2017-2018学年江苏省清江中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年江苏省清江中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年江苏省清江中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、填空题 ‎1．设全集U＝{3，4，5，6}，A＝{3，5}，则∁UA＝________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 由集合补集的定义求解即可；‎ 详解：‎ 全集U＝{3，4，5，6}，A＝{3，5}，所以∁UA＝.‎ 点睛：本题主要考查了集合的列举法和补集的运算，属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域为___________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 只需函数中的分母不为0，根号下的数大于等于0即可.‎ 详解：‎ 由函数，可得，解得且.‎ 所以定义域为： .‎ 故答案为; .‎ 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 ‎(1)分式函数中分母不等于零．‎ ‎(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.‎ ‎(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.‎ ‎(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．‎ ‎(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.‎ ‎(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎3．若p：(x－3)(x－4)＝0，q：x－3＝0，则p是q的__________________条件(填“充分不必要”,“必要不充分”，“充要”“既不充分也不必要”中一个)‎ ‎【答案】必要不充分条件 ‎【解析】分析：‎ 利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ 详解：‎ 若：(x−3)(x−4)=0，则x=3或x=4，此时x−3=0不一定成立，充分性不成立.‎ 若x−3=0，则x=3，此时(x−3)(x−4)=0成立，必要性成立，‎ 即p是q必要不充分条件，‎ 故答案为：必要不充分条件.‎ 点睛：本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎4．已知函数，则＝___________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 结合自变量的范围，对于在分段函数中取值即可.‎ 详解：‎ 由，可得.‎ 所以.‎ 故答案为： .‎ 点睛：本题主要考查分段函数和复合函数的取值，属于基础题.‎ ‎5．命题“”的否定是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】全称量词的命题的为特称量词命题：命题“”的否定是 ‎6．曲线在（0，1）处的切线的方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 求出导数，求得切线的斜率，由直线的斜截式方程即可得到所求切线方程．‎ 详解：‎ 的导数为，‎ 可得在点(0,1)处的切线斜率为−3，‎ 即有在点(0,1)处的切线方程为y=−3x+1.‎ 故答案为： .‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以 的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎7．函数f(x)＝的单调递减区间为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据f（x）的导函数建立不等关系f'（x）＜0，解二次不等式求出单调递减区间即可．‎ 详解：：∵f′（x）=9x2﹣6，‎ ‎∴由9x2﹣6＜0可得：‎ ‎∴x∈（）‎ 故答案为： ‎ 点睛：本题以三次函数为载体，考查运用导数知识研究函数的单调性，属于基础题.‎ ‎8．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 由已知f（x）•f（x+2）=13得f（x+4）=f（x），根据周期函数的定义判断出函数的周期，可得f（99）=f（-1），再利用已知条件求出即可．‎ 详解：‎ 由f(x)⋅f(x+2)=13得,f(x+2)f(x+4)=13，‎ 即f(x)=f(x+4)，‎ 所以函数f(x)是周期为4的周期函数。‎ 所以f(99)=f(25×4−1)=f(−1).‎ 由f(−1)⋅f(1)=13,f(1)=2,得f(−1)= ，‎ 所以f(99)=132，‎ 故答案为： .‎ 点睛：抽象函数的周期性：（1）若，则函数周期为T；‎ ‎（2）若，则函数周期为 ‎（3）若，则函数的周期为；‎ ‎（4）若，则函数的周期为.‎ ‎9．设函数的导数为，且，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，所以，令，得，解得，则，所以．‎ ‎【考点】导数的运算；函数值的求解．‎ ‎10．方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：方程有两个不相等的实数根，函数与图像有两个不同的交点，函数图像如下：‎ 所以的取值范围是或．‎ ‎【考点】函数图像的应用．‎ ‎11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是__________．‎ ‎【答案】(－∞，2]‎ ‎【解析】是定义在上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数， 在也是增函数，即在上递增，又， ，即满足的的取值范围是 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.‎ ‎12．由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是_____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：‎ ‎“”是假命题，其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有 ‎”，根据一元二次不等式解的讨论，可知△=4-4m<0，所以m>1，则a=1．‎ 详解：‎ 存在是假命题，‎ ‎∴其否命题为真命题,即是说“∀x∈R,都有”，‎ ‎∴△=4−4m<0，‎ ‎∴m>1,m的取值范围为(1,+∞).‎ 则a=1‎ 点睛：（1）原命题为真则，命题的否定为真；‎ ‎（2）全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎13．富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句．据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是__________．（A莎士比亚、B雨果、C曹雪芹，按顺序填写字母即可．）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：若刘老师猜对的是①，则：‎ ‎①张博源研究的是莎士比亚；‎ ‎②刘雨恒研究的不一定是曹雪芹；‎ ‎③高家铭研究的是莎士比亚．‎ ‎①③矛盾，假设错误；‎ 若刘老师猜对的是②，则：‎ ‎①张博源研究的不是莎士比亚；‎ ‎②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；‎ ‎③高家铭研究的是莎士比亚．‎ 则张博源研究的不是曹雪芹，刘雨恒研究的是雨果，高家铭研究的是莎士比亚．‎ 符合题意；‎ 若刘老师猜对的是③，则：‎ ‎①张博源研究的不是莎士比亚；‎ ‎②刘雨恒研究的不一定是曹雪芹；‎ ‎③高家铭自然不会研究莎士比亚．‎ 据此可知，刘雨恒研究的是莎士比亚，其余两人研究的是谁无法确定，‎ 排除这种可能.‎ 据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是.‎ ‎14．已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：求函数的导数，判断函数的单调性，求出不等式f（x）＜0的解，即可得到结论．‎ 解：∵f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，‎ ‎∴函数的定义域为（0，+∞），‎ 函数的导数为f′（x）=1﹣=，‎ 由f′（x）＞0得x＞e﹣1，此时函数单调递增，‎ 由f′（x）＜0得0＜x＜e﹣1，此时函数单调递减，‎ 在x=e﹣1时，函数取得极小值，‎ ‎∵f（1）=0，f（e）=0，‎ ‎∴不等式f（x）＜0的解为1＜x＜e，‎ 则f（ex）＜0等价为1＜ex＜e，‎ 即0＜x＜1，‎ 故答案为：（0，1）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎15．已知函数f(x)＝ x3－2ax2－3x(a∈R)，若函数f(x)的图像上点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求点P处的切线方程。‎ ‎【答案】（1）a＝－1，m＝－.（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得 ，解得 ；再根据 得 ，（2）根据点斜式可得点P处的切线方程 试题解析：（1）∵f(x)＝x3－2ax2－3x，∴f′(x)＝2x2－4ax－3，∴过点P(1，m)的切线斜率 k＝f′(1)＝－1－4a.又点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，‎ ‎∴－1－4a＝3，∴a＝－1，‎ ‎∴f(x)＝x3＋2x2－3x.又点P在函数f(x)的图像上，∴m＝f(1)＝－.‎ ‎（2）‎ 二、解答题 ‎16．已知命题p：“方程有两个不相等的实根”，命题p是真命题。‎ ‎（1）求实数m的取值集合M； ‎ ‎（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】分析：‎ ‎（1）由二次方程有解可得，从而可得解；‎ ‎（2）由x∈N是x∈M的充分条件，可得，从而可得解.‎ 详解：‎ ‎(1) 命题：方程有两个不相等的实根，‎ ‎，解得，或．‎ M={m| ，或}．‎ ‎(2) 因为x∈N是x∈M的充分条件，所以 N=‎ ‎ ‎ 综上， 或 点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．‎ ‎17．（1）g(x)＝3x，h(x)＝9x.解方程h(x)－8g(x)－h(1)＝0；‎ ‎（2）定义：在R上的函数f(x)满足：若任意x1, x2∈R，都有f()≤，则称函数f(x)是R上的凹函数。函数f(x)=a x 2+ x (＞0) ，求证：f(x)是凹函数.‎ ‎【答案】（1）2；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由已知条件推导出9x﹣8•3x﹣9=0，由此能求出原方程的解；‎ ‎（2）运用作差法，化简整理，再由新定义，即可得证.‎ 详解：(1)由题有3x·3x－8·3x－9＝0，即(3x＋1)(3x－9)＝0，解得x＝2.‎ ‎(2) 证明：∵f（）=a（）2+，‎ ‎ [f（x1）+f（x2）]= （ax12+x1+ax22+x2），‎ ‎∴‎ ‎=﹣a（）2，‎ ‎∵a＞0，∴﹣a（）2≤0，‎ 即f（）≤ [f（x1）+f（x2））‎ ‎∴函数f（x）是凹函数．‎ 点睛：(1)本题考查含指数的二次方程的解法，属于基础题；‎ ‎（2）本题以新定义为背景，考查学生的逻辑推理能力及运算化简能力，属于中档题.‎ ‎18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度（分贝）由公式 (为非零常数)给出，其中为声音能量.‎ ‎（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；‎ ‎（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）将对应的声音能量I1，I2，I3代入公式D=algI+b，根据满足D1+2D2=3D3建立等量关系，最后根据指数的运算性质可求出所求； （2）根据声音能量为10-13W/cm2时，声音强度为30分贝，声音能量为10-12W/cm2时，声音强度为40分贝，建立关于a，b的方程组，解之即可求出公式D=algI+b的解析式，最后根据一般人在100分贝～120分贝的空间内建立不等式，解之即可．‎ 详解：‎ ‎（1） ‎ ‎， ‎ ‎（2）由题意得 .解得： ‎ ‎ ， ‎ 答：当声音能量时，人会暂时性失聪.‎ 点睛：该题属于应用函数去解决实际问题，体现了数学来源于生活且服务于生活，在做题的过程中，找准关键点，从而得知往哪个方向思考，本题的关键是利用题中的解析式建立关系.‎ ‎19．已知函数， ‎ ‎（1）若是常数，问当满足什么条件时，函数有最大值，并求出取最大值时的值；‎ ‎（2）是否存在实数对同时满足条件：①取最大值时的值与取最小值的值相同，②？‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在实数对满足条件 ‎【解析】分析：‎ ‎（1）由题意函数F（x）有最大值，应满足，即二次函数有最大值，解得k、m、x的取值； （2）由函数F（x）有最大值，G（x）有最小值；得m、k的值，求出满足条件的实数对（m，k）.‎ 详解：‎ ‎（1）当时，解得且； ‎ 当时有最大值. ‎ ‎（2）函数，当时，‎ 时有最大值.‎ 函数， 时有最小值.‎ 由得，‎ 所以，其中为负整数，‎ 当时， 或者，‎ 所以存在实数对满足条件.‎ 点睛：本题主要考查了二次函数的最值，当二次函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值，当次函数图象开口向下时，在对称轴处取得最大值.‎ ‎20．已知定义域为R 的函数f (x)有一个零点为1， f (x)的导函数 ‎，其中．‎ ‎（1）求函数f (x)的解析式；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：‎ ‎（1）由导函数可设，结合条件可得；‎ ‎（2）由，讨论， 和导数的正负，从而得函数的单调性；‎ ‎（3）结合（2）中函数的单调性，考虑极值点和端点处的函数值讨论最值即可.‎ 详解：‎ ‎(1)因为f (x)的导函数，所以，‎ 又函数f (x)有一个零点为1，所以，‎ ‎（2）由（1）知： ‎ ‎①时在上单调递减，在上单调递增 ‎②时的单调递增区间单调递减区间 ‎③时的单调递增区间，单调递减区间 ‎（3）①由（2）时不符合题意 ‎②时在上递减，在上递增，‎ 则当 ‎ 当时， , 故 ‎ 则解得 ‎③时在上递增，在上递减 则且时 则解得 ‎ 综上： 或.‎ 点睛：（1）利用导数求函数的最值时要注意函数单调性的运用，由单调性得到函数的极值，然后再求最值．对于含有参数的问题，要结合条件对参数进行分类讨论，分类时要做到合理、不重不漏．‎ ‎（2）对于已知函数的最值求参数或其范围的问题，在解题仍要注意单调性的应用，结合函数的单调性进行求解、判断．‎