pdf+3文科数学答案及计分标准+株洲市2019届高三统一测试（一）

pdf+3文科数学答案及计分标准+株洲市2019届高三统一测试（一）

株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）文科数学答案 第1页 共 8 页 绝密★启用前 株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一） 数学试题答案（文科） 总分：150 分 时量：120 分钟 一. 选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 请将答案填涂在答题卡上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B C A C A B D A C 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上） 13．已知向量 ( ) ( ) ( ),2 , 2,1 , 3,a x b c x= = = ，若 //ab，则||bc+= . 52 14．若 ,xy满足约束条件 10 2 2 0 0 xy xy y − +   − −    ，则 32z x y=+的最大值为________．6 15. 在锐角 ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，已知 5ab+=, sin sin 3 7 ,4sin 2 CA cbB ==，则 的面积为 ． 37 4 解：由正弦定理及 ，得 37sin 8A = ， ABC 为锐角三角形， 1cos 8A = ， ( ) ( )2222 2 2 45 1cos 2 2 4 8 b b bb c aA bc b b + − −+−= = = ∴ ，解得 1b = ， 4a = ， 4c = ， 1 1 3 7 3 7sin 1 42 2 8 4ABCS bc A = =    =∴ . 16. 已知 F 是抛物线 2 4xy= 的焦点， P 为抛物线上的动点，且 A 的坐标为 3 ,12 − ，则 PF PA 的最小值是_________________________. 5 5 株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）文科数学答案 第2页 共 8 页 三、解答题（共 6 小题，总计 70 分） 17. （本题满分 12 分） 设数列{ na }的前 n 项和为 nS ，已知 2 4,nnSa=− *Nn . （Ⅰ）求通项公式 ； （Ⅱ）设 22log 3nnba=− ，求数列{ 1 1 nnbb+ }的前 项和 nT . 解：（Ⅰ） 112 4, 2 4n n n nS a S a−−= − = − 相减得： 122n n na a a −=− 12nnaa−= -----------------------------------------------------------3 分 1 2,n n a a − = 又 1 1 1 12 4, 4a S a a= = −  = 114 2 2nn na −+ =  = --------------------------------------------------------6 分 （Ⅱ） 1 222log 3 2log 2 3 2 1n nnb a n+= − = − = − --------------------8 分 1 1 1 1 3 3 5 (2 1)(2 1)nT nn= + + +  − + 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 (2 1)nn= − + − + + −−+ 11(1 )2 (2 1) 2 1 n nn= − =++-----------------------------------------------12 分 18. （本题满分 12 分） 如图，平面 CD ⊥ 平面 DF，其中 CD 为矩形， DF为直 角梯形， F//D， FF ⊥  ， F 2 2D 2EF = =  = ． （Ⅰ）求证：平面 DBF ⊥ 平面 BCD ； （Ⅱ）若三棱锥 B ADF− 体积为 1 3 ，求 BD 与面 BAF 所成角的正弦值． 解： （Ⅰ）证明：作 ,DH AF H⊥ 于 FF ⊥  ， ． 株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）文科数学答案 第3页 共 8 页 1 45HF DH HDF = =   =  ， 2 1 45AF AH ADH=  =   =  ． 90 ,ADF DF AD =  ⊥即： FBCD ADE⊥面 面 ，AD 为两个面的交线 FD ABCD⊥面 ． BFD ABCD⊥面 面 ……………………6 分 （Ⅱ）因为平面 ABCD⊥平面 ADEF，AB⊥AD， 所以 AB⊥平面 ADEF， 1 1 1| | 1 | |3 3 3B ADF ADFV S AB AB−=   =   = 所以|AB|=1, 3BD= 连接 BH，易知 DBH 为线 BD 与面 BAF 所成的角，……………………10 分 在直角△BDH 中， 3, 1BD DH== 13sin 33 DBH  = = 所以 与面 BAF 所成角的正弦值为 3 3 ．……………………12 分 19. （本题满分 12 分） 经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的 好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100 个黄桃进行测重，其质量分布在区 间[200,500] 内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示： （Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在[350,400),[400,450) 的黄桃中随机抽取5 个，再从这 个黄 桃中随机抽 2 个，求这 2 个黄桃质量至少有一个不小于 400 克的概率； （Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大 约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案： .A 所有黄桃均以 20 元/千克收购； .B 低于350 克的黄桃以 5 元/个收购， 高于或等于350 克的以 9 元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. （参考数据：(225 0.05 275 0.16 325 0.24 +  +  375 0.3 425 0.2 475 0.05 354.5+  +  +  = ） 200 250 300 350 400 450 500 克 频率/组距 0.006 0.0048 0.004 0.0032 0.001 A D B C F E H 株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）文科数学答案 第4页 共 8 页 解：（Ⅰ）由题得黄桃质量在[350,400) 和[400,450) 的比例为3: 2 ， ∴应分别在质量为 和 的黄桃中各抽取 3 个和 2 个.-----------------2 分 记抽取质量在 的黄桃为 1 2 3,,A A A ，质量在 的黄桃为 12,BB， 则从这 5 个黄桃中随机抽取 2 个的情况共有以下10 种： 1 2 1 3 2 3 1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 3 2 1 2, , , , , , , , ,A A A A A A A B A B A B A B A B A B B B --------------------------------------------4 分 其中质量至少有一个不小于 400 克的 7 种情况，故所求概率为 7 10 .--------------------6 分 （Ⅱ）方案 B 好，理由如下： 由频率分布直方图可知，黄桃质量在 )200,250 的频率为50 0.001 0.05= 同理，黄桃质量在 )  )  )  )  250,300 , 300,350 , 350,400 , 400,450 , 450,500 的 频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05-----------------------------------------------------------------------7 分 若按方案 B 收购： ∵黄桃质量低于350 克的个数为 (0.05 0.16 0.24) 100000 45000+ +  = 个 黄桃质量不低于350 克的个数为55000 个 ∴收益为 45000 5 55000 9 720000 +  = 元--------------------------------------8 分 若按方案 A 收购： 根据题意各段黄桃个数依次为5000,16000,24000,30000,20000,5000 ，于是总收益为 (225 5000 275 16000 325 24000 375 30000 425 20000 475 5000) 20 1000 +  +  +  +  +    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 分 709000= （元）----------------------------------------------------------11 分 ∴方案 B 的收益比方案 A 的收益高，应该选择方案 B .--------------------------12 分 株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）文科数学答案 第5页 共 8 页 20. （本题满分 12 分） 已知 12,FF分别为椭圆 C： ( ) 22 2210xy abab+ =   的左、右焦点，点 ( )( )0010P y y ， 在椭 圆上，且 2PF x⊥ 轴， 12PF F 的周长为 6． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点 (0,1)T 的动直线与椭圆C 交于 A ，B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数 ，使得 7OA OB TA TB +  = − 恒成立？请说明理由． 解：（Ⅰ）由题意， 1( 1 0)F − ， ， 2 (10)F ， ， 1c = 12PF F 的周长为 6 ， 122 2 2 6PF PF c a c+ + = + =  2a = ， 3b = ∴椭圆的标准方程为 22 143 xy+=．--------------------------5 分 （Ⅱ）假设存在常数  满足条件。 （1）当过点T 的直线 AB 的斜率不存在时， ( ) ( )0, 3 0, 3AB−， ， ∴ 3 [( 3 1)( 3 1)] 3 2 = 7OA OB TA TB   +  = − − = − − −＋ － － ， ∴当 2 = 时， 7OA OB TA TB +  = − ； ---------------------------------------7 分 （2）当过点T 的直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 1y kx=+，设 ( )11A,xy ， ( )22B,xy， 联立 22 143 1 xy y kx  +=  =+ ，化简得( )223 4 8 8 0k x kx+ + − = ， ∴ 1 2 1 222 88 4 3 4 3 kx x x xkk+ = − = −++ ， . -----------------------------------8 分 ∴ 1 2 1 2 1 2 1 2[ ( 1)( 1)]OA OB TA TB x x y y x x y y +  = ＋ ＋ ＋ － － ( )( ) ( )2 1 2 1 21 1 1k x x k x x= + + + + + 22 22 8(1 )(1 ) 8 14 3 4 3 kk kk = − − +++ ＋ ＋ 2 2 ( 8)[( 2) 1 ] 1=43 k k − + + +=++ －7----------9 分 株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）文科数学答案 第6页 共 8 页 ∴ 21 143 ++==，解得： 2 = 即 时， 7OA OB TA TB +  = − ； 综上所述，当 时， 7OA OB TA TB +  = − ． ------------------------12 分 21. （本题满分 12 分） 已知函数 21( ) ln ( 1)2f x x ax a x= + − + （其中 0a ）. （Ⅰ）讨论 )(xf 的单调性； （Ⅱ）若 21( ) ( ),2 ag x x f x−+=+设 1 2 1 2, ( )x x x x 是函数 ()gx的两个极值点，若 3 2a  ，且 12( ) ( )g x g x k−恒成立，求实数 k 的取值范围。 解：（Ⅰ） )(xf 的定义域为 1 ( 1)( 1)(0, ), ( ) ( 1) x axf x ax axx −−+ = + − + = ------------1 分 （i）若01a，则 1 1a  .由 0)(  xf 得 01x或 ax 1 ；由 0)(  xf 得 11 x a )(xf 在 1(0,1),( , )a + 上单调递增，在 1(1, )a 上单调递减； -------------------------3 分 （ii）若 1a = ，则 )(,0)( xfxf  在 ),0( + 上单调递增；--------------------------4 分 （iii）若 1a  ，则 101a，由 0)(  xf 得 ax 10  或 1x  ；由 0)(  xf 得 1 1xa  )(xf 在 1(0, ),(1, )a + 上单调递增，在 1( ,1)a 上单调递减. ---------------------------5 分 （Ⅱ） 21( ) ln ( 1)2g x x x a x= + − + , 21 ( 1) 1( ) ( 1) x a xg x x axx − + + = + − + = , 由 ( ) 0gx = 得 2 ( 1) 1 0x a x− + + = ， 1 2 1 21, 1x x a x x + = + = ， 2 1 1x x= 3 2a  1 1 1 1 15 2 10 x x x x  +   解得 1 10 2x 2 2 21 1 2 1 2 1 2 1 1 2 21 1 1 1( ) ( ) ln ( ) ( 1)( ) 2ln ( )22 xg x g x x x a x x x xxx − = + − − + − = − − --------8 分 设 2 2 11( ) 2ln ( )2h x x x x= − − 1(0 )2x ，则 22 33 2 1 ( 1)( ) 0xh x xx x x −− = − − =  -----9 分 株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）文科数学答案 第7页 共 8 页 ()hx 在 10, 2    上单调递减；当 1 1 2x = 时， min 1 15( ) ( ) 2ln 228h x h= = − ---------------10 分 15 2ln 28k  − ， k 的最大值为15 2ln 28 − . ----------------------------------12 分 请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时， 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题满分 10 分）选修 4 -4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,直线l 的参数方程为 1xt yt （t 为参数），在以原点o 为极点，x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 1C 与 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 = 3 cos , 3sin （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）设曲线 与曲线 的一个交点为 A （ 不为极点），直线 与OA的交点为 B ，求||AB . 解：（Ⅰ） cos sin 1 -----------------------------------4 分 （Ⅱ）法 1：由 = 3 cos 3sin 得 3tan ,36 -----------------------------------5 分 点 A 的极坐标 3( , )26A ，又点 B 在直线 OA 上，所以设 B 的极坐标为 ( , )6B 由 1, cos sin 1xy 得 = 3-1B ，所以 3- 6B （ 1， ） 5 32ABAB ----------------------------------10 分 法 2：曲线 1C 与曲线 2C 的直角坐标为 2 2 2 23 0, 3 0x y x x y x 由 22 22 30 30 x y x x y x 得点 A 的坐标 3 3 3( , )44A ----------------------------------5 分 所以直线 OA 的方程为 3 3yx 株洲市 2019 届高三年级教学质量统一检测（一）文科数学答案 第8页 共 8 页 由 1 3 3 xy yx 得点 B 的坐标为 3 3 3 1( , )22B ----------------------------------7 分 所以 3 , 3 12OA OB 所以： 5| | 32AB ---------------------------------10 分 或者： 223 3 3 3 3 1 37( ) ( ) 5 34 2 4 2 4AB ------------------9 分 5 32AB ---------------------------------10 分 23．（本小题满分 10 分）选修 4 -5：不等式选讲 已知 ( ) 1 2f x x a x= − + − （Ⅰ） b1, ( ) 2 (b )a f x R=  若 且 恒成立，求 b 的取值范围. （Ⅱ）若 1a  ，解不等式 ( ) .f x a 解：（Ⅰ） 1a = 时， ( ) 1 2 | ( 1) ( 2) | 1f x x x x x= − + −  − − − = 所以 ()fx的最小值为 1--------------------------------------------------------------------------------4 分 （Ⅱ）① 2x  时， 31( ) 1 2 , 1 af x x ax a a x a += − + −   + ， 因为 3 1 12011 aa aa +−− = ++ 所以此时解得： 312 1 ax a + + --------------------------------------6 分 ② 12x时， ( ) 1 2 , 1f x x ax a a x= − − +   ， 此时： 12x ---------------------------------------------------7 分 ③ 1x  时， ( ) 1 2 , 1f x x ax a a x= − − +   ， 此时无解；----------------------------------------------------------------8 分 综上： 311 1 ax a + + -----------------------------------------------10 分