2019-2020学年四川省南充市高级中学高二上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

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2019-2020学年四川省南充市高级中学高二上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

‎2019-2020学年四川省南充市高级中学高二上学期12月月考数学(理)试题 一、单选题 ‎1.设,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:,即..故B正确.‎ ‎【考点】集合间的关系.‎ ‎2.直线的倾斜角是().‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】算出斜率后可得倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为,设直线的倾斜角为,则,‎ 因为,所以,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角的计算,属于基础题.‎ ‎3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )‎ A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:符合分层抽样法的定义,故选C.‎ ‎【考点】分层抽样.‎ ‎4.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析:先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假,再判断“|a|=1”时,“a=1”的真假,进而结合充要条件的定义即可得到答案.‎ 解:当“a=1”时,“|a|=1”成立 即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题 但“|a|=1”时,“a=1”不一定成立 即“|a|=1”时,“a=1”为假命题 故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件 故选A 点评:本题考查的知识点是充要条件,其中根据绝对值的定义,判断“a=1”⇒“|a|=1”与“|a|=1”时,“a=1”的真假,是解答本题的关键.‎ ‎5.按照程序框图(如图)执行,第4个输出的数是(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【答案】C ‎【解析】按步骤写出对应程序,从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解:第一次输出的,则,满足条件,然后 第二次输出的,则,满足条件,然后 第三次输出的,则,满足条件,然后 第四次输出的,则,满足条件,然后 第五次输出的,则,不满足条件,然后退出循环 故第4个输出的数是7 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查算法框图,重在考查学生的计算能力和分析能力.‎ ‎6.函数的图象大致是  ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数的奇偶性排除选项B、C项,然后利用特殊值判断,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,函数满足,‎ 所以函数为偶函数,排除B、C,‎ 又因为时,,此时,所以排除D,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的图象的识别问题,其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除,以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键,着重考查了分析问题解决问题的能力,属于基础题.‎ ‎7.已知是两个不同的平面,下列四个条件中能推出的是( )‎ ‎①存在一条直线;‎ ‎②存在一个平面;‎ ‎③存在两条平行直线;‎ ‎④存在两条异面直线.‎ A.①③ B.②④ C.①④ D.②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:对①,由线面垂直的性质知①能推出,对②,如教室的墙角的两墙面都与底面垂直,则这两个墙面不平行;对③由图3知,,但相交,故③推不出,结合选项,排除A,B,D,故选C.‎ ‎【考点】空间线面、面面平行垂直的判定与性质 ‎8.(08·海南文)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,则λ=(  )‎ A.-1 B.1 ‎ C.-2 D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】a=(1,-3),b=(4,-2),‎ ‎∴λa+b=λ(1,-3)+(4,-2)=(λ+4,-3λ-2),‎ ‎∵λa+b与a垂直,‎ ‎∴λ+4+(-3)(-3λ-2)=0,‎ ‎∴λ=-1,故选A.‎ ‎9.如图,在直二面角的棱上有、两点,直线、分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,,则直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】建立空间坐标系,求出两条异面直线的方向向量,代入夹角公式,可得答案.‎ ‎【详解】‎ 以A为坐标原点,建立如图所示的坐标系,‎ 则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,0,6),D(4,﹣8,0),‎ 故(4,0,0),(4,﹣8,﹣6),‎ 故直线AB与CD所成角的余弦值为,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,异面直线及其所成的角,难度不大,属于基础题.‎ ‎10.椭圆的焦点在轴上,则它的离心率的取值范围( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据椭圆 1的焦点在x轴上,确定a的范围,表示出椭圆的离心率,利用基本不等式,可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆 1的焦点在x轴上,‎ ‎∴5a>4a2+1‎ ‎∴‎ ‎∵椭圆的离心率为(当且仅当,即a时取等号)‎ ‎∴椭圆的离心率的取值范围为(0,]‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程与离心率,考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎11.已知函数(),若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意,分析可得函数f(x)为奇函数且为增函数,进而可以将原问题转化为m对任意实数t≥1恒成立,由基本不等式的性质分析可得有最小值,进而分析可得m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,函数f(x)=x3+3x,其定义域为R,关于原点对称,‎ 有f(﹣x)=﹣(x3+3x)=﹣f(x),则f(x)为奇函数,‎ 又由f′(x)=3x2+3>0,则f(x)为增函数,‎ 若不等式f(2m+mt2)+f(4t)<0对任意实数t≥1恒成立,‎ 则f(2m+mt2)<﹣f(4t),即2m+mt2<﹣4t对任意实数t≥1恒成立,‎ ‎2m+mt2<﹣4t⇔m,即m,‎ 又由t≥1,则t2,则有最小值,当且仅当时等号成立 若m对任意实数t≥1恒成立,必有m;‎ 即m的取值范围为(﹣∞,);‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,关键是分析判断函数f(x)=x3+3x的奇偶性与单调性.‎ ‎12.已知等比数列满足,且,,成等差数列,则 的最大值为( )‎ A.1022 B.1023 C.1024 D.1025‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用等比数列通项公式和等差数列定义列出方程组,求出首项和公比,从而得到,进而a1a2a3…an=24+3+2+1+…+(5﹣n),由此能求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵等比数列{an}满足a2a5=2a3,且a4,,2a7成等差数列,‎ ‎∴,‎ 解得,‎ ‎∴,‎ ‎∴a1a2a3…an=24+3+2+1+…+(5﹣n),‎ ‎∴当n=4或n=5时,‎ a1a2a3…an取最大值,且最大值为210=1024.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列、等差数列等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中等题.‎ 二、填空题 ‎13.已知等差数列的通项公式,则它的公差为__________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】因为数列为等差数列,所以常数=公差,又因为数列的通项公式为,所以公差为,故答案为.‎ ‎14.在中,角, , 的对边分别为 ,若,则等于____‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由已知.在中, , .‎ ‎15.已知,任取、,则使得的概率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先把(x2+y2﹣4)0转化为;画出图形求出图中阴影部分占正方形的面积比即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(x2+y2﹣4)0等价于 不等式;‎ 画出图形,如图所示;‎ 则不等式组表示的是图中的阴影部分,‎ 所求的概率为P.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型的应用问题,解题时应根据题意画出图形,计算对应图形的面积,是基础题目.‎ ‎16.若对圆上任意一点,的取值与,无关,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得故|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点P到直线m:3x﹣4y+a=0与直线l:3x﹣4y ‎﹣9=0距离之和的5倍,进一步分析说明圆位于两直线内部,再由点到直线的距离公式求解直线3x﹣4y+a=0与圆相切时的a值,则答案可求.‎ ‎【详解】‎ 设z=|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|=5(),‎ 故|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点P(x,y)到直线m:3x﹣4y+a=0与直线l:3x﹣4y﹣9=0距离之和的5倍,‎ ‎∵|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|的取值与x,y无关,‎ ‎∴这个距离之和与点P在圆上的位置无关,‎ 如图所示:可知直线m平移时,P点与直线m,l的距离之和均为m,l的距离,‎ 即此时圆在两直线内部,‎ 当直线m与圆相切时,,‎ 化简得|a﹣1|=5,‎ 解得a=6或a=﹣4(舍去),‎ ‎∴a≥6.‎ 故答案为:a≥6.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,考查数学转化思想方法,属于难题.‎ 三、解答题 ‎17.已知命题:方程无解,命题:,恒成立,若是真命题,且也是真命题,求的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】先求出当,为真时命题的等价条件,再利用复合命题及其真假求解即可.‎ ‎【详解】‎ 当为真时,有:,解得:;‎ 当命题为真时,有:,对恒成立,即,‎ 由是真命题,且也是真命题得:与都是真命题;即 综上,所求的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查了复合命题及其真假,考查二次方程及恒成立问题,正确求解命题为真的条件是关键,是中档题 ‎18.已知三角形的顶点坐标为,,,是边上的中点。‎ ‎(Ⅰ)求边所在直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)求中线的长;‎ ‎(Ⅲ)求边的高所在直线的方程。‎ ‎【答案】(1) 6x-y+11=0 (2) ‎ ‎【解析】)解:(1)由两点式写方程得,‎ 即 6x-y+11=0‎ 或 直线AB的斜率为 直线AB的方程为 即 6x-y+11=0‎ ‎(2)设M的坐标为(),则由中点坐标公式得 故M(1,1)‎ ‎19.某公司在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.‎ ‎(1)根据频率分布直方图,计算图中各小长方形的宽度;‎ ‎(2)根据频率分布直方图,估计投入4万元广告费用之后,销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);‎ ‎(3)按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:‎ 广告投入(单位:万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益(单位:百万元)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎7‎ 表中的数据显示,与之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并计算关于的回归方程.‎ 附公式:,.‎ ‎【答案】(1)2;(2);(3).‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图,由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可计算图中各小长方形的宽度;‎ ‎(Ⅱ)以各组的区间中点值代表该组的取值,即可计算销售收益的平均值;‎ ‎(Ⅲ)求出回归系数,即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)设各小长方形的宽度为,由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知,故;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是,‎ 其中点分别为,对应的频率分别为,‎ 故可估计平均值为;‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知空白栏中填5.‎ 由题意可知,,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 根据公式,可求得,,‎ 即回归直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归方程,考查频率分布直方图,考查学生的读图、计算能力,属于中档题.‎ ‎20.在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,,,.在梯形中,,且,,平面.‎ ‎(1)求证:.‎ ‎(2)求二面角的正切值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】(1)证明BC⊥AC.EC⊥BC,推出BC⊥平面ACEF,然后证明BC⊥AF.‎ ‎(2)建立空间直角坐标系,求出平面DEF法向量,平面EFA法向量,利用空间向量的数量积求解二面角D﹣EF﹣A的正切值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)在中,,所以,由勾股定理知:,故.‎ 又因为平面,平面,‎ 所以,而,‎ 所以平面,又平面,‎ 所以.‎ ‎(2)由题易知可建如图所示空间直角坐标系,则,,,,‎ ‎,,‎ 设平面法向量为,‎ 则由知:,,故取.‎ 而由(1)知:平面法向量为,‎ ‎.‎ 故,‎ ‎,‎ 二面角的正切值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及逻辑推理能力,是中档题.‎ ‎21.已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直线l:x﹣y+3=0.当直线l被圆C截得的弦长为时,求 ‎(Ⅰ)a的值;‎ ‎(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ)a=1;(Ⅱ)5x﹣12y+45=0或x=3.‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d,然后根据垂径定理得到弦心距,弦的一半及圆的半径成直角三角形,利用勾股对了列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,然后由a大于0,得到满足题意a的值;‎ ‎(Ⅱ)把(Ⅰ)求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程,即可得到圆心的坐标,并判断得到已知点在圆外,分两种情况:当切线的斜率不存在时,得到x=3为圆的切线;当切线的斜率存在时,设切线的斜率为k,由(3,5)和设出的k写出切线的方程,根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,让d等于圆的半径即可列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程.综上,得到所有满足题意的切线的方程.‎ ‎【详解】‎ 解:(Ⅰ)依题意可得圆心C(a,2),半径r=2,‎ 则圆心到直线l:x﹣y+3=0的距离,‎ 由勾股定理可知,代入化简得|a+1|=2,‎ 解得a=1或a=﹣3,‎ 又a>0,所以a=1;‎ ‎(Ⅱ)由(1)知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=4,圆心坐标为(1,2),圆的半径r=2‎ 由(3,5)到圆心的距离为r=2,得到(3,5)在圆外,‎ ‎∴①当切线方程的斜率存在时,设方程为y﹣5=k(x﹣3)‎ 由圆心到切线的距离dr=2,‎ 化简得:12k=5,可解得,‎ ‎∴切线方程为5x﹣12y+45=0;‎ ‎②当过(3,5)斜率不存在直线方程为x=3与圆相切.‎ 由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件,灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值,灵活运用点到直线的距离公式化简求值,是一道综合题 ‎22.已知椭圆经过点,且右焦点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过的直线交椭圆与,两点,记,若的最大值和最小值分别为,,求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】(1) 列方程组求解出,即可;‎ ‎(2) 对k讨论,分别建立方程组,找到根与系数关系,建立t的恒成立方程进行求解.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)有椭圆的右焦点为,知,即,‎ 则:‎ 又椭圆过点,则,又,求得 椭圆方程:.‎ ‎(2)当直线斜率存在时,设的方程为,‎ 由得,即,‎ 在椭圆内部,,‎ ‎,‎ 则 ‎,‎ ‎ ③‎ 将①②代入③得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 则 ‎,即,‎ 又是两个根,,‎ 当直线斜率不存在时,联立得,‎ 不妨设 ‎,,‎ ‎.‎ 可知.‎ 综上 ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系,考查转化能力与计算能力,属于中档题目.‎
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