2017-2018学年湖南师大附中高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年湖南师大附中高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期中考试 数学(理科)‎ 命题：朱海棠　贺祝华　王丹　欧阳普 审题：高二数学备课组 时量：120分钟　　　满分：150分 得分：______________‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．抛物线y2＝－12x的准线方程是 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．x＝3 B．x＝－3 C．y＝3 D．y＝－3‎ ‎2．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33. 一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，则依次选出来的第6个红色球的编号为 ‎49 54 43 54 82　17 37 93 23 78　87 35 20 96 43　84 26 34 91 64‎ ‎57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76‎ A.23 B．02 C．09 D．17‎ ‎3．对于函数f(x)＝，下列结论正确的是 A. f(x)是增函数，其值域是[0，＋∞) ‎ B. f(x)是增函数，其值域是[0，1)‎ C. f(x)是减函数，其值域是[0，＋∞) ‎ D. f(x)是减函数，其值域是[0，1)‎ ‎4．如图，在三棱锥A－BCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是 A.＝＋ B. ＝－＋ C.＝－ D. ＝－－ ‎5．已知命题p：x0＞0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是 A. (－∞，1) B. (－∞，1] C. (1，＋∞) D. [1，＋∞)‎ ‎6．设条件p：函数f(x)＝(2－a)x在R上单调递增；条件q：方程＋y2＝1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则p是q的什么条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分也不必要 ‎7．若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r(mod m)，例如10＝2(mod 4)．下列程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图输出的i等于 A．4 B．8 C．16 D．32‎ ‎8．在区间[0，1]内随机取两个数m、n，则关于x的方程x2－x＋m＝0有实数根的概率为 A. B. C. D. ‎9．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，0<φ<)，已知f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值．将函数f(x)的图象向左平移个单位得函数g(x)的图象，则下列结论正确的是 A．g(x)是奇函数，且在[0，3π]内单调递增 B．g(x)是奇函数，且在[0，3π]内单调递减 C．g(x)是偶函数，且在[0，3π]内单调递增 D．g(x)是偶函数，且在[0，3π]内单调递减 ‎10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线与椭圆的一个交点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的渐近线方程是 A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x ‎11．已知x，y满足约束条件，若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝‎ A. 2 B. C. －2 D. － ‎12．过抛物线x2＝4y的焦点F作倾斜角为锐角的直线l，与抛物线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OM的斜率的取值范围是 A. B. [1，＋∞) C．[，＋∞) D．[2，＋∞)‎ 答题卡 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．师大附中高二年级开展“我的未来不是梦”演讲比赛，七位评委为某参赛选手给出的分数(满分：100分)如下茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，则余下5个分数的方差是__________.‎ 茎 叶 ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎4　4　6　4　7‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎14.已知一个空间几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是________．‎ ‎15．已知函数f(x)＝(m＋3)(x＋m＋1)(x＋m)，g(x)＝2x－2，若对任意x∈R，有f(x)＞0或g(x)＞0成立，则实数m的取值范围是__________．‎ ‎16．设点A(1，0)，B(－1，0)，M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值m(m≠0)，若点M的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A、B)，则m的值为________．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 在锐角△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，已知4S＝a2＋c2－b2.‎ ‎(Ⅰ)求角B的值；‎ ‎(Ⅱ)设m＝(－1)a＋c，若b＝，求m的取值范围．‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某中学有初中学生1 800人，高中学生1 200人．为了解全校学生本学期开学以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查．将样本中的“初中学生”和“高中学生”，按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，得其频率分布直方图如图所示．‎ ‎(Ⅰ)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40)小时内的总人数约是多少；‎ ‎(Ⅱ)从全校课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．‎ ‎(Ⅰ)求证：MN⊥平面A1BC；‎ ‎(Ⅱ)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 设数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，已知4Sn＝a－4n－1(n∈N*)．‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若对任意给定的正整数m，集合{n|an＋t≥2m}中的最小元素为m＋2，求实数t的取值范围．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 如图，设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，A、B为椭圆长轴的两个端点，F为椭圆的右焦点．已知椭圆的离心率为，且|AF|·|BF|＝2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)设M是椭圆上位于x轴上方的一个动点，直线AM，BM分别与直线x＝3相交于点D，E，求|DE|的最小值．‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，已知对任意x∈R，都有f(x)≥1－2x，且f(x)＝f(2－x)成立．令g(x)＝f(x)－|λx－1|，其中λ为常数．‎ ‎(Ⅰ)当λ＝1时，求函数g(x)的所有零点；‎ ‎(Ⅱ)当λ＞0时，求函数g(x)的最小值．‎ 湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期中考试 数学(理科)参考答案 一、选择题 ‎1．A　【解析】因为抛物线开口向左，且p＝6，则准线方程为x＝＝3，选A.‎ ‎ 2.B　【解析】从数字35开始，从左向右读数，选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，所以选出的第6个红色球的编号为02，选B.‎ ‎3．D　【解析】由1－2x≥0，得2x≤1，即x≤0，所以f(x)的定义域是(－∞，0]．‎ 因为y＝2x是增函数，则f(x)＝是减函数．又0<2x≤1，则0≤f(x)＜1，选D.‎ ‎4．C　【解析】取AC的中点M，连结EM，FM.‎ 因为E，F分别是AD，BC的中点，则＝，＝.‎ 所以＝－＝－，选C.‎ ‎5．D　【解析】因为p为假命题，则綈q为真命题，即x＞0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.‎ ‎6．B　【解析】f(x)＝(2－a)x在R上单调递增2－a＞1，即a＜1.‎ 方程＋y2＝1的曲线是焦点在y轴上的椭圆02，即x＞1，则当x≤1时，f(x)＞0恒成立．‎ 所以，即－3＜m＜－2.‎ ‎16．3　【解析】设点M(x，y)，则·＝m，‎ 即y2＝m(x2－1)，即x2－＝1(x≠±1)．‎ 因为点M的轨迹是离心率为2的双曲线，‎ 则m>0，且a2＝1，b2＝m，从而c2＝1＋m.‎ 由＝2，得m＝3.‎ 三、解答题 ‎17．【解析】(Ⅰ)因为S＝acsin B，a2＋c2－b2＝2accos B，(2分)‎ 则2acsin B＝2accos B，即sin B＝cos B，即tan B＝1.‎ 又0＜B＜π，所以B＝. (4分)‎ ‎(Ⅱ)因为b＝，B＝，则＝＝＝2，‎ 得a＝2sin A，c＝2sin C，‎ 且A＋C＝.(6分)‎ 所以m＝2(－1)sin A＋2sin C ‎＝2(－1)sin A＋2sin ‎＝2(－1)sin A＋2 ‎＝2sin A＋2cos A＝4sin.(8分)‎ 因为A，B，C都为锐角，则00)．‎ 联立x＝3，得点D(3，5k)．(6分)‎ 将y＝k(x＋2)代入＋＝1，得x2＋2k2(x＋2)2＝4，即 ‎(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0.(7分)‎ 设点M(x0，y0)，则x0和－2是方程的两根，‎ 所以－2x0＝，即x0＝，‎ 从而y0＝k＝，‎ 所以点M.(9分)‎ 又点B(2，0)，则直线BM的方程为＝，‎ 即y＝－(x－2)．‎ 联立x＝3，得点E.(10分)‎ 所以|DE|＝5k＋≥2＝，‎ 当且仅当5k＝>0，即k＝时取等号．‎ 所以|DE|的最小值为.(12分)‎ 法二：由题设，点A(－2，0)，点B(2，0)，设点M(x0，y0)，‎ 则＋＝1，即x＋2y＝4.‎ 所以(x0－2)(x0＋2)＝－2y，即·＝－，‎ 所以kAM·kBM＝－.(8分)‎ 设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k>0)，‎ 则直线BM的方程为y＝－(x－2)．‎ 分别联立x＝3，得点D(3，5k)，点E(3，－)．(10分)‎ 所以|DE|＝5k＋≥2＝，当且仅当5k＝>0，‎ 即k＝时取等号．‎ 所以|DE|的最小值为. (12分)‎ ‎22．【解析】(Ⅰ)因为f(x)≥1－2x恒成立，则ax2＋(b＋2)x≥0恒成立，所以，‎ 即a＞0，b＝－2.(1分)‎ 因为f(x)＝f(2－x)，即 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以－＝1，‎ 即a＝－＝1，所以f(x)＝x2－2x＋1.(3分)‎ 当λ＝1时，g(x)＝x2－2x＋1－|x－1|＝.‎ 由x2－3x＋2＝0(x≥1)，得x＝1或x＝2；‎ 由x2－x＝0(x<1)，得x＝0.‎ 所以g(x)的所有零点为x1＝1，x2＝2，x3＝0.(5分)‎ ‎(Ⅱ)因为λ＞0，由λx－1≥0，得x≥，‎ 所以g(x)＝. (6分)‎ 因为－＝＝－＝－<0，‎ 则<.(7分)‎ ‎①若≤，即0<λ≤－1，则g(x)在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以g(x)min＝g＝＋(λ－2)·＝－.(8分)‎ ‎②若>，即λ>－1，则在和上单调递减，在和上单调递增．‎ 当x<时，g(x)min＝g＝－；‎ 当x≥时，g(x)min＝g＝－(λ＋2)·＋2‎ ‎＝2－.(10分)‎ 因为2－＋＝2－2λ＝2(1－λ)，则 当－1<λ≤1时，2－≥－，‎ 所以g(x)min＝－；‎ 当λ＞1时，2－<－，所以g(x)min＝2－.‎ 综合①②知，当0＜λ≤1时，g(x)min＝－；‎ 当λ＞1时，g(x)min＝2－.(12分)‎