湖北省2019-2020学年高二上学期期末考试备考精编金卷理科数学（A）试题

湖北省2019-2020学年高二上学期期末考试备考精编金卷理科数学（A）试题

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷 理科数学（A）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题“，”的否定是（ ）‎ A．“，” B．“，”‎ C．“，” D．“，”‎ ‎3．“双曲线方程为”是“双曲线离心率”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为 ‎．通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．对于曲线，给出下面四个命题：（1）曲线不可能表示椭圆；（2）若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则；（3）若曲线表示双曲线，则或；（4）当时曲线表示椭圆，其中正确的是（ ）‎ A．（2）(3) B．（1）(3) C．（2）(4) D．(3)(4)‎ ‎7．设，，空间向量，，，且，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．利用定积分的几何意义，可得（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把，，，，，，，，，，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图1所示)，则三角形数的一般表达式（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个 米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎11．已知抛物线，为坐标原点，为其焦点，当点在抛物线上运动时，的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且，，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．用数学归纳法证明：，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是__________（用含有的式子作答)．‎ ‎14．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．‎ 若，则实数_______．‎ ‎15．若实数满足，则的最小值为__________．‎ ‎16．过双曲线的左焦点向圆作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐近线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐近线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为__________．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎18．（12分）（1）已知，都是正数，并且，求证：；‎ ‎（2）若，都是正实数，且，求证：与 中至少有一个成立．‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与平面所成角为，是的中点，是上的动点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）设函数．‎ ‎（1）求在区间的最值；‎ ‎（2）若有且只要两个零点，求的值．‎ ‎21．（12分）已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于、两点，且，求面积的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知函数在处的切线与直线平行．‎ ‎（1）求实数的值，并判断函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个零点，，且，求证：．‎ ‎2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷 理科数学（A）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】∵为纯虚数，∴，解得．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以：命题“，”的否定是：“，”．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】双曲线的标准方程为，则，‎ 双曲线为等轴双曲线，则双曲线离心，即充分性成立，‎ 反之若双曲线离心，则双曲线为等轴双曲线，但方程不一定为，‎ 即必要性不成立，‎ 即“双曲线方程为”是“双曲线离心”的充分不必要条件．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】∵，∴，，‎ 当，时，即切点的坐标为，‎ 根据点斜式可得，化成一般式为．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】因为在平面内，点到直线的距离公式为，‎ 类比可得：点到平面的距离为．‎ 故选B．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】①若曲线表示椭圆，则，即时，曲线表示椭圆，故（1）错误；‎ ‎②若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故（2）正确；‎ ‎③若曲线表示双曲线，则，解得或，故（3）正确；‎ ‎④由（1）可知，（4）错误．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】∵，∴，解得，∴，‎ 又，设，则，∴，∴，‎ ‎∴．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】函数表示单位园位于轴上方的部分，‎ 结合定积分的几何意义可得．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】当时，；当时，；当时，；‎ 当时，，‎ 猜想：．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】由题乙，丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙，丙中的一个，‎ 当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁第一棒，甲第四棒，符合题意．‎ 故跑第三棒的人是丙．故选C．‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点，设点，，‎ 则，‎ 设．∴．‎ ‎∵，∴时，即时，的最大值为．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】设，则，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴是上的增函数，‎ 又，∴的解集为，‎ 即不等式的解集为．故选A．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】假设成立，即，‎ 则成立时有，‎ 所以左边增加得项数是．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】连接，交于，‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，，，‎ 设，则，‎ ‎∵，∴，∴，∴，，，‎ ‎∵，∴，解得实数．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，，‎ 分别令，，‎ 问题转化为曲线上的点与直线上的点之间的距离平方的最小值，‎ ‎，设与直线平行且与曲线相切的切点为，‎ 则，解得，可得切点，‎ 切点到直线的距离，‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】因为切线过双曲线的左焦点，所以设切线方程为，即，‎ 且，‎ 因为切线与两条渐近线交于第一、二象限，所以，‎ 又因为，所以，，‎ ‎，，，‎ 因为，，，所以，‎ 因为双曲线的一条渐近线为，，所以切线与该条渐近线垂直．‎ 设两个交点分别为，，坐标原点为，则，，所以，‎ 因为，所以，‎ 则渐近线的斜率为，所以，‎ 因为，所以，，，‎ 因为，所以．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】由，得，‎ 其中，得，，则，．‎ 由，解得，即．‎ ‎（1）若，则，若为真，则，同时为真，即，‎ 解得，∴实数的取值范围是．‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，∴，即，解得．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎，‎ 因为，都是正数，所以，，‎ 又∵，所以，所以，‎ 所以，即．‎ ‎（2）假设和都不成立，即和同时成立．‎ ‎∵且，∴，，‎ 两式相加得，即，与已知条件相矛盾，‎ ‎∴和中至少有一个成立．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，由题意可知，‎ 设，，则，，，，‎ ‎，‎ 于是，，则，所以．‎ ‎（2）设，则，，，，，，，则由，得，，‎ 设平面的法向量为，，，‎ 由，得，取，于是，，‎ ‎∵平面，∴，，‎ 设二面角为，且为钝角，‎ 所以．‎ ‎20．【答案】（1），；（2）或．‎ ‎【解析】（1），令，可得或，‎ 因为，所以当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减，‎ 又因为，，，‎ 所以，．‎ ‎（2）令，可得．‎ 设，则，‎ 令，得或，列表如下：‎ 递减 有极小值 递增 有极大值 递减 所以的大致图象如下：要使有且只有两个零点，只需直线与的图象有两个不同交点，所以或．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当点的坐标为时，，所以．‎ 由对称性及椭圆定义，知，所以，得，‎ 将点代入椭圆方程中，解得，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，，此时．‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由，消去整理得．‎ 显然，设，，则，‎ 故，‎ 因为，所以，‎ 所以点到直线的距离即为点到直线的距离，‎ 所以 ‎，‎ 因为，所以，所以．‎ 综上，．‎ ‎22．【答案】（1），单调性见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1），由，解得，‎ ‎∴，∴，‎ 令，解得，故在上是单调递减；‎ 令，解得，故在上是单调递增．‎ ‎（2）由，为函数的两个零点，得，，‎ 两式相减，可得，即，，‎ 因此，，令，由，得，‎ 则，构造函数，，所以函数在上单调递增，‎ 故，即，可知，故．命题得证．‎