湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 衡阳市第一中学2019年下学期高二期末考试数学试题 考试时间：120分钟总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：直接利用除法的运算法则求解即可，求解过程注意避免计算错误.‎ 详解：‎ ‎,故选C.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2.抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将方程化为抛物线的标准方程，然后求出，可得到焦点坐标.‎ ‎【详解】解：由得，，则，所以 ,‎ 因为抛物线的焦点在的负半轴上，‎ 所以焦点坐标为.‎ 故选：D.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】此题考查的是已知抛物线方程求其焦点坐标，属于基础题.‎ ‎3.直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ y′=（lnx）′=, ，令得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程, ∴ln2=1+b∴b=ln2-1．‎ 故选C．‎ 点睛：对于直线是曲线的切线问题，都是先求导数，令直线斜率与导数值相等得出切点坐标，再代入直线方程即可得出参数值.‎ ‎4.若在上是减函数，则实数的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的单调性，将问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题，从而进行处理.‎ ‎【详解】因为，‎ 故可得，‎ 因为在区间是减函数，‎ 故在区间上恒成立.‎ 因为，故上式可整理化简为 在区间上恒成立，‎ 因为在区间上的最小值为，‎ 故只需-1.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的单调性，利用导数求解参数范围的问题，属基础题.‎ - 21 -‎ ‎5.椭圆上的点到直线的最大距离是（　　）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．‎ ‎【详解】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）‎ 则点P到直线的距离 d=，‎ ‎，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．‎ ‎6.在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在、、三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．‎ - 21 -‎ ‎【详解】根据题意，分2步进行分析： ①、五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有C53=10种分组方法； 当按照1、2、2来分时共有 种分组方法； 则一共有 种分组方法； ②、将分好的三组对应三家酒店，有 种对应方法； 则安排方法共有 种； 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．‎ ‎7.若实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件,画出可行域,然后求出的最大值,即可得到的最大值.‎ ‎【详解】解:,不等式组,∴表示的平面区域如下图所示:‎ - 21 -‎ 令,则,据图可知,当,时,取得最大值,‎ 即,∴,‎ ‎∴.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了利用线性规划求最值,考查了转化思想和数形结合思想,属基础题.‎ ‎8.设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由,得，‎ ‎∵,∴∈(0,1)，‎ 由,得，‎ 又−2sinx∈[−2,2]，‎ ‎∴a−2sinx∈[−2+3a,2+3a]，‎ 要使过曲线上任意一点的切线为l1，‎ 总存在过曲线g(x)=3ax+2cosx上一点处的切线,使得，‎ 则,解得⩽a⩽.‎ 故选D.‎ - 21 -‎ 点睛：解决本题的关键是处理好任意和存在的关系，对于，可变形为.‎ 若的值域为A，的值域为B.‎ 由任意的，存在使得方程成立，则；‎ 由存在的，任意使得方程成立，则.‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.在正方体中，若棱长为，点分别为线段、上的动点，则下列结论正确结论的是（ ）‎ A. 面 B. 面面 C. 点F到面的距离为定值 D. 直线与面所成角的正弦值为定值 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用共线向量可表示出动点的坐标，利用空间向量判断线面垂直、面面平行、求解点到面的距离和直线与平面所成角的方法依次验证各个选项即可得到结果.‎ ‎【详解】以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：‎ 由题意知：，，，，，，‎ - 21 -‎ ‎，，‎ 设，，即，，‎ 设，，即，.‎ 对于，，，，‎ ‎，，，‎ 又平面，，平面，正确；‎ 对于，平面，为平面的一个法向量，‎ ‎，，，，，‎ 又平面，，平面，‎ 平面平面，正确；‎ 对于，，点到面的距离，为定值，正确；‎ 对于，几何体为正方体，平面，‎ 是平面的一个法向量，又，‎ 设直线与平面所成角为，则，不是定值，错误.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系、角度和距离的相关问题的辨析，由于本题建立空间直角坐标系较为简单，所以采用空间向量法来进行判断是比较快速的方式.‎ ‎10.（多选）若，则下列不等式中一定不成立的是（ ）‎ - 21 -‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于选项A,B,C,D都可以利用作差法判断两个量的大小关系，逐一运算即可.‎ ‎【详解】解：，则，一定不成立；，当时，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立.‎ 故选AD.‎ ‎【点睛】本题考查了利用作差法判断两个量的大小关系，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎11.已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 数列前n项和为 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递增数列 D. 数列为递增数列 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.‎ - 21 -‎ ‎【详解】‎ 因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；‎ 所以，即A正确；‎ 当时 所以，即B，C不正确；‎ 故选：AD ‎【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎12.已知双曲线，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若 ，则有（ ）‎ A. 渐近线方程为 B. ‎ C. D. 渐近线方程为 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率和渐近线即可．‎ ‎【详解】双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），‎ 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．‎ - 21 -‎ 若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，‎ 可得：，即，故e．且，故渐近线方程为渐近线方程为 故选AC．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数在上的最大值是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．‎ ‎【详解】函数，，令，解得．‎ 因为，函数在上单调递增，在单调递减；‎ 时，取得最大值，．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．‎ ‎14.从6人中选出4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有___________.（用数字作答）‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 根据题意，使用间接法，首先计算从6人中选4人分别到四个城市游览的情况数目，再分析计算其包含的甲、乙两人去巴黎游览的情况数目，进而由事件间的关系，计算可得答案.‎ ‎【详解】由题意可得:首先从6人中选4人分别到四个城市游览有=360种不同的情况，其中包含甲到巴黎游览的有=60种，乙到巴黎游览的有=60种，故这6人中甲、乙两人不去巴黎游览的方案共有360-60-60=240种.‎ ‎【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题，一般情况下可采取特殊情况优先考虑的策略，即直接法，有时也可以采用间接法来处理.‎ ‎15.已知抛物线,焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足,如果直线的斜率为,那么= ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由抛物线的参数方程为得其标准方程为，∴准线l：x=-2，‎ 考点：本题考查了参数方程及直线与抛物线的位置关系．‎ 点评：有关抛物线的焦半径问题，往往利用定义转化求解 ‎16.已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为，根据能成立的思想可得，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果.‎ ‎【详解】，‎ - 21 -‎ 即为，‎ 整理得到，即，使得成立，‎ ‎（当且仅当，即时取等号），，‎ 即实数的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数解决能成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到结果.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数，其导函数为，且.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程 ‎(Ⅱ)求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) ，.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先由求出的值，再求出函数在点的切线方程；（2）先求出函数的极值，列表格，根据单调性求出最大值和最小值．‎ 详解： (Ⅰ)‎ ‎∵，∴.解得 ‎∴，‎ ‎∴，.‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为 ‎ (Ⅱ)出(Ⅰ)，当时，解得或 - 21 -‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎∴的极小值为 ‎ 又，‎ ‎∴，.‎ 点睛：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数最值的步骤等，属于中档题．求出的值是解题的关键．‎ ‎18.在中，角所对的边分别为，已知，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由三角函数的恒等变换化简角，再运用正弦定理边角互化得解；‎ ‎(2)由余弦定理反映三角形的三边的关系求解三角形的周长.‎ ‎【详解】（1）由，‎ 得，即，‎ - 21 -‎ 所以，．‎ 因为，所以，故 ．‎ ‎（2）由余弦定理得，‎ 所以．‎ 因为，所以，．‎ 于是．‎ 的周长为．‎ ‎【点睛】本题考查运用三角形的正弦定理和余弦定理，属于中档题.‎ ‎19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令，若数列{bn}的前n项和为Tn，求满足Tn＝258的正整数n的值．‎ ‎【答案】（1）（2）n值为5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当n≥2时，得．‎ 再验证时，是否满足上式，可得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）运用错位相减求数列的前n项和的方法求得Tn，再得出数列{Tn}的单调性，可得解.‎ ‎【详解】解：（1）由a1＝S1＝2．‎ 当n≥2时，．‎ 由a1＝2符合an＝2n（），故数列{an}的通项公式为an＝2n． ‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ ‎，‎ - 21 -‎ 作差得：‎ 得：‎ 得：,‎ 又，‎ 所以数列{Tn}单调递增，且，‎ 故满足Tn＝258的正整数n的值为5．‎ ‎【点睛】本题考查根据数列的前n项和求得数列的通项和运用错位相减法求数列的前n项和，以及数列的单调性，注意求数列的通项时需验证是否满足，属于中档题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.‎ ‎（1）若，求与所成角的余弦值；‎ ‎（2）当平面与平面垂直时，求的长.‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）结合已知条件，设与的交点为，则，故考虑分别以为轴、轴，以过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设与所成的角为，则可转化为与所成的角，代入公式可求；（2）分别求平面的法向量，平面的法向量，由平面平面 - 21 -‎ 可得从而可求即.‎ 试题解析：（1）因为四边形是菱形，所以.‎ 又因为平面，所以.‎ 又，所以平面 设.‎ 因为，，‎ 所以，，‎ 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.‎ 则，，，，所以，.‎ 设与所成角为，则 .‎ ‎（2）由（1）知，设（），则，‎ 设平面的法向量，则，，所以，‎ 令，则，，所以.‎ 同理，平面的法向量.‎ - 21 -‎ 因平面平面，所以，即，解得.所以.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线成的角，以及向量垂直的应用，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎21.已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. ‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.‎ 试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，‎ 所以，. ‎ 又 解得，‎ - 21 -‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）解：设 由题意可设直线的方程为：，‎ 联立消去得，‎ 当，所以，即或时 ‎.‎ 所以 点到直线的距离 所以，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，‎ 解得时取等号，‎ 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或.‎ - 21 -‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎(Ⅱ)若直线为函数的切线，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)见解析.(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由即为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到结论；‎ ‎（2）求得函数的导数，设出切点，可得的值和切线方程，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解．‎ ‎【详解】(Ⅰ)证明：整理得 令，‎ 当，，所以在上单调递增；‎ 当，，所以在上单调递减，‎ - 21 -‎ 所以，不等式得证.‎ ‎(Ⅱ)，设切点为，‎ 则，函数在点处的切线方程为 ‎，令，解得，‎ 所以，令，‎ 因为，，所以，‎ ‎，‎ 当，，所以在上单调递减；‎ 当，，所以在上单调递增，‎ 因为，.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ - 21 -‎ - 21 -‎