2020版高中数学 第二章离散型随机变量的方差

2020版高中数学 第二章离散型随机变量的方差

‎2.3.2　‎离散型随机变量的方差 学习目标　1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．‎ 知识点一　方差、标准差的定义及方差的性质 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 思考1　试求E(X)，E(Y)．‎ 答案　E(X)＝0×＋1×＋2×＝，‎ E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.‎ 思考2　能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？‎ 15‎ 答案　不能，因为E(X)＝E(Y)．‎ 思考3　试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？‎ 答案　方差．‎ 梳理　(1)方差及标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎①方差：D(X)＝(xi－E(X))2pi；‎ ‎②标准差：.‎ ‎(2)方差与标准差的意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．‎ ‎(3)方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)．‎ 知识点二　两点分布与二项分布的方差 X X服从两点分布 X～B(n，p)‎ D(X)‎ p(1－p)(其中p为成功概率)‎ np(1－p)‎ ‎1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　×　)‎ ‎2．若a是常数，则D(a)＝0.(　√　)‎ ‎3．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度．(　√　)‎ 类型一　求随机变量的方差与标准差 例1　已知X的分布列如下：‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a ‎(1)求X2的分布列；‎ ‎(2)计算X的方差；‎ ‎(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．‎ 15‎ 考点　离散型随机变量方差的性质 题点　方差性质的应用 解　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，‎ 从而X2的分布列为 X2‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎(2)方法一　由(1)知a＝，‎ 所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.‎ 故X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝.‎ 方法二　由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，‎ X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.‎ ‎(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.‎ 反思与感悟　方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．‎ 跟踪训练1　已知η的分布列为 η ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎(1)求方差及标准差；‎ ‎(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．‎ 考点　离散型随机变量方差的性质 题点　方差性质的应用 解　(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，‎ ‎∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，‎ ‎∴＝8.‎ 15‎ ‎(2)∵Y＝2η－E(η)，‎ ‎∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.‎ 类型二　两点分布与二项分布的方差 例2　为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为.‎ ‎(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；‎ ‎(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．‎ 考点　三种常用分布的方差 题点　二项分布的方差 解　由题意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.‎ ‎(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，‎ 得1－p＝，从而n＝6，p＝.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，‎ 得P(A)＝＋＋＋＝，或P(A)＝1－P(ξ>3)＝1－＝，所以需要补种沙柳的概率为.‎ 反思与感悟　解决此类问题第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．‎ 跟踪训练2　某厂一批产品的合格率是98%.‎ ‎(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；‎ ‎(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．‎ 考点　三种常用分布的方差 题点　二项分布的方差 解　(1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.‎ ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，‎ 15‎ 所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.‎ ‎(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98)，‎ 所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，‎ 标准差为≈0.44.‎ 类型三　方差的实际应用 例3　为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,‎3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.‎ ‎(1)求ξ，η的分布列；‎ ‎(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．‎ 考点　均值、方差的综合应用 题点　均值与方差在实际中的应用 解　(1)依据题意知，0.5＋‎3a＋a＋0.1＝1，‎ 解得a＝0.1.‎ ‎∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，‎ ‎∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.‎ ‎∴ξ，η的分布列分别为 ξ ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ P ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ η ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ P ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得 E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，‎ E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，‎ D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，‎ D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.‎ ‎∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．‎ 又∵D(ξ)D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定．‎ ‎1．已知随机变量X的分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P 则下列式子：①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正确的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 15‎ 考点　离散型随机变量方差、标准差的概念与计算 题点　离散型随机变量的方差、标准差的计算 答案　C 解析　由分布列可知，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确，③显然正确．‎ ‎2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)‎ A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 考点　均值、方差的综合应用 题点　均值与方差在实际中的应用 答案　B ‎3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于(　　)‎ A. B. C. D．5‎ 考点　三种常用分布的方差 题点　二项分布的方差 答案　A 解析　抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为P＝×＝，‎ 则易知满足ξ～B，∴n＝10，p＝，‎ 则D(ξ)＝np(1－p)＝10××＝.‎ ‎4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b c 考点　离散型随机变量方差的性质 15‎ 题点　方差性质的应用 答案　　 解析　由题意知解得 ‎5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．‎ 考点　均值、方差的综合应用 题点　求随机变量的均值与方差 解　ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，‎ 则P(ξ＝0)＝＝；‎ ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，‎ 则P(ξ＝1)＝＝；‎ ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，‎ 则P(ξ＝3)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.‎ D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.‎ ‎1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量取值偏离均值的平均程度越小；方差D(X)或标准差越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．‎ ‎2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤 ‎(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值．‎ ‎(2)求X取每一个值的概率．‎ ‎(3)写出随机变量X的分布列．‎ 15‎ ‎(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．‎ 特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．‎ 一、选择题 ‎1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　)‎ A．m B．‎2m(1－m)‎ C．m(m－1) D．m(1－m)‎ 考点　三种常用分布的方差 题点　两点分布的方差 答案　D 解析　随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－m m 所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.‎ 所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．‎ ‎2．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于(　　)‎ A．0.2 B．‎0.8 C．0.196 D．0.804‎ 考点　均值、方差的综合应用 题点　求随机变量的均值与方差 答案　C ‎3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为(　　)‎ A. B．‎8 C．12 D．16‎ 考点　三种常用分布的方差 题点　二项分布的方差 答案　B 解析　由题意可知ξ～B，‎ 15‎ 所以n＝E(ξ)＝24.所以n＝36.‎ 所以D(ξ)＝n××＝×36＝8.‎ ‎4．若数据x1，x2，…，xn的平均数为6，标准差为2，则数据2x1－6,2x2－6，…，2xn－6的平均数与方差分别为(　　)‎ A．6,8 B．12,‎8 C．6,16 D．12,16‎ 考点　均值、方差的综合应用 题点　求随机变量的均值与方差 答案　C ‎5．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为 X1(甲得分)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P(X1＝xi)‎ ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ X2(乙得分)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P(X2＝xi)‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？(　　)‎ A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 考点　均值、方差的综合应用 题点　均值与方差在实际中的应用 答案　A 解析　E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)

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