2020届江苏省高考数学二轮复习专项强化练（八）不等式
专项强化练(八) 不 等 式
A组
题型一 一元二次不等式
1．(2019·无锡模拟)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是________．
解析：设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则
即
解得5＜a≤8，又a∈Z，故a＝6,7,8.
则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.
答案：21
2．已知函数f(x)＝则不等式f(x)>3的解集为________________．
解析：当x>0时，2x－1>3，解得x>2，当x≤0时，－x2－4x>3，即x2＋4x＋3<0，解得－3
2或－32或－3f(2－x)的解集是________________．
解析：由x2≥0，得f(x2)＝－x2＋1，
所以原不等式可转化为f(2－x)<－x2＋1，
则当2－x≥0，即x≤2时，
由－(2－x)＋1<－x2＋1，得－22时，
由－(2－x)2＋1<－x2＋1，得x∈∅.
综上得，关于x的不等式f(x2)>f(2－x)的解集是{x|－20(a1，则x＋的最小值为________．
解析：由x>1，得x－1>0，则x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．故x＋的最小值为5.
答案：5
2．已知00，
则x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，
当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．
答案：
3．已知正数a，b满足＋＝－5，则ab的最小值为________．
解析：因为正数a，b满足＋＝－5，
所以－5≥2，可化为()2－5－6≥0，
解得≥6，即ab≥36，当且仅当＝，
即a＝2，b＝18时取等号．即ab的最小值为36.
答案：36
4．已知正数x，y满足x2＋4y2＋x＋2y≤2－4xy，则＋的最小值为________．
解析：由题意得(x＋2y)2＋(x＋2y)－2≤0，且x>0，y>0，所以00，n>0，则a＝，c＝，故＋＝＝≥，当且仅当m＝n时取等号，故＋的最小值为.
答案：
[临门一脚]
1．利用基本不等式≥时，要注意“正、定、等”三要素，“正”，即x，y都是正数；“定”，即不等式另一边为定值；“等”，即当且仅当x＝y时取等号．
2．利用基本不等式≥时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧，但应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立．
3．利用基本不等式解决二元多项式之间的大小关系，符合极值定理时，才能够求最值．
4．求一元函数最值时如等号取不到时，要借助函数图象，利用函数单调性求解最值．
题型三 简单的线性规划问题
1．已知实数x，y满足则目标函数z＝x－y的最小值为________．
解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z＝x－y经过点A
(1,4)时，取得最小值－3.
答案：－3
2．(2018·南京高三模拟)若实数x，y满足则的取值范围为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中点A(1,2)，B(5,2)，C.表示可行域内的点(x，y)与原点O连线的斜率．连接OA，OC，则kOA＝2，kOC＝，结合图形可知的取值范围是.
答案：
3．设不等式表示的平面区域为M，若直线l：y＝kx－2上存在M内的点，则实数k的取值范围是________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
因为直线l：y＝kx－2的图象过定点A(0，－2)，且斜率为k，
由图知，当直线l过点B(1,3)时，k取最大值＝5，
当直线l过点C(2,2)时，
k取最小值＝2，
故实数k的取值范围是[2,5]．
答案：[2,5]
4．已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数y＝ex的图象上，那么实数a的取值范围为________．
解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y＝ex的图象，结合函数图象知，当x＝1时，y＝e，把点(1，e)代入ax－y≥0，则a≥e.故实数a的取值范围为[e，＋∞)．
答案：[e，＋∞)
[临门一脚]
1．简单的线性规划问题解题步骤：一画二移三算四答，充分挖掘目标对象的几何意义，通常与直线的纵截距、斜率，圆的半径或半径的平方有关．
2．画可行域要特别注意边界能否取到，当区域不包含边界时，取值范围中等号取不到，如果忽视这一点，容易在等号上出错．
B组——高考提速练
1．不等式<2的解集为______________．
解析：∵<2，∴－2<0，
即＝<0，
∴<0等价于x(x－1)＞0，解得x＜0或x＞1，
∴不等式<2的解集为{x|x＜0或x＞1}．
答案：{x|x＜0或x＞1}
2．(2019·丹阳中学模拟)若不等式组所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝________.
解析：由题意可画出可行域为△ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示．
联立可行域边界所在直线方程，可得A(－1,1)，
B，C(4,6)．因为直线l：y＝m(x＋1)＋1过定点A(－1,1)，直线l将△ABC分为面积相等的两部分，所以直线l过边BC的中点D，易得D，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝.
答案：
3．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝2时取得最小值，则实数a＝________.
解析：当x＝2时，函数f(x)＝4x＋有最小值，由基本不等式知取等号的条件为4x＝，即4×2＝，得a＝16.
答案：16
4．(2019·金陵中学模拟)对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45＜0的解集为________．
解析：由4[x]2－36[x]＋45＜0，得＜[x]＜，又当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．
答案：[2,8)
5．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值为________．
解析：因为a>1，b>1，所以lg a>0，lg b>0.
lg a·lg b≤＝＝1.
当且仅当a＝b＝10时取等号，
故lg a·lg b的最大值为1.
答案：1
6．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．
解析：因为不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
所以Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.所以a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
7．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m的值为________．
解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.
答案：2
8．(2019·扬州中学模拟)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
解析：由题意an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
所以＝＝≥＝，
当且仅当n＝4时取等号，所以的最小值是.
答案：
9．(2019·南通等七市一模)在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，则·＝3，·＝2，则|＋2|的最小值为________．
解析：以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A，B.设D(0，b)，C(m，n)，则·＝(1,0)·＝m＋＝3，解得m＝，·＝(3，n)·＝＋nb＝2，得nb＝，易得＋2＝(4，n＋2b)，则|＋2|＝≥＝2，当且仅当n＝2b时取等号，故|＋2|的最小值为2.
答案：2
10．已知点P是△ABC内一点(不包括边界)，且＝m＋n，m，n∈R，则(m－2)2＋(n－2)2 的取值范围是________．
解析：因为点P是△ABC内一点(不包括边界)，且＝m＋n，所以m，n满足条件作出不等式组所表示的平面区域如图所示．因为(m－2)2＋(n－2)2表示的是区域内的动点(m，n)到点A(2,2)的距离的平方．因为点A
到直线m＋n＝1的距离为＝，故2＜(m－2)2＋(n－2)2＜OA2，即(m－2)2＋(n－2)2的取值范围是.
答案：
11．若关于x的不等式(ax－1)(ln x＋ax)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：(ax－1)(ln x＋ax)≥0⇔≥0⇔或
设函数f(x)＝，g(x)＝－，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示，
由图象可得实数a的取值范围是∪{e}．
答案：∪{e}
12．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得 ＝4a1，则＋的最小值为________．
解析：设正项等比数列{an}的公比为q，由a7＝a6＋2a5，得q2－q－2＝0，解得q＝2(q＝－1，舍去)，由＝4a1，即2＝4，得2m＋n－2＝24，
即m＋n＝6.
故＋＝(m＋n)
＝＋≥＋＝，
当且仅当＝即m＝2，n＝4时等号成立，
即＋的最小值为.
答案：
13．(2019·南师附中模拟)已知x，y满足z＝2x＋y的最大值为m，若正数a，b满足a＋b＝m，则＋的最小值为________．
解析：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z＝2x＋y的几何意义为直线2x＋y－z＝0在y轴上的截距，由图可知，当直线过点M时，直线2x＋y－z＝0在y轴上的截距最大，即目标函数z＝2x＋y取得最大值，由解得M(3,0)，所以z的最大值为2×3＋0＝6，即m＝6，所以a＋b＝6，故＋＝·(a＋b)＝≥＝，当且仅当＝，即b＝4，a＝2时等号成立．
答案：
14．(2019·南京盐城二模)在△ABC中，若sin C＝2cos Acos B，则cos2A＋cos2B的最大值为________．
解析：因为sin C＝2cos Acos B，所以sin(A＋B)＝2cos Acos B，化简，得tan A＋tan B＝2.
cos2A＋cos2B＝＋
＝＋
＝
＝
＝，
令3－tan Atan B＝t，
因为tan Atan B≤2＝1，
所以t≥2，所以cos2A＋cos2B＝＝≤，当且仅当t＝2时取等号．
故cos2A＋cos2B的最大值为.
答案：
