甘肃省天水市甘谷县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

甘肃省天水市甘谷县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

甘谷一中2019~2020学年第一学期高二期末考试 数学试题（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选岀答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.‎ ‎3.本卷命题范围：选修1-1、选修1-2.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 全称命题的否定是特称命题，据此选择.‎ ‎【详解】根据全称命题否定的转换原则，‎ 其否定为：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定，注意结论也要否定.‎ ‎2.已知，是两个变量，下列四个关系中，，呈负相关的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个变量，的散点图，即可确定.‎ ‎【详解】根据的散点图可知，，不呈负相关.选项A，排除.‎ 根据的散点图可知，，不呈负相关.选项B，排除.‎ 根据的散点图可知，，呈正相关.选项C，排除.‎ 根据的散点图可知，，呈负相关.选项D，成立.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查变量的相关性，数形结合思想是解决本题的关键，属于较易题.‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对充分性和必要性都进行推证，即可得到结论.‎ ‎【详解】当时，存在不满足，‎ 当时，一定满足；‎ 综上：是的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查充要条件的判断，属基础题.‎ ‎4.函数在区间上的最大值为（ ）‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，讨论单调性，求其最值即可.‎ ‎【详解】，故是单调增函数；‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数在区间上的最值，属基础题.‎ ‎5.已知：抛物线的准线方程为；：双曲线的渐近线方程为.下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别分析两个命题的真假，再根据或且非的真假判定原则进行选择.‎ ‎【详解】抛物线的准线方程为，故命题为真命题；‎ 双曲线的渐近线方程为，故命题为假命题，则为真命题；‎ 故为真命题.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题真假的判定，涉及抛物线方程及双曲线方程，属综合基础题.‎ ‎6.某公司在2014~2018年的收入与支出情况如下表所示：‎ 收入（亿元）‎ ‎2.2‎ ‎2.4‎ ‎3.8‎ ‎5.2‎ ‎6.0‎ 支出（亿元）‎ ‎0.2‎ ‎1.5‎ ‎2.0‎ ‎2.5‎ ‎3.8‎ 根据表中数据可得回归直线方程为，依此估计如果2019年该公司收入为8亿元时的支出为（ ）‎ A. 4.502亿元 B. 4.404亿元 C. 4.358亿元 D. 4.856亿元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，，根据，求解，将代入回归直线方程为，求解即可.‎ ‎【详解】，‎ 即 令，则 故选：D ‎【点睛】本题考查回归分析，样本中心点满足回归直线方程，是解决本题的关键.属于中档题.‎ ‎7.若函数的极值点为-1，则的零点为（ ）‎ A. -2 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由极值点求得参数，再令解方程即可.‎ ‎【详解】因为，故 又因为极值点为-1，故 解得；‎ 故，令 解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查极值点的性质，以及零点的意义，属基础题.‎ ‎8.某算法的程序框图如图所示，则输出S为（ ）‎ A. B. ‎0 ‎C. -1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，执行循环体，直至满足输出条件即可.‎ ‎【详解】由已知，‎ 因为，‎ 即每相邻八项之和为0，也即周期为8.‎ 因为，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查计算程序框图的输出结果，涉及循环体的执行.‎ ‎9.若复数z是方程的一个根，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出复数，代入方程进行求解即可.‎ ‎【详解】令，‎ 有，‎ 整理为，‎ 有，‎ 解得：，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题综合考查复数的运算，涉及复数为实数的转化关系，属复数基础题.‎ ‎10.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为Q，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得点的横坐标，代入抛物线得其纵坐标，再利用点在双曲线上，点的坐标满足双曲线方程，从而进行求解.‎ ‎【详解】因为抛物线的焦点为，设，‎ 则，解得，‎ 又点在抛物线上，故.‎ 点在双曲线上，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，以及双曲线离心率的求解，属综合基础题.‎ ‎11.观察下列各式：，，，…，则的末四位数字为（ ）‎ A. 3125 B. ‎5625 ‎C. 0625 D. 8125‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，寻找周期性规律，结合周期可求.‎ ‎【详解】可以看出后四位呈周期出现，且周期为4，，所以的末四位数字为8125，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳推理，一般是利用所给项的特点推测目标项的特点,注意规律的总结.‎ ‎12.设函数，若集合中恰有一个元素，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行“半分离参数”的转化，将问题转变为两个函数图像的问题，利用导数研究函数的单调性，数形结合，解决问题.‎ ‎【详解】记，， ‎ 依题意，恰有一个整数使得.‎ ‎∵在上递增，‎ 又，， ‎ ‎∴，，‎ 故在上递减，在上递增.‎ ‎（1）当，时，‎ ‎，，，‎ ‎，不符合题意；‎ ‎（2）当，时，‎ ‎∵过定点，且，‎ 由的单调性，有，‎ ‎∴，‎ 综上，实数a的取值范围为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数解决能成立问题，本题的关键步骤是半分离参数，同时也要注意数形结合.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知复数，则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的除法化简复数，再求其共轭复数即可.‎ ‎【详解】因为复数 故其共轭复数：‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，以及共轭复数的定义，属基础题.‎ ‎14.若椭圆的离心率为，则其长轴长为____________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据离心率公式，列方程求参数即可.‎ 详解】由椭圆方程可得，‎ 由离心率公式 解得，则，，‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程中的求解，属基础题.‎ ‎15.设函数，观察：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当且时，________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合已知条件，观察分子和分母随着项数的变化情况，即可求得结果.‎ ‎【详解】根据已知，分子随着项数不发生变化；‎ 分母上常数项为等比数列，的系数为等比数列减1，‎ 故由此推理得：=‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，属基础题；此类问题，重在观察规律.‎ ‎16.过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于两点，且l与准线交于点C，若，则_____________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义，结合三角形相似求解比值关系.‎ ‎【详解】过点A作AH垂直于准线，垂足为H，‎ 过点B作BM垂直于准线，垂足为M，如下图所示：‎ 因为，故，‎ 即 因为，以及抛物线定义，‎ 则 故可得 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，涉及三角形相似，属基础题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.‎ 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.‎ ‎17.设复数.‎ ‎（1）若为纯虚数，求a的值；‎ ‎（2）若，求a的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用复数乘法法则进行化简，令实部为零，虚部不为零，求得参数；‎ ‎（2）利用（1）中化简的结果，利用模长公式求得参数.‎ ‎【详解】（1），‎ 由为纯虚数，‎ 得，，‎ 所以.‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘法法则，涉及复数的模长计算、纯虚数的定义.‎ ‎18.过抛物线的焦点F作平行于x轴的直线l，且l与抛物线交于两点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若直线与抛物线交于两点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）-24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由通径可知参数，即可写出抛物线方程；‎ ‎（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，进行求解.‎ ‎【详解】（1）由题可知通径，‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）由，得，‎ 设，‎ 则.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ 故 ‎【点睛】本题考查抛物线方程的求解，以及利用直线与抛物线相交，根据韦达定理，求向量的数量积.属抛物线基础题.‎ ‎19.为了了解某高校大学生是否愿意做志愿者.某调查机构从该高校访问了80人，经过统计，得到如下丢失数据的列联表：（，表示丢失的数据）‎ 无意愿 有意愿 总计 男 a b ‎40‎ 女 ‎5‎ d A 总计 ‎25‎ B ‎80‎ ‎（1）求出的值，并判断：能否有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关；‎ ‎（2）若表中无意愿做志愿者的5个女同学中，3个是大学三年级同学，2‎ 个是大学四年级同学.现从这5个同学中随机选2同学进行进一步调查，求这2个同学是同年级的概率.‎ 附：参考公式及数据：‎ ‎，其中 ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.708‎ l.323‎ ‎2.706‎ ‎6635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表格中的数据，即可求得5个未知数的值；计算,结合参考数据求解；‎ ‎（2）用列举法求得全部可能，以及满足题意的可能，用古典概型概率计算公式求解.‎ ‎【详解】（1）由表得， ‎ ‎∵的观测值 ‎∴有99.9%的把握认为有意愿做志愿者与性别有关 ‎（2）记3个大三同学分别为，2个大四同学分别为，‎ 则从中抽取2个的基本事件有：‎ 共10个 其中抽取的2个是同一年级的基本事件有4个: ‎ 则所求概率为.‎ ‎【点睛】本题考查的计算，以及古典概型的求解，属概率统计基础题.‎ ‎20.（1）求证：.‎ ‎（2）已知，用分析法证明：.‎ ‎【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分析法，不等式的两边平方后，进行比较大小，从而问题得证；‎ ‎（2）根据分析法的证明步骤，利用不等式的基本性质，即可证明.‎ ‎【详解】（1）证明：因为和都是正数，‎ 所以要证，‎ 只需证，‎ 即证，‎ 只需证，‎ 只需证，‎ 又因为成立，‎ 所以成立.即证.‎ ‎（2）若证.‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证.‎ 因为，所以恒成立，‎ 故原不等式成立.即证.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明，涉及不等式证明的方法（分析法），属基础题.‎ ‎21.已知椭圆经过点，其左焦点的坐标为.过的直线交椭圆于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当线段的中点的横坐标为时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆上经过的一点，以及焦点坐标，待定系数，求出即可；‎ ‎（2）设出直线方程，联立椭圆，由韦达定理求得中点横坐标，求出直线斜率即可.‎ ‎【详解】（1）由椭圆过点 得，‎ 由焦点的坐标为 得，，‎ 所以， ‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设点A的坐标为，B的坐标为，的斜率为k（k显然存在）.‎ 由，‎ 得，‎ 所以，‎ 中点的横坐标，‎ 所以，‎ 则的方程为，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及韦达定理的使用，属椭圆基础题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，求得参数，再根据导数的几何意义求切线的方程；‎ ‎（2）求导，对含参函数的单调性进行讨论，求得最大值，只需最大值小于等于零即可.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴曲线在处的切线方程为 即.‎ ‎（2）①当时，，符合题意；‎ 又 ‎②当时，令，得（负根舍去），‎ 令，得；令得.‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎③当时，在上单调递减，‎ 且与的图象在上只有一个交点，‎ 设此交点为，‎ 则当时，.‎ 故当时，不满足. ‎ 综上，a取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数，由恒成立问题，求参数的范围，属导数中档题.‎