莆田第二十五中学 2016-2017 学年上学期第一次月考试卷

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莆田第二十五中学 2016-2017 学年上学期第一次月考试卷 高二理科数学 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分 ,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知数列1, 3, 5, 7, , 2 1n  ，则3 5 是它的( ) A．第 20 项 B．第 21 项 C．第 22 项 D．第 23 项 2.已知△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC 的面积为( ) A.1 2 B.1 C. 3 D.2 3.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,c·cos A=b,则△ABC( ) (A)一定是锐角三角形 (B)一定是钝角三角形 (C)一定是直角三角形 (D)一定是斜三角形 4．若互不相等的实数 a 、b 、 c 成等差数列， c 、 a 、b 成等比数列， 且 103  cba ，则 a =（ ） A．4 B．2 C．－2 D．－4 5．在等差数 na 中，若 6 9 12 15 20,a a a a    则 20S 等于（ ） （A）90 （B）100 （C）110 （D）120 6．已知数列 na 的前 n 项和为 3n nS k  （ k 为常数），那么（ ） A． k 为任意实数时， na 均为等比数列 B． 1k   时， na 为等比数列 C． 0k  时， na 为等比数列 D． na 不可能是等比数列 7.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 2 89, 2a a a     ，当 nS 取得最小值时，n （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．数列 na 中， 3 72, 1a a  ，又数列 1 1na      是等差数列，则 11a =（ ） （A）0 （B） 1 2 （C） 2 3 （D）－1 9．若  na 是等比数列， 4 7 512,a a   3 8 124,a a  且公比 q 为整数，则 10a =（ ） （A）256 （B）-256 （C）512 （D）-512 10．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且 a6＝b7，则有( )． A．a3＋a9＜b 4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10 C．a3＋a9≠b4＋b10 D．a3＋a9 与 b4＋b10 的大小不确定 11．等差数列 na 共有 2 1n  项，其中 1 3 2 1 4,na a a     2 4 2 3,na a a    则 n 的值为（ ） （A）3 （B）5 （C）7 （D）9 12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第 k 行有 k 个奇数），其 中第i 行第 j 个数表示为 ija ，例如 1542 a ，若 2015ija ，则  ji （ ） A．26 B．27 C．28 D．29 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．已知数列 na 的通项公式 11 2 ,na n  1 2 ,n nS a a a    则 10S =_________ 14．已知数列 }{ na 满足 11 a ， 131  n n n a aa ，则 na = 15. ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 4cos 5A  ， 5cos 13C  ， 1a  ，则b  ． 16．如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点．从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测得∠MCA＝60°.已知山高 BC＝100 m， 则山高 MN＝________ m. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.） 17.（10 分）如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东α的方向追赶 渔船乙,刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α的值. 18．(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3cos(B－C) －1＝6cosBcosC. (1)求 cosA； (2)若 a＝3，△ABC 的面积为 2 2，求 b，c. （第 12 题） 19．（本题满分 12 分）数列 na 的前 n 项和记为 nS ，  1 11, 2 1 1n na a S n    ， （1）求 na 的通项公式； （2）等差数列 nb 的各项为正，其前 n 项和为 nT ，且 3 15T  ，又 1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b   成等比 数列，求 nT ． 20．（12 分）等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn，若 a5=10，S7=49， （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和Tn． 21.（本小题满分 12 分）设数列 na 是等差数列，数列 nb 的前 n 项和 nS 满足  3 12n nS b  且 2 1 5 2,a b a b  ． （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）设 n n nc a b  ，设 nT 为 nc 的前 n 项和，求 nT ． 22．如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一 工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄 A)，要求 PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)。如 何设计能使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)? 莆田第二十五中学 2016-2017 学年上学期第一次月考答题卡 高二理科数学 一、选择题（5×12=60） 考场座位号： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题（4×5=20） 13、 14、 15、 16、 三、解答题（12×5+10=70 分） 17、 18、 19、 20、 21、 22. 2016-2017 高二上学期第一次月考答案 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知数列1, 3, 5, 7, , 2 1n  ，则3 5 是它的( D ) A．第 20 项 B．第 21 项 C．第 22 项 D．第 23 项 2.已知△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC 的面积为( C ) A.1 2 B.1 C. 3 D.2 3.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,c·cos A=b,则△ABC( C ) (A)一定是锐角三角形 (B)一定是钝角三角形 (C)一定是直角三角形 (D)一定是斜三角形 4．若互不相等的实数 a 、b 、 c 成等差数列， c 、 a 、b 成等比数列， 且 103  cba ，则 a =（ D ） A．4 B．2 C．－2 D．－4 5．在等差数 na 中，若 6 9 12 15 20,a a a a    则 20S 等于（ B ） （A）90 （B）100 （C）110 （D）120 6．已知数列 na 的前 n 项和为 3n nS k  （ k 为常数），那么（ B ） A． k 为任意实数时， na 均为等比数列 B． 1k   时， na 为等比数列 C． 0k  时， na 为等比数列 D． na 不可能是等比数列 7.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 2 89, 2a a a     ，当 nS 取得最小值时，n （ A ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．数列 na 中， 3 72, 1a a  ，又数列 1 1na      是等差数列，则 11a =（B ） （A）0 （B） 1 2 （C） 2 3 （D）－1 9．若  na 是等比数列， 4 7 512,a a   3 8 124,a a  且公比 q 为整数，则 10a =（ C ） （A）256 （B）-256 （C）512 （D）-512 10．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且 a6＝b7，则有( B )． A．a3＋a9＜b4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10 C．a3＋a9≠b4＋b10 D．a3＋a9 与 b4＋b10 的大小不确定 11．等差数列 na 共有 2 1n  项，其中 1 3 2 1 4,na a a     2 4 2 3,na a a    则 n 的值为（ A ） （A）3 （B）5 （C）7 （D）9 12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第 k 行有 k 个奇数），其 中第i 行第 j 个数表示为 ija ，例如 1542 a ，若 2015ija ，则 （第 12 题）  ji （ B ） A．26 B．27 C．28 D．29 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．已知数列 na 的通项公式 11 2 ,na n  1 2 ,n nS a a a    则 10S =___50________ 14．已知数列 }{ na 满足 11 a ， 131  n n n a aa ，则 na = 1 3 2n  15. ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 4cos 5A  ， 5cos 13C  ， 1a  ，则 b  21 13 ． 16．如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测得∠MCA＝60°.已知山高 BC＝100 m， 则山高 MN＝__150______ m. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/ 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙, 刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α的值. 解:(1)依题意,∠BAC=120°,AB=12 海里,AC=10×2=20(海里), ∠BCA=α. 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos 120°=784.解得 BC=28(海里), 所以渔船甲的速度为错误！未找到引用源。=14(海里/小时). (2)在△ABC 中,AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,由正弦定理,得错误！未找到引用源。=错误！ 未找到引用源。.即 sin α=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 18．(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3cos(B－C)－1＝6cosBcosC. (1)求 cosA； (2)若 a＝3，△ABC 的面积为 2 2，求 b，c. 解：(1)∵3(cosBcosC＋sinBsinC)－1＝6cosBcosC， ∴3cosBcosC－3sinBsinC＝－1，∴3cos(B＋C)＝－1，(4 分) ∴cos(π－A)＝－1 3 ，∴cosA＝1 3 .(6 分) (2)由(1)得 sinA＝2 2 3 ，由面积公式 1 2 bcsinA＝2 2可得 bc＝6，① 根据余弦定理得 cosA＝b2＋c2－a2 2bc ＝b2＋c2－9 12 ＝1 3 ， 则 b2＋c2＝13， ②10 分①②两式联立可得 b＝2，c＝3 或 b＝3，c＝2.(12 分) 19．（本题满分 12 分）数列 na 的前 n 项和记为 nS ，  1 11, 2 1 1n na a S n    ， （1）求 na 的通项公式； （2）等差数列 nb 的各项为正，其前 n 项和为 nT ，且 3 15T  ，又 1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b   成等比 数列，求 nT ． 20．（12 分）等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn，若 a5=10，S7=49， （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，∵a5=10，S7=49， ∴a1+4d=10，7a1+ d=49，联立解得 a1=﹣2，d=3， ∴an=﹣2+3（n﹣1）=3n﹣5． （2）bn= = = ， ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= + +…+ = = ． 21.（本小题满分 12 分）设数列 na 是等差数列，数列 nb 的前 n 项和 nS 满足  3 12n nS b  且 2 1 5 2,a b a b  ． （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）设 n n nc a b  ，设 nT 为 nc 的前 n 项和，求 nT ． 22.解：（1）∵数列 nb 的前 n 项和 nS 满足  3 12n nS b  ， ∴  1 1 1 3 12b S b   ，解得 1 3b  ， 当 2n  时，    1 1 3 31 12 2n n n n nb S S b b       ， 化为 13n nb b  ，∴数列 nb 为等比数列， ∴ 13 3 3n n nb    ，∵ 2 1 5 23, 9a b a b    ， 设等差数列 na 的公差为 d ， ∴ 1 1 3 4 9 a d a d      ，解得 12, 1d a  .∴ 2 1na n  ， 综上可得： 2 1, 3n n na n b   ． （2）  2 1 3n n n nc a b n    , ∴    2 3 13 3 3 5 3 2 3 3 2 1 3n n nT n n            ，    2 2 13 3 3 3 2 3 3 2 1 3n n nT n n           ， ∴  2 3 12 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3n n nT n                  1 12 3 3 1 2 1 3 3 2 2 3 63 1 n n nn n            ． ∴   13 1 3n nT n    ． 22．如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一 工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄 A)，要求 PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)。如 何设计能使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)? 解析：设∠AMN＝θ，在△AMN 中， MN sin60° ＝错误!。 因为 MN＝2，所以 AM＝4 3 3 sin(120°－θ)。在△APM 中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)。 AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP ＝16 3 sin2(120°－θ)＋4－2×2×4 3 3 sin(120°－θ)·cos(60°＋θ) ＝16 3 sin2(θ＋60°)－16 3 3 sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 ＝8 3 1－cos(2θ＋120°)]－8 3 3 sin(2θ＋120°)＋4＝－8 3 3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)] ＋20 3 ＝20 3 －16 3 sin(2θ＋150°)，θ∈(0,120°)。 当且仅当 2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2 取得最大值 12，即 AP 取得最大值 2 3。 所以当∠AMN＝60°时，符合要求。