高中数学人教a版必修四课时训练：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

高中数学人教a版必修四课时训练：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4. 理解向量共线的条件． 1．向量数乘运算 实数λ与向量 a 的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________， 其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝__________. (2)λa (a≠0)的方向 当 时，与 a 方向相同 当 时，与 a 方向相反 ； 特别地，当λ＝0或 a＝0时，0a＝________或λ0＝________. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝________. (2)(λ＋μ)a＝____________. (3)λ(a＋b)＝____________. 特别地，有(－λ)a＝____________＝________； λ(a－b)＝____________. 3．共线向量定理 向量 a (a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________． 4．向量的线性运算 向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a、b，以及任意 实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝__________________. 一、选择题 1．设 e1，e2是两个不共线的向量，若向量 m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量 n＝e2－2e1共线，则 ( ) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝1 2 2．已知向量 a、b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D 3．已知△ABC的三个顶点 A，B，C及平面内一点 P，且PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则( ) A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在 AB边上或其延长线上 D．P在 AC边上 4．已知△ABC和点 M满足MA→＋MB→＋MC→ ＝0.若存在实数 m使得AB→＋AC→＝m AM→成立，则 m的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．在△ABC中，点 D在直线 CB的延长线上，且CD→＝4BD→＝rAB→＋sAC→，则 r－s等于( ) A．0 B.4 5 C.8 3 D．3 6．设点 M是线段 BC的中点，点 A在直线 BC外，BC→ 2＝16，|AB→＋AC→ |＝|AB→－AC→ |，则|AM→ | 等于( ) A．8 B．4 C．2 D．1 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．若 2 y－1 3 a － 1 2 (c＋b－3y)＋b＝0，其中 a、b、c 为已知向量，则未知向量 y＝_______. 8．已知平面内 O，A，B，C四点，其中 A，B，C三点共线，且OC→＝xOA→＋yOB→，则 x＋y ＝________. 9. 如图所示，D是△ABC的边 AB上的中点，则向量CD→＝______.(填写正确的序号) ①－BC→＋ 1 2 BA→ ②－BC→－ 1 2 BA→ ③BC→－ 1 2 BA→ ④BC→＋ 1 2 BA→ 10. 如图所示，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为 BC的中点，则MN→ ＝______.(用 a，b 表示) 三、解答题 11．两个非零向量 a、b 不共线． (1)若 A B→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)求实数 k使 ka＋b 与 2a＋kb 共线． 12. 如图所示，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为 BC的中点，则MN→ ＝______.(用 a，b 表示) 能力提升 13．已知 O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足OP→＝OA→＋ λ AB→ |AB→ | ＋ AC→ |AC→ | (λ∈[0，＋∞))，则点 P的轨迹一定通过△ABC的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 14．在平行四边形 ABCD中，AC与 BD交于点 O，E是线段 OD的中点，AE的延长线与 CD交于点 F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于( ) A.1 4 a＋1 2 b B.2 3 a＋1 3 b C.1 2 a＋1 4 b D.1 3 a＋2 3 b 1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量 a |a| 表 示与向量 a 同向的单位向量． 3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题． 2．2.3 向量数乘运算及其几何意义 知识梳理 1．向量 数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 0 0 2．(1)(λμ)a (2)λa＋μa (3)λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb 3．b＝λa 4．加 减 数乘 λμ1a±λμ2b 作业设计 1．D [当 k＝1 2 时，m＝－e1＋ 1 2 e2，n＝－2e1＋e2. ∴n＝2m，此时，m，n 共线．] 2．C [∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b＝2AB→， ∴A、B、D三点共线．] 3．D [PA→＋PB→＋PC→＝PB→－PA→， ∴PC→＝－2PA→，∴P在 AC边上．] 4．B [∵MA→＋MB→＋MC→ ＝0， ∴点 M是△ABC的重心． ∴AB→＋AC→＝3AM→，∴m＝3.] 5．C [∵CD→＝CB→＋BD→＝4BD→， ∴CB→＝3BD→ . ∴CD→＝AD→－AC→＝AB→＋BD→－AC→ ＝AB→＋ 1 3 CB→－AC→ ＝AB→＋ 1 3 (AB→－AC→ )－AC→ ＝ 4 3 AB→－ 4 3 AC→ ∴r＝4 3 ，s＝－ 4 3 ，r－s＝8 3 .] 6．C [∵BC→ 2＝16， ∴|BC→ |＝4.又|AB→－AC→ |＝|CB→ |＝4， ∴|AB→＋AC→ |＝4. ∵M为 BC中点，∴AM→＝ 1 2 (AB→＋AC→ )， ∴|AM→ |＝1 2 |AB→＋AC→ |＝2.] 7. 4 21 a－1 7 b＋1 7 c 8．1 解析 ∵A，B，C三点共线，∴∃λ∈R 使AC→＝λAB→ . ∴OC→－OA→＝λ(OB→－OA→ )． ∴OC→＝(1－λ)OA→＋λOB→ . ∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1. 9．① 解析 －BC→＋ 1 2 BA→＝CB→＋ 1 2 BA→＝CB→＋BD→＝CD→ . 10.1 4 (b－a) 解析 MN→ ＝MB→＋BA→＋AN→ ＝－ 1 2 b－a＋3 4 AC→ ＝－ 1 2 b－a＋3 4 (a＋b) ＝ 1 4 (b－a)． 11．(1)证明 ∵AD→＝A B→＋BC→＋CD→＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6A B→，∴A、B、 D三点共线． (2)解 ∵ka＋b 与 2a＋kb 共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)． ∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0， ∴ k－2λ＝0， 1－λk＝0 ⇒k＝± 2. 12．证明 设BA→＝a，BC→＝b，则由向量加法的三角形法则可知： CM→ ＝BM→－BC→＝ 1 2 BA→－BC→＝ 1 2 a－b. 又∵N在 BD上且 BD＝3BN， ∴BN→＝ 1 3 BD→＝ 1 3 (BC→＋CD→ )＝1 3 (a＋b)， ∴CN→＝BN→－BC→＝ 1 3 (a＋b)－b＝1 3 a－2 3 b＝2 3 1 2 a－b ， ∴CN→＝ 2 3 CM→ ，又∵CN→与CM→ 共点为 C， ∴C、M、N三点共线． 13．B [ AB→ |AB→ | 为AB→上的单位向量， AC→ |AC→ | 为AC→上的单位向量，则 AB→ |AB→ | ＋ AC→ |AC→ | 的方向为∠BAC的 角平分线AD→的方向． 又λ∈[0，＋∞)，∴λ AB→ |AB→ | ＋ AC→ |AC→ | 的方向与 AB→ |AB→ | ＋ AC→ |AC→ | 的方向相同．而OP→＝OA→＋λ AB→ |AB→ | ＋ AC→ |AC→ | ， ∴点 P在AD→上移动． ∴点 P的轨迹一定通过△ABC的内心．] 14．B [ 如图所示， ∵E是 OD的中点， ∴OE→＝ 1 4 BD→＝ 1 4 b. 又∵△ABE∽△FDE， ∴ AE EF ＝ BE DE ＝ 3 1 . ∴AE→＝3EF→，∴AE→＝ 3 4 AF→ . 在△AOE中，AE→＝AO→＋OE→＝ 1 2 a＋1 4 b. ∴AF→＝ 4 3 AE→＝ 2 3 a＋1 3 b.]