数学卷·2018届广西来宾实验高中高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届广西来宾实验高中高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年广西来宾实验高中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题：（每小题5分，满分60分）‎ ‎1．若数列{an}满足a1=1，a2=2，an=an﹣1+an﹣2（n∈N*，n＞2），则a6=（　　）‎ A．13 B．8 C．21 D．10‎ ‎2．已知等差数列{an}中，a7+a9=16，则a8的值是（　　）‎ A．16 B．8 C．7 D．4‎ ‎3．在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎4．在△ABC中，a=bsinA，则△ABC一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ‎5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：3，则cosC的值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎6．从地面上测一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为（　　）‎ A．α+β B．α﹣β C．β﹣α D．α ‎7．已知数列{an}的通项公式为，那么是它的（　　）‎ A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 ‎8．等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n为（　　）‎ A．48 B．49 C．50 D．51‎ ‎9．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．42‎ ‎10．若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知=3，则2a2﹣a4的值是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎12．数列{an}前n项和Sn=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=（　　）‎ A．67 B．65 C．61 D．56‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20题）‎ ‎13．在△ABC中，若AB=，AC=5，且cosC=，则BC=　　．‎ ‎14．写出，，，，…的通项公式：　　．‎ ‎15．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=　　．‎ ‎16．在等差数列﹣5，﹣3，﹣2，﹣，…的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则数列的通项公式　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共六小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知等差数列{an}满足a2=2，a4=8‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式 ‎（2）若数列{an}的前n项和为Sn，求S8．‎ ‎18．在等比数列{an}中，它的前n项和是n，a1=1，S3=3a3时，求公比q和通项公式an．‎ ‎19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且满足cosA=， •=3．‎ ‎（1）求△ABC中的面积； ‎ ‎（2）若c=1，求a的值．‎ ‎20．已知递减等差数列{an}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0．‎ ‎（1）求数列通项公式an ‎（2）求数列{|an|}前n项和Sn．‎ ‎21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，‎ ‎（1）若a=1，b=，求sinC；‎ ‎（2）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状．‎ ‎22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．‎ ‎（1）若PB=，求PA；‎ ‎（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广西来宾实验高中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：（每小题5分，满分60分）‎ ‎1．若数列{an}满足a1=1，a2=2，an=an﹣1+an﹣2（n∈N*，n＞2），则a6=（　　）‎ A．13 B．8 C．21 D．10‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用数列递推关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1=1，a2=2，an=an﹣1+an﹣2（n∈N*，n＞2），‎ ‎∴a3=1+2=3，同理可得：a4=5，a5=8，‎ 则a6=13．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知等差数列{an}中，a7+a9=16，则a8的值是（　　）‎ A．16 B．8 C．7 D．4‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】直接利用等差数列的性质可知，a7+a9=2a8，从而可求 ‎【解答】解：由等差数列的性质可知，a7+a9=2a8=16‎ ‎∴a8=8‎ 故选B ‎　‎ ‎3．在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】结合已知条件，直接利用正弦定理作答．‎ ‎【解答】解：∵AB=，A=45°，C=75°，‎ 由正弦定理得：，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，a=bsinA，则△ABC一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】由正弦定理可得sinA=sinBsinA，可得sinB=1，B=，可作出判断．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，a=bsinA，‎ ‎∴由正弦定理可得sinA=sinBsinA，‎ 同除以sinA可得sinB=1，B=‎ ‎∴△ABC一定是直角三角形，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：3，则cosC的值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】已知比例式利用正弦定理化简，求出三边之比，表示出三边长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：3，‎ ‎∴a：b：c=3：2：3，‎ 设a=3k，b=2k，c=3k，‎ 则cosC===，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．从地面上测一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为（　　）‎ A．α+β B．α﹣β C．β﹣α D．α ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】根据仰角的定义，视线与水平线的夹角，可得山顶的仰角．‎ ‎【解答】解：根据仰角的定义，视线与水平线的夹角，可得山顶的仰角为β﹣α．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知数列{an}的通项公式为，那么是它的（　　）‎ A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】设an=，则=．解之得n=4或n=﹣5（舍去）．由此可知是此数列的第4项．‎ ‎【解答】解：由=．‎ 解之得n=4或n=﹣5（舍去）．‎ 由此可知是此数列的第4项．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n为（　　）‎ A．48 B．49 C．50 D．51‎ ‎【考点】等差数列．‎ ‎【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an 的表达式，然后令an=33，解方程即可．‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，‎ ‎∵，a2+a5=4，‎ ‎∴+d++4d=4，即+5d=4，‎ 解得d=．‎ ‎∴an=+（n﹣1）=，‎ 令an=33，‎ 即=33，‎ 解得n=50．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．42‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质s2，s4﹣s2，s6﹣s4成等差数列进行求解．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，‎ ‎∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列，‎ 即2，8，S6﹣10成等差数列，‎ ‎∴2+S6﹣10=8×2，‎ ‎∴S6=24，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】令n=1，得到第1项与第2项的积为16，记作①，令n=2，得到第2项与第3项的积为256，记作②，然后利用②÷①‎ ‎，利用等比数列的通项公式得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，然后把q的值代入经过检验得到满足题意的q的值即可．‎ ‎【解答】解：当n=1时，a1a2=16①；‎ 当n=2时，a2a3=256②，‎ ‎②÷①得： =16，即q2=16，‎ 解得：q=4或q=﹣4，‎ 当q=﹣4时，由①得：a12×（﹣4）=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，‎ 则公比q=4．‎ 故选B ‎　‎ ‎11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知=3，则2a2﹣a4的值是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵=3，‎ ‎∴q≠±1，‎ ‎=3×，‎ 化为：q2=2．‎ 则2a2﹣a4=a1q（2﹣q2）=0，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．数列{an}前n项和Sn=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=（　　）‎ A．67 B．65 C．61 D．56‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用递推公式可求，而 ‎|a1|+|a2|+…+|a10|=﹣a1﹣a2+a3+…+a10‎ 结合题中的sn求和．‎ ‎【解答】解：根据数列前n项和的性质，得n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣4n+1）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=2n﹣5，‎ 当n=1时，S1=a1=﹣2，‎ 故 据通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10‎ ‎∴|a1|+|a2|+…+|a10|‎ ‎=﹣（a1+a2）+（a3+a4+…+a10）‎ ‎=S10﹣2S2‎ ‎=102﹣4×10+1﹣2（﹣2﹣1）‎ ‎=61+6‎ ‎=67．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20题）‎ ‎13．在△ABC中，若AB=，AC=5，且cosC=，则BC=　4或5　．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】直接利用余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得到BC的方程，求出BC的值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC a=BC，b=AC，c=AB cosC=，‎ ‎∴，‎ ‎∴10a2+200﹣90a=0，‎ 即：a2﹣9a+20=0，‎ ‎（a﹣4）（a﹣5）=0，‎ 解得：a=4，a=5，‎ BC=4或5．‎ 故答案为：4或5．‎ ‎　‎ ‎14．写出，，，，…的通项公式：　．　．‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】分母是奇数可以表示为：2n﹣1；分子是项数加1的平方减1，即：（n+1）2﹣n．‎ ‎【解答】解：根据前四项的特点可以写出通项公式为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=　　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】根据题意和等比数列的通项公式，列出关于q的方程，先求出q，再求出a1的值．‎ ‎【解答】解：由题意设等比数列{an}的公比为q，且q＞0，‎ 因为且a3•a9=2a52，a2=1，所以q•q7=2（q3）2，‎ 化简得q2=2，即q=，‎ 由a2=a1q=1得，a1==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．在等差数列﹣5，﹣3，﹣2，﹣‎ ‎，…的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则数列的通项公式　an=﹣5+（n﹣1）　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由题意先求出原等差数列的公差，再求出新等差数列的公差，代入等差数列的通项公式求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意知，在等差数列﹣5，﹣3，﹣2，﹣，…中，a1=﹣5，a4=﹣，‎ 所以公差d==，‎ 若在相邻两项间插入一个数，使之仍成等差数列，‎ 则新等差数列的公差为，‎ 所以新数列的通项公式是an=﹣5+（n﹣1）．‎ 故答案是：an=﹣5+（n﹣1）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共六小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知等差数列{an}满足a2=2，a4=8‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式 ‎（2）若数列{an}的前n项和为Sn，求S8．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）由已知数据易得数列{an}的公差d，进而可得a1，可得通项公式；‎ ‎（2）吧a1=﹣1，d=3代入等差数列的求和公式可得．‎ ‎【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，‎ 则由题意可得a4﹣a2=2d=6，‎ 代入数据可解得d=3，‎ ‎∴a1=a2﹣d=2﹣3=﹣1，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4；‎ ‎（2）由（1）知a1=﹣1，d=3，‎ ‎∴S8=8a1+d=76‎ ‎　‎ ‎18．在等比数列{an}中，它的前n项和是n，a1=1，S3=3a3时，求公比q和通项公式an．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a1=1，S3=3a3时，可得1+q+q2=3q2，解得q，利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1=1，S3=3a3时，‎ ‎∴1+q+q2=3q2，解得q=1或﹣．‎ ‎∴q=1时，an=n．‎ q=﹣时，an=．‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且满足cosA=， •=3．‎ ‎（1）求△ABC中的面积； ‎ ‎（2）若c=1，求a的值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用数量积的定义可得bc=5，再利用三角形的面积计算公式即可得出；‎ ‎（2）利用（1）和余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵•=3，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴，bc=5‎ 又cosA=，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知bc=5，‎ 又c=1，∴b=5．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．已知递减等差数列{an}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0．‎ ‎（1）求数列通项公式an ‎（2）求数列{|an|}前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】本题（1）先利用等差数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项和公差，得到数列的通项公式；（2）分类讨论后，利用等差数列和前n项公式求前n项和，得到本题结论．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}的公差为d，则 ‎，‎ 即，‎ 解得，‎ ‎∵an为递减数列，‎ ‎∴an=10﹣2n．‎ ‎（2）当n≤5，an≥0，n≥6，an＜0，‎ 当n≤5时，Sn=8+6+…+（10﹣2n）==9n﹣n2；‎ 当n＞5时，Sn=a1+a2+…+a5﹣（a6+a7+…+an）‎ ‎=2（a1+a2+…+a5）﹣（a1+a2+…+an）‎ ‎=40﹣（9n﹣n2）‎ ‎=n2﹣9n+40．‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，‎ ‎（1）若a=1，b=，求sinC；‎ ‎（2）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】（1）由三角形内角和定理结合A，B，C成等差数列求得B，再由正弦定理求出A，则C可求，答案可求；‎ ‎（2）由a，b，c成等差数列，可得a，b，c的关系式，再结合余弦定理可得a=c，则可判断△ABC的形状．‎ ‎【解答】解：（1）由A+B+C=π，2B=A+C，得B=．‎ 由，得，得sinA=，‎ 又0＜A＜B，∴A=，则C=．‎ ‎∴sinC=1；‎ ‎（2）证明：由2b=a+c，得4b2=a2+2ac+c2，‎ 又b2=a2+c2﹣ac，‎ 得4a2+4c2﹣4ac=a2+2ac+c2，‎ 得3（a﹣c）2=0，∴a=c，‎ ‎∴A=C，又A+C=，∴A=C=B=，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．‎ ‎（1）若PB=，求PA；‎ ‎（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．‎ ‎（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．‎ ‎【解答】解：（I）在Rt△PBC中， =，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．‎ 在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．‎ ‎∴PA=．‎ ‎（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．‎ 在△PBA中，由正弦定理得，即，‎ 化为．∴．‎ ‎　‎ ‎2017年1月17日