四川省南充市2020届高三第二次适应性考试数学（理）试题 Word版含解析

四川省南充市2020届高三第二次适应性考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 南充市高2020届第二次高考适应性考试 数学试题（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回.‎ 第Ⅰ卷选择题（共60分）‎ 注意事项：‎ 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数（　　）‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据运算法则，简单计算即可.‎ ‎【详解】，‎ 故选；C ‎【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属基础题.‎ ‎2.已知集合，，若，则（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为,所以,所以或.‎ 若，则,满足.‎ 若，解得或.若，则，满足 - 22 -‎ ‎.若，显然不成立，综上或，选B.‎ ‎3.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数基本关系，得到，再由，结合题中条件，即可得出结果.‎ ‎【详解】由，得 又因为，‎ 所以，即 因为，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查由正切求正弦的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.‎ ‎4.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 22 -‎ ‎【解析】‎ 如图，已知，， ‎ ‎∴，解得 ， ‎ ‎∴，解得 .‎ ‎∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B.‎ ‎5.已知等式成立，则（ ）‎ A. 0 B. 5 C. 7 D. 13‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.‎ ‎【详解】由可知：‎ 令，得；‎ 令，得；‎ 令，得，‎ 得，，而，所以 ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.‎ ‎6.过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 过圆外一点，‎ 引圆两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选．‎ ‎7.定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.‎ ‎【详解】由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，‎ 又有，综上得的取值范围是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.‎ ‎8.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．‎ ‎【详解】由题意原几何体是正三棱柱，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．‎ ‎9.的内角的对边分别为，若，则内角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．‎ ‎【详解】∵，由正弦定理可得，‎ ‎∴，‎ 三角形中，∴，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．‎ ‎10.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．‎ ‎【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，‎ ‎∴．‎ 正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，‎ 则由得，解得，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．‎ ‎11.设双曲线的右顶点为，右焦点为，过点作平行的一条渐近线的直线与交于点，则的面积为（ ）‎ A. B. C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的标准方程求出右顶点、右焦点的坐标，再求出过点与 - 22 -‎ 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.‎ ‎【详解】由双曲线的标准方程可知中：，因此右顶点的坐标为，右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点作平行的一条渐近线的直线与交于点，所以直线的斜率为，因此直线方程为：，因此点的坐标是方程组：的解，解得方程组的解为：，即，所以的面积为：‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎12.已知函数，，其中为自然对数底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x，‎ 令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣=，‎ 故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，‎ 故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，‎ 而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；‎ 故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；‎ 故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选A．‎ - 22 -‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量满足，且，则 _________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数量积的运算律求得，再由数量积的定义可得结论．‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎∴，即，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．‎ ‎14.函数在的零点个数为_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本问题转化为曲线交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.‎ ‎【详解】问题函数在的零点个数，可以转化为曲线交点个数问题.‎ 在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示：‎ - 22 -‎ 由图象可知：当时，两个函数只有一个交点.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想.‎ ‎15.已知函数图象上一点处的切线方程为，则_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得．‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎∵函数图象在点处的切线方程为，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，‎ ‎16.设为抛物线的焦点，为上互相不重合的三点，且、、成等差数列，若线段的垂直平分线与轴交于，则的坐标为_______.‎ - 22 -‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可.‎ ‎【详解】抛物线的准线方程为：，设，由抛物线的定义可知：，，，因为、、成等差数列，所以有，所以，‎ 因为线段的垂直平分线与轴交于，所以，因此有 ‎，化简整理得：‎ 或.‎ 若，由可知；，这与已知矛盾，故舍去；‎ 若，所以有，因此.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.等差数列中，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，记为数列前项的和，若，求．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）由基本量法求出公差后可得通项公式；‎ ‎（2）由等差数列前项和公式求得，可求得．‎ ‎【详解】解：（1）设的公差为，由题设得 因为，‎ 所以 解得，‎ 故．‎ ‎（2）由（1）得．‎ 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以，‎ 由得，‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前项和公式，解题方法是基本量法．‎ ‎18.为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．‎ - 22 -‎ ‎（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数；‎ ‎（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：‎ 抗倒伏 易倒伏 矮茎 高茎 ‎（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？‎ 附：，‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）190（2）见解析 （3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；‎ ‎（2）由茎叶图可得列联表；‎ ‎（3）由列联表计算可得结论．‎ ‎【详解】解：（1）．‎ ‎（2）‎ 抗倒伏 易倒伏 矮茎 ‎15‎ ‎4‎ - 22 -‎ 高茎 ‎10‎ ‎16‎ ‎（3）由于，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键．‎ ‎19.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连接，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；‎ ‎（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点到直线的距离即为点到平面的距离，结合垂线段的性质可以确定点到平面的距离最大，最大值为1.‎ 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.‎ - 22 -‎ ‎【详解】（1）证明：取中点，连接，‎ 因为四边形为菱形且.‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 又，‎ 所以平面，因为平面，‎ 所以.‎ 同理可证，‎ 因为，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解：由（1）得平面，‎ 所以平面平面，平面平面.‎ 所以点到直线的距离即为点到平面的距离.‎ 过作的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为，此时必过的中点，‎ 因为为中点，所以此时，点到平面的距离最大，最大值为1.‎ 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.‎ 则 所以 平面的一个法向量为，‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 取，则，‎ ‎，‎ 所以，‎ - 22 -‎ 所以面与面所成二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了二面角的向量求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.‎ ‎20.设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为0．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用的最小值为0，可得，，即可求椭圆的方程；‎ ‎（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于的一元二次方程，由直线与椭圆仅有一个公共点知，即可得到，的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到，．当时，设直线的倾斜角为，则，即可得到四边形面积 - 22 -‎ 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当时，四边形是矩形，即可得出的最大值．‎ ‎【详解】（1）设，则，，‎ ‎，，‎ 由题意得，， ‎ 椭圆的方程为；  ‎ ‎（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，‎ 得．                ‎ 由直线与椭圆仅有一个公共点知，，‎ 化简得：．  ‎ ‎                        ‎ 设，， ‎ 当时，设直线的倾斜角为，‎ 则，‎ ‎， ‎ ‎，‎ - 22 -‎ ‎，‎ ‎∴当时，，，‎ ‎．‎ 当时，四边形是矩形，．   ‎ 所以四边形面积的最大值为2．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数的两个极值点为，，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先求导，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范围.(2)先由得到 ‎，再求得，再构造函数再利用导数求其最小值.‎ 详解：（1）由函数有意义，则 ‎ 由且不存在单调递减区间，则在 - 22 -‎ 上恒成立，‎ ‎ 上恒成立 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由知，‎ ‎ 令，即 ‎ 由有两个极值点 ‎ 故为方程的两根，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 则 ‎ ‎ 由 由 ，则上单调递减 - 22 -‎ ‎，即 ‎ ‎ 由知 综上所述，的最小值为.‎ 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出,其二是构造函数再利用导数求其最小值.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.‎ ‎(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果 试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0‎ 又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；‎ ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0‎ 设t1，t2是上述方程的两实数根，‎ 所以t1+t2=3‎ 又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得最小值，再解含绝对值不等式可得的取值范围.‎ 试题解析：（1）等价于或或，‎ 解得：或.故不等式的解集为或.‎ ‎（2）因为：‎ 所以，由题意得：，解得或.‎ - 22 -‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ - 22 -‎ - 22 -‎