×( － 2) 3 ＋ ( － 2) 2 ] ＝ 12. 押题预测 答案 解析 押题依据　 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置 . 押题依据 1 2 3 4 1. 在同一直角坐标系中，函数 f ( x ) ＝ x a ( x ≥ 0) ， g ( x ) ＝ log a x 的图象可能是 √ 1 2 3 解析　 方法一 　分 a >1,0< a <1 两种情形讨论 . 当 a >1 时， y ＝ x a 与 y ＝ log a x 均为增函数，但 y ＝ x a 递增较快，排除 C ； 当 0< a <1 时， y ＝ x a 为增函数， y ＝ log a x 为减函数，排除 A. 由于 y ＝ x a 递增较慢，故选 D . 方法二 　幂函数 f ( x ) ＝ x a 的图象不过 (0,1) 点，排除 A ； B 项中由对数函数 f ( x ) ＝ log a x 的图象知 0< a <1 ，而此时幂函数 f ( x ) ＝ x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故 B 错， D 正确 ； C 项中由对数函数 f ( x ) ＝ log a x 的图象知 a >1 ，而此时幂函数 f ( x ) ＝ x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故 C 错 . 4 2.(2017 届甘肃肃南裕固族自治县一中月考 ) 设函数 y ＝ f ( x )( x ∈ R ) 为偶函数 ， 且 ∀ x ∈ R ， 满足 ， 当 x ∈ [2,3] 时， f ( x ) ＝ x ，则当 x ∈ [ － 2,0] 时， f ( x ) 等于 A.| x ＋ 4| B .|2 － x | C.2 ＋ | x ＋ 1| D.3 － | x ＋ 1| 答案 解析 押题依据　 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性 . 押题依据 1 2 3 √ 4 则当 x ∈ [ － 2 ，－ 1] 时， x ＋ 4∈[ 2 ， 3 ] ， f ( x ) ＝ f ( x ＋ 4) ＝ x ＋ 4 ＝ x ＋ 1 ＋ 3 ； 当 x ∈ [ － 1 ， 0 ] 时，－ x ∈[ 0 ， 1 ] ， 2 － x ∈[ 2 ， 3 ] ， f ( x ) ＝ f ( － x ) ＝ f (2 － x ) ＝ 2 － x ＝ 3 － x － 1 ，故 选 D. 1 2 3 4 3. 已知函数 f ( x ) ＝ ， 则 y ＝ f ( x ) 的图象大致为 答案 解析 押题依据　 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力 . 押题依据 1 2 3 4 √ 解得 f ( x ) 的定义域为 { x | x > － 1 ，且 x ≠ 0}. 1 2 3 4 当－ 1< x <0 时， g ′ ( x )>0 ； 当 x >0 时， g ′ ( x )<0. ∴ f ( x ) 在区间 ( － 1,0) 上为减函数，在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数，对照各选项，只有 B 符合 . 方法二 　本题也可取特值，用排除法求解： 1 2 3 4 排除 C ， D ，故选 B. 4. 已知函数 h ( x )( x ≠ 0) 为偶函数，且当 x >0 时， h ( x ) ＝ 若 h ( t )> h (2) ，则实数 t 的取值范围为 ________ __ ____. ( － 2,0) ∪ (0,2) 答案 解析 押题依据　 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点 . 本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质 . 押题依据 1 2 3 4 易知函数 h ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减， 因为函数 h ( x )( x ≠ 0) 为偶函数，且 h ( t )> h (2) ， 所以 h (| t |)> h (2) ，所以 0<| t |<2 ， 1 2 3 4 解得－ 2< t <0 或 0< t <2. 综上，所求实数 t 的取值范围为 ( － 2,0) ∪ (0,2).