陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

汉中市龙岗学校2021届高二上期末考试 数学试题（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合A={，，1，2，3}，B={x|lgx＞0}，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. 2，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可解出集合B，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】B={x|x＞1}； ∴A∩B={2，3}． ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关集合的运算，涉及到的知识点有根据对数函数的单调性解对数不等式，集合的交集，属于简单题目．‎ ‎2.抛物线焦点坐标是（ ）‎ A. (2,0) B. (-2,0) C. (4,0) D. (-4,0)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的标准方程求出p,并确定焦点位置即可求解.‎ ‎【详解】因为抛物线，‎ 所以，且焦点在x轴正半轴上，‎ 所以焦点坐标为，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的简单几何性质，属于容易题.‎ ‎3.已知向量若，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 向量的坐标运算和向量的数量积求出的值,再根据向量的模计算即可本题考查了向量的坐标运算和向量的数量.‎ ‎【详解】解：由已知得 即 解得：‎ 故选A ‎【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积的运算以及向量的模,属于基础题.‎ ‎4.已知，则=（ ）‎ A. B. C. D.      ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数的基本关系，由，化为正切即可求解.‎ ‎【详解】,‎ 且，‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，弦化切的思想，属于中档题.‎ ‎5.函数在区间上的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x→0时，xsinx+lnx＜0，分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，f（x）＝xsinx+ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，‎ 有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+ln|（﹣x）|＝xsinx+ln|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，‎ 在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上关于y轴对称，排除A、D；‎ 又由x→0时，xsinx+lnx＜0，排除C；‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析．‎ ‎6.某校高二（1）班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相互独立事件的概率乘法公式求得 甲投进而乙没有投进的概率，以及乙投进而甲没有投进的概率，相加即得所求．‎ ‎【详解】甲投进而乙没有投进的概率为 ，乙投进而甲没有投进的概率为,故甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是 ,‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎7.已知是各项为正的等比数列的前项和，若，则( )‎ A. 32 B. ‎64 ‎C. 128 D. 256‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合等比数列的通项公式求得首项和公比，再代入等比数列的通项公式即可求解.‎ ‎【详解】在各项为正的等比数列中，‎ ‎，即，‎ 又，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式，属于中档题.‎ ‎8.函数的部分图象如图所示,若将图象向左平移个单位后得到图象,则的解析式为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的图象求出函数的解析式，再根据图象的平移变换得到的解析式即可.‎ ‎【详解】由图象可知，A=2,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又当时，，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故，‎ 将图象向左平移个单位后得到，‎ ‎ ，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，图象的变换，属于中档题.‎ ‎9.如图，半径为的圆内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为，这四个小圆都与圆内切，且相邻两小圆外切，则在圆内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由圆与圆的位置关系得到小圆半径与大圆半径的比值，利用几何概型的概率等于面积比，列式求解即可.‎ 详解：设小圆的半径为，‎ 根据四个小圆与大圆内切可得，四个小圆互相外切，‎ 可知四边形为正方形，.‎ 所以：，解得.‎ 大圆的面积为：，四个小圆的面积为.‎ 由几何概型的的概率公式可得：该点恰好取自阴影部分的概率为.‎ 故选A.‎ 点睛： (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎10.汕头某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配，每辆甲型货车的运输费用是400元，可装空调20台，每辆乙型货车的运输费用是300元，可装空调10台，若每辆车至多运一次，则企业所花的最少运费为（ ）‎ A. 2000元 B. 2200元 C. 2400元 D. 2800元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设需甲、乙型货车各x、y辆，企业所花的费用为z元，由题意可得关于x，y的不等式组，并得到目标函数，由不等式组作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】设需甲、乙型货车各 x 、 y 辆，企业所花的费用为 z 元，‎ 由题意有⎪，‎ 由约束条件作出可行域如图：‎ 化目标函数 z=400x+300y 为  ，‎ 由图可知当 x=4,y=2 时 ,z最小值为2200.‎ 故选B.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11.已知离心率为的椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为1的直线与椭圆在第一象限内的交点为，则到直线，轴的距离之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设，用x表示,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可．‎ ‎【详解】结合，所以，设 ‎，，对三角形运用余弦定理 得到，代入，得到 ‎，即，运用三角形面积相等 设到直线距离为d，则，代入，‎ 得到，所以到直线，轴的距离之比为 ‎【点睛】本道题考查了余弦定理和三角形面积计算公式，难度较大．‎ ‎12.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 详解】构造新函数,，当时.‎ 所以在上单减，又，即.‎ 所以可得,此时，‎ 又为奇函数，所以在上的解集为：.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案写在答题卡上）‎ ‎13.设曲线在x=1处的切线方程是，则________；‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 因为，所以由导数的几何意义及题设条件可得切线的斜率，解之得，应填答案 ．‎ ‎14.在△ABC中，a＝3，，B＝‎2A，则cosA＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．‎ ‎【详解】解：∵a＝3，，B＝‎2A，‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ ‎∴cosA．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎15.在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：正三棱锥S-ABC中侧棱，正三棱锥的外接球与以为临边的正方体的外接球是相同的，正方体边长为时，体对角线为6，球的半径为3，所以球的表面积为 考点：三棱锥外接球 点评：把握住三棱锥的特点将三棱锥外接球转化为正方体外接球 ‎16.若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由知曲线C1表示以为圆心以1为半径的上半圆，表示两条直线与，问题转化为与半圆有两个不同于半圆端点的交点，利用特殊位置过端点、相切的情况求出对应的k,即可求解.‎ ‎【详解】由得，‎ 曲线C1表示以为圆心以1为半径的上半圆，‎ 显然直线与曲线C1有两个交点，交点为半圆的两个端点，‎ ‎∴直线与半圆有2个除端点外的交点，‎ 当直线经过点时，，当直线与半圆相切时，，解得或（舍去）‎ 所以时，直线与半圆有2个除端点外的交点，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的几何性质，直线的斜率，点到直线的距离，圆的切线，属于中档题.‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.设函数.‎ ‎(1)当时,求函数的值域;‎ ‎(2)中,角的对边分别为,且,,求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据，求出的范围，由正弦函数的图象和性质求解即可（2）根据条件求出A的值，结合正弦定理以及两角和的正弦公式进行求解即可.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ ‎∴函数的值域为，‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即,‎ 由正弦定理得：，‎ ‎，‎ ‎，则，‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据角的范围求正弦函数值域，正弦定理，两角和的正弦公式，属于中档题.‎ ‎18.已知数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)若,求的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列中成等比列出方程即可求解公差，写出通项公式（2）利用错位相减法能求出数列的前项和．‎ ‎【详解】（1）数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，‎ ‎，‎ 解得，或（舍，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎①②，得 ‎，‎ ‎．‎ 点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求法，等比中项，错位相减法求和，属于中档题．‎ ‎19.某品牌新款夏装即将上市,为了对新款夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:‎ 连锁店 A店 B店 C店 售价x（元）‎ ‎80‎ ‎86‎ ‎82‎ ‎88‎ ‎84‎ ‎90‎ 销量y（元）‎ ‎88‎ ‎78‎ ‎85‎ ‎75‎ ‎82‎ ‎66‎ ‎(1)分别以三家连锁店的平均售价与平均销量为散点,如A店对应的散点为，求出售价与销量的回归直线方程;‎ ‎(2)在大量投入市场后,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该新夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元?(保留整数)‎ 附:,.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出三家连锁店的平均年售价和平均销量，根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程（2）设定价为，得出利润关于的函数，利用二次函数的性质确定出的最值．‎ ‎【详解】（1）三家连锁店的平均售价和销售量分别为，，．‎ ‎，．‎ ‎，‎ ‎．‎ 售价与销量的回归直线方程为．‎ ‎（2）设定价为元，则利润为．‎ 当时，取得最大值，即利润最大．‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解，二次函数的性质，属于中档题．‎ ‎20.如图一,等腰梯形,,,,分别是的两个三等分点,若把等腰梯形沿虚线,折起,使得点和点重合,记为点,如图二.‎ ‎(1)求证:平面平面.‎ ‎(2)求四棱锥P-ABEF的表面积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出BE⊥EF，BE⊥PE，从而BE⊥面PEF，由此能证明平面PEF⊥平面ABEF（2）分别计算四棱锥的各面面积，求和即可.‎ ‎【详解】（1）∵等腰梯形分别是的两个三等分点，‎ ‎∴ABEF是正方形,‎ ‎∴BE⊥EF ‎∵BE⊥PE，且PE∩EF=E，∴BE⊥面PEF，‎ 又BF⊂平面ABEF,‎ ‎∴平面PEF⊥平面ABEF．‎ ‎（2）在等腰梯形中，由（1）知,‎ ‎,‎ 即折起后,‎ 中,‎ ‎,‎ 中，，‎ ‎，‎ 表面积 ‎【点睛】本题主要考查了面面垂直、线面垂直的证明，四棱锥的表面积，属于中档题．‎ ‎21.已知椭圆焦点是，离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点P在椭圆上，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，然后根据离心率，求出，．求出椭圆方程即可（2）由在椭圆上，可得，与已知条件联立可求得是直与，据此能够推导出△是直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式求解即可．‎ ‎【详解】（1）根据题意，可得，‎ 又，则，，‎ 所以椭圆的方程为：‎ ‎2）点在椭圆上，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎，‎ ‎△是直角三角形，‎ ‎△的面积．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，考查了余弦定理、直角三角形的判定、直角三角形的面积等知识的运用，属于中档题.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）当时，求在点处的切线；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，计算，求出切线方程即可（2）时，利用导数求出，问题转化为，令，利用导数证明即可.‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，，，‎ 所以切线方程为：，‎ 即，‎ ‎（2）因为，‎ 当时，时，，时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，‎ ‎，‎ 令，‎ 则，解得，‎ 在上单调递增，在单调递减.‎ ‎,‎ 即，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，最大值，证明不等式，数学转化思想方法，属于难题