四川省南充市2020届高三第二次适应性考试数学（文）试题 Word版含解析

四川省南充市2020届高三第二次适应性考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 南充市高2020届第二次高考适应性考试 数学试题（文科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回．‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 注意事项：‎ 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑．‎ 第I卷共12小题．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.复数（　　）‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据运算法则，简单计算即可.‎ ‎【详解】，‎ 故选；C ‎【点睛】本题主要考查复数除法运算，属基础题.‎ ‎2.已知集合，，若，则（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为,所以,所以或.‎ 若，则,满足.‎ - 20 -‎ 若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.‎ ‎3.3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．‎ ‎【详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．‎ ‎4.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数基本关系，得到，再由，结合题中条件，即可得出结果.‎ ‎【详解】由，得 又因为，‎ - 20 -‎ 所以，即 因为，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查由正切求正弦的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.‎ ‎5.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图，已知，， ‎ ‎∴，解得 ， ‎ ‎∴，解得 .‎ ‎∴折断后竹干高为4.55尺 故选B.‎ ‎6.若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知点坐标代入求出，然后验证各选项．‎ ‎【详解】由题意，，或，，‎ 不妨取或，‎ 若，则函数为，四个选项都不合题意，‎ 若，则函数为，只有时，，即是对称轴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．‎ ‎7.过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 过圆外一点，‎ 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选．‎ ‎8.定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 20 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.‎ ‎【详解】由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，‎ 又有，综上得的取值范围是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.‎ ‎9.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．‎ ‎【详解】由题意原几何体是正三棱柱，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．‎ ‎10.的内角的对边分别为，若，则内角（ ）‎ - 20 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．‎ ‎【详解】∵，由正弦定理可得，‎ ‎∴，‎ 三角形中，∴，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．‎ ‎11.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．‎ ‎【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，‎ ‎∴．‎ 正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，‎ 则由得，解得，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．‎ ‎12.设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率．‎ ‎【详解】由题意∵，∴由双曲线定义得，从而得，，‎ 在中，由余弦定理得，化简得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知向量满足，且，则 _________．‎ - 20 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数量积的运算律求得，再由数量积的定义可得结论．‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎∴，即，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．‎ ‎14.一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数，若把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为，则_________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据均值的定义计算．‎ ‎【详解】由题意，∴．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查均值的概念，属于基础题．‎ ‎15.已知函数图象上一点处的切线方程为，则_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得．‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎∵函数图象在点处的切线方程为，‎ - 20 -‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，‎ ‎16.已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率．‎ ‎【详解】设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，‎ 则，，∵，∴，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，∴直线斜率．‎ 故答案为：．‎ - 20 -‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.等差数列中，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，记为数列前项的和，若，求．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由基本量法求出公差后可得通项公式；‎ ‎（2）由等差数列前项和公式求得，可求得．‎ ‎【详解】解：（1）设的公差为，由题设得 因为，‎ 所以 - 20 -‎ 解得，‎ 故．‎ ‎（2）由（1）得．‎ 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以，‎ 由得，‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前项和公式，解题方法是基本量法．‎ ‎18.为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．‎ ‎（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数；‎ ‎（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：‎ 抗倒伏 易倒伏 矮茎 高茎 - 20 -‎ ‎（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？‎ 附：，‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）190（2）见解析 （3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；‎ ‎（2）由茎叶图可得列联表；‎ ‎（3）由列联表计算可得结论．‎ ‎【详解】解：（1）．‎ ‎（2）‎ 抗倒伏 易倒伏 矮茎 ‎15‎ ‎4‎ 高茎 ‎10‎ ‎16‎ ‎（3）由于，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键．‎ ‎19.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，‎ - 20 -‎ 是的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接与交于，连接，证明即可得证线面平行；‎ ‎（2）首先证明平面(只要取中点，可证平面，从而得，同理得),因此点到直线的距离即为点到平面的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积．‎ ‎【详解】（1）证明：连接与交于，连接，‎ 因为是菱形，所以为的中点，‎ 又因为为的中点，‎ 所以，‎ 因为平面平面，‎ 所以平面．‎ - 20 -‎ ‎（2）解：取中点，连接，‎ 因为四边形是菱形，，且，‎ 所以，又，‎ 所以平面，又平面，‎ 所以．‎ 同理可证：，又，‎ 所以平面，‎ 所以平面平面，‎ 又平面平面，‎ 所以点到直线的距离即为点到平面的距离，‎ 过作直线的垂线段，在所有垂线段中长度最大为，‎ 因为为的中点，故点到平面的最大距离为1，‎ 此时，为的中点，即，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键．‎ ‎20.设点分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为3．‎ - 20 -‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，直线与轴交于点，过点且斜率的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：直线．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，求出后由二次函数知识得最小值，从而得，即得椭圆方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，代入椭圆方程整理，设，由韦达定理得，设，利用三点共线，求得，‎ 然后验证即可．‎ ‎【详解】解：（1）设，则，‎ 所以，‎ 因为．‎ 所以当时，值最小，‎ 所以，解得，（舍负）‎ 所以，‎ - 20 -‎ 所以椭圆的方程为，‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 联立，得．‎ 设，则，‎ 设，因为三点共线，又 所以，解得．‎ 而所以直线轴，即．‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，采取设而不求思想，设，设直线方程，应用韦达定理，得出，再代入题中需要计算可证明的式子参与化简变形．‎ ‎21.已知两数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值点；‎ ‎（2）当时，若恒成立，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）唯一的极大值点1，无极小值点．（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，求得的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点；‎ ‎（2）问题可变形为恒成立，由导数求出函数的最小值，时，‎ - 20 -‎ 无最小值，因此只有，从而得出的不等关系，得出所求最大值．‎ ‎【详解】解：（1）定义域为，当时，‎ ‎，‎ 令得，当 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以有唯一的极大值点，无极小值点．‎ ‎（2）当时，．‎ 若恒成立，则恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 令，则，由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，所以 所以，‎ 所以，‎ 故的最大值为1．‎ ‎【点睛】本题考查用导数求函数极值，研究不等式恒成立问题．在求极值时，由确定的不一定是极值点，还需满足在两侧的符号相反．不等式恒成立深深转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用．‎ ‎（二）选考题共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点 - 20 -‎ 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.‎ ‎(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果 试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0‎ 又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；‎ ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0‎ 设t1，t2是上述方程两实数根，‎ 所以t1+t2=3‎ 又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.设函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得最小值，再解含绝对值不等式可得的取值范围.‎ - 20 -‎ 试题解析：（1）等价于或或，‎ 解得：或.故不等式的解集为或.‎ ‎（2）因为：‎ 所以，由题意得：，解得或.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ - 20 -‎ - 20 -‎