数学文卷·2017届广西南宁市高三第二次适应性考试（2017

数学文卷·2017届广西南宁市高三第二次适应性考试（2017

‎2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷（文科）‎ 一、选择题 ‎1．已知集合，,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．从1,2,3,4中任取两个不同的数，则其中一个数恰好是另一个数的2倍的概率为 A. 　　　　　　B. 　　C. 　　　 D. ‎ ‎3．复数在复平面内对应的点在第一象限，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知向量，且∥，则 A. 　 B.45 　　 C.5 　　　D.25 ‎ ‎（第7题图）‎ ‎5．若椭圆C：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．在中，，，则内角的正弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的的值是 A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 ‎ ‎8．若以函数的图像中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则的值为 A.1 B. 2 C. D. ‎ ‎9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥中，四棱锥的侧棱长都为4,是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．若,则,则的值为 A． B． C． D． ‎ ‎11. 若直线是函数图像的一条切线，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．过动点作圆:的切线,其中为切点.若(为坐标原点)，则的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.‎ ‎13．设变量满足约束条件则目标函数的最大值是 ▲ ． ‎ ‎14若锐角满足，，‎ 则 ▲ ． ‎ ‎15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 ▲ ．‎ ‎16．定义在上的函数，如果存在函数，为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数.给出如下命题:①函数是函数的一个承托函数;‎ ‎②函数是函数的一个承托函数;‎ ‎③若函数是函数的一个承托函数,则的取值范围是;‎ ‎④值域是的函数不存在承托函数.‎ 其中正确的命题的个数为 ▲ . ‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知数列的前项和满足:.‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.‎ ‎18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎（1）求出与的回归方程；‎ ‎（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6，请用所求回归方程预测该店当日的营业额；‎ 附: 回归方程中, ,.‎ ‎19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱中，E是线段上的点,‎ ‎，.‎ ‎（1）求证:⊥；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知椭圆和抛物线有公共焦点,的中心和的顶点都在坐标原点,过点的直线与抛物线分别相交于两点（其中点在第四象限内）.‎ ‎(1)若,求直线的方程;(2)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上,直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长的最小值.‎ ‎21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若在为减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数存在唯一的零点，求实数的取值范围．‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知圆E的极坐标方程为，以极点为原点、极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中≥0，.若倾斜角为且经过坐标原点的直线与圆E相交于点A(A点不是原点).(1)求点A的极坐标;‎ ‎(2)设直线过线段的中点,且直线交圆E于B,C两点,求的最大值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若满足（1）中不等式，求证：.‎ ‎2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷（文科）评分标准 一、选择题 ‎1．B　2．B　　3．A　4．A ‎5．C　6．A　　7．C　8．C ‎9．A　10．D　11. A　12．B 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.‎ ‎13．14‎ ‎14、‎ ‎15．‎ ‎16．2‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 解：（1）第一类解法： ‎ 当n=1时，..........................................................................1分 当时...................................................................................2分 ‎......................................................................3分 ‎...............................................................................4分 而也满足..........................................................................5分 ‎∴数列的通项公式为.................................................................................6分 第二类解法：‎ ‎...................................................................................1分 ‎.....................................................................2分 ‎.............................................................................3分 ‎∴数列的通项公式为.................................................................................4分 第三类解法：‎ ‎..........1分; .......1分;...........1分,共3分 第四类解法：‎ 由Sn可知等差.........................................................................2分 且，...............................................................................4分 ‎∴数列的通项公式为.................................................................................5分 ‎（2）‎ ‎∵,∴................................................................................7分 ‎..........................................................................8分 则.................................................10分 ‎..........................................................................11分 ‎...........................................................................12分 ‎18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 解: (1) ∵令,则............................1分 ‎,.............................2分 ‎.......................................3分 ‎∴ .....................................................................4分 ‎∴,..................................................................................5分 ‎∴,............................................................................................................6分 ‎(‎ 说明整个的求解是4分(从3分至6分段)，如果用该写法结果不正确，但有过程，则统一给1分）‎ ‎∴..........................................................................7分 ‎∴所求的回归方程是.........................................................................8分 ‎(2) 由.............................9分 知与之间是负相关;...............................................................10分 将代入回归方程可预测该店当日的销售量 ‎................................11分 ‎（千克）................................................................................12分 ‎19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 解：（1）解法一: 连接CA.……………………………...……1分 在△ABC和△ADC中，‎ AB=AD,CD=CB, AC=AC，∴△ABC≌△ADC. ……..…2分 ‎∴∠BAC=∠DAC，从而AC⊥BD.…………………………3分 ‎（或者∵AB=AD,CD=CB，∴A和C都在BD的中垂线上.…2分 从而AC是BD的中垂线，即AC⊥BD. ……...................…3分）‎ A1A⊥平面ABCD，BD⊥A1A..…………………........…4分 A1A与AC相交于A, BD⊥平面A1AC C1. …….............…5分 CE在平面A1AC C1, ⊥. ........................................6分 解法二：连接CA.…………………………………………………………….…………1分 ‎，∴△BCD是等边三角形，‎ ‎，∴，即DA⊥DC. …2分 分别以DA，DC，DD1所在直线为轴，建立空间直角坐标系，……3分 ‎，……………………………..…4分 ‎∴.…………………………………………..…5分 ‎，∴，即.………………………6分 ‎（2）设M是BD的中点，连接EM和.……………………...…7分 由（1）得BM⊥平面.…………………………....…..…8分 ‎ ∵，，‎ ‎∴的高为AC=2， …………………………………………...………9分 三棱锥B—CC1E的高BM=.……………………………………...……10分 ‎∴的面积S=………………………………...……11分 故......................................... ................. .................12分 ‎20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为.......................................................................1分 设直线的方程为........................................................................................................2分 令其中.由,得................................3分 联立可得,解得,,..................4分 ‎.........................................................................................................................................5分 直线的方程为................................................................................................6分 解法二: 由题意得抛物线方程为 ‎.....................................................................................1分 设直线的方程为...................................................................................................2分 令其中.由,得................................3分 联立可得,解得,,................4分 ‎.........................................................................................................................................5分 直线的方程为...............................................................................................6分 解法三: 由题意得抛物线方程为.................................................................................1分 设直线的方程为...................................................................................................2分 令其中由,‎ 得..............3分 联立可得,‎ 解得,,...............................................................................................................4分 ‎..................................................................................................................................5分 直线的方程为.........................................................................................6分 第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。‎ ‎ （2）设出直线方程，得1分 ‎（3）求出A，B两点横纵标关系（）或纵坐标关系（），得1分 ‎（4）联立方程组，求出纵坐标（，）或横坐标（），得1分 ‎（5）求出待定的字母，得1分 ‎（6）下结论，写对直线方程，得1分。（若学生得两种结果，不得分）‎ ‎(2)设,直线点在抛物线上, ‎ 直线的斜率存在,…………………………………7分 关于直线对称,所以.解得...............8分 故代入抛物线:,可得 ...................9分 直线的方程为或...............................................................................10分 设椭圆为,. 联立直线和椭圆,消去整理得 解得.....................................................11分 则即.椭圆的长轴长的最小值为...........................................12分 第二问得分点分析：‎ ‎ （1）点P坐标算对，得2分，若点P坐标不对，有过程，过程无论对错，得1分 ‎ （2）利用对称关系，得到点P坐标与待定字母之间关系，得1分。、‎ ‎ （3）将点P坐标代入抛物线方程，求出待定字母，得1分。‎ ‎ （4）写出直线方程，得1分。‎ ‎ （5）由直线与椭圆有公共点，得椭圆方程中待定字母的范围，得1分 ‎ （6）求出长轴长的最小值，得1分 ‎(另外:若设直线方程为,则代入抛物线:,得直线的方程为.也对应给分)‎ ‎21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 解：（1）.............................................................................1分 ‎∵在为减函数，‎ ‎∴在恒成立.. .............. .............. .....................2分 即在内恒成立...........................................................................3分 ‎∵时,∴............................................................................4分 ‎【第1问说明】（1）最终结果没有等号扣1分；‎ ‎（2）用单调性证明，有过程但不完整，统一给2分。‎ ‎（2）‎ ‎①当时，，有两个零点，不符合条件;........5分 ‎ ②当时，∵在内为增函数，且 ‎，∴函数存在一个零点,不符合条件....................7分 ‎③当时，由于在内为减函数，且 ‎，所以函数存在一个零点...............................8分 由=0, ,则在上是减函数，在是增函数，在是减函数. .................................................9分 在处取得极小值...................................................................................10分 若函数存在唯一的零点且>0，则,解得..................11分 综上所述：. ...........................................................................................................12分 ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解: (1) （解法一）直线的倾斜角为,点A的极角.........................1分 代入圆E的极坐标方程得........................................................................................2分 点A的极坐标......................................................................................................3分 ‎（解法二）由已知得直线的的直角方程为①， ‎ 圆E的直角坐标方程为②.....................................................1分 ‎（写对其中一个方程均给1分）‎ 联立①②得A点直角坐标为（-2,2），.... ........................... ................................2分 由得A点极坐标A...........................3分 ‎（不写公式不扣分）‎ ‎ (2)（解法一，第一（1）问用极坐标做的）由(1)得线段的中点的极坐标是,‎ 的直角坐标为......................................................................................................4分 圆E的极坐标方程为,‎ 圆E的直角坐标方程为........................................................................5分 设直线的参数方程为(为参数).........................................................6分 代入得.‎ ‎,设的参数依次为,则..........................................................7分 ‎...................................................................................8分 ‎...................................................................................9分 的最大值为(此时直线的倾斜角为)........................................10分 ‎（解法二）由（1）知A(2，-2)，则M(1，-1)………………1分 ‎…………………………3分 ‎……………………………5分 ‎………………6分 ‎（解法三）由（1）A点直角坐标为（-2,2），M是OA中点，所以M点坐标为（-1,1）......4分 圆E的极坐标方程为,‎ 圆E的直角坐标方程为..........................................................5分 当BC⊥x轴时，直线BC方程为............................6分(会分类就给1分)‎ 或 不妨设 ‎........................7分 当BC与x轴不垂直时，设直线BC方程为,‎ 消y得 ‎ ...............................................8分 ‎ 设,‎ ‎.............................................................9分 ‎ ‎ （若会用两点间距离公式给1分）‎ ‎=…………………8分 ‎=………………………9分 ‎= ……………………10分 ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎.‎ 解：（1）当时,‎ 解得.所以.‎ 当时,‎ 解得 当时 解得所以...............................................................................................4分 ‎（分类标准对统一给1分，每个不等式去掉绝对值正确各给1分）‎ 不等式的解集为；..................................................6分 ‎（2）证明：（解法一）……………………7分 ‎ =…………………8分 ‎=>0………………………………9分 ‎ ‎ ‎ ……………………10分 ‎（解法二）...............................................................................7分 ‎ 则,.....................................................8分 同理,.............................................................................................9分 所以..........................................................................................10分