【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第八章 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质作业

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【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第八章 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质作业

[基础题组练] 1.(2020·辽宁大连模拟)已知直线 l 和平面 α,β,且 lα,则“l⊥β”是“α⊥β”的 (  ) A.充分不必要条件    B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.由面面垂直的判定定理可得,若 lα,l⊥β,则 α⊥β,充分性成立;若 l α,α⊥β,则 l 与 β 平行或相交或垂直,必要性不成立.所以若 l α,则“l⊥β”是 “α⊥β”的充分不必要条件,故选 A. 2.(2020·河北唐山模拟)如图,在以下四个正方体中,直线 AB 与平面 CDE 垂直的是(  ) A.①② B.②④ C.①③ D.②③ 解析:选 B.对于①,易证 AB 与 CE 所成角为 45°,则直线 AB 与平面 CDE 不垂直; 对于②,易证 AB⊥CE,AB⊥ED,且 CE∩ED=E,则 AB⊥平面 CDE;对于③,易证 AB 与 CE 所成角为 60°,则直线 AB 与平面 CDE 不垂直;对于④,易证 ED⊥平面 ABC,则 ED⊥AB,同理 EC⊥AB,可得 AB⊥平面 CDE.故选 B. 3.(2020·黑龙江鹤岗模拟)如图,在三棱锥 V-ABC 中,VO⊥平面 ABC,O∈CD,VA= VB,AD=BD,则下列结论中不一定成立的是(  ) A.AC=BC B.AB⊥VC C.VC⊥VD D.S△VCD·AB=S△ABC·VO 解析:选 C.因为 VO⊥平面 ABC,AB平面 ABC,所以 VO⊥AB.因为 VA=VB,AD= BD,所以 VD⊥AB.又因为 VO∩VD=V,所以 AB⊥平面 VCD.又因为 CD平面 VCD,所以 AB⊥CD.又因为 AD=BD,所以 AC=BC,故 A 正确. 又因为 VC平面 VCD,所以 AB⊥VC,故 B 正确; 因为 S△VCD=1 2VO·CD,S△ABC=1 2AB·CD,所以 S△VCD·AB=S△ABC·VO,故 D 正确.由 题中条件无法判断 VC⊥VD.故选 C. 4.如图,在斜三棱柱 ABC­A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的 射影 H 必在(  ) A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 解析:选 A.由 AC⊥AB,AC⊥BC1,得 AC⊥平面 ABC1. 因为 AC平面 ABC, 所以平面 ABC1⊥平面 ABC. 所以 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上. 5.如图,在正四面体 P­ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论 不成立的是(  ) A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 PAE D.平面 PDE⊥平面 ABC 解析:选 D.因为 BC∥DF,DF平面 PDF, BC ⊆/ 平面 PDF, 所以 BC∥平面 PDF,故选项 A 正确; 在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E, 且 AE,PE平面 PAE, 所以 BC⊥平面 PAE, 因为 DF∥BC,所以 DF⊥平面 PAE, 又 DF平面 PDF, 从而平面 PDF⊥平面 PAE. 因此选项 B,C 均正确. 6.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面 ABC,PC= 4,M 是边 AB 上的一个动点,则 PM 的最小值为________. 解析:作 CH⊥AB 于 H,连接 PH.因为 PC⊥平面 ABC,所以 PH⊥AB,PH 为 PM 的最 小值,等于 2 7. 答案:2 7 7.如图所示,在四棱锥 P­ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是边 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确 的条件即可) 解析: 连接 AC,BD,则 AC⊥BD,因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD.又 PA∩AC=A,所 以 BD⊥平面 PAC,所以 BD⊥PC.所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD. 而 PC平面 PCD,所以平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC) 8.如图,PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AE⊥PC,AF⊥PB, 给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC,其中正确结论的序 号是________. 解析:①AE平面 PAC,BC⊥AC,BC⊥PA⇒AE⊥BC,故①正确;②AE⊥PC,AE⊥ BC,PB平面 PBC⇒AE⊥PB,AF⊥PB,EF平面 AEF⇒EF⊥PB,故②正确;③若 AF⊥ BC⇒AF⊥平面 PBC,则 AF∥AE 与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确. 答案:①②④ 9.如图,在多面体 ABCDPE 中,四边形 ABCD 和 CDPE 都是直角梯形,AB∥DC,PE∥ DC,AD⊥DC,PD⊥平面 ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F 是 CE 的中点. (1)求证:BF∥平面 ADP; (2)已知 O 是 BD 的中点,求证:BD⊥平面 AOF. 证明: (1)如图,取 PD 的中点为 G,连接 FG,AG, 因为 F 是 CE 的中点,所以 FG 是梯形 CDPE 的中位线, 因为 CD=3PE,所以 FG=2PE, FG∥CD,因为 CD∥AB,AB=2PE, 所以 AB∥FG,AB=FG, 即四边形 ABFG 是平行四边形, 所以 BF∥AG, 又 BF ⊆/ 平面 ADP,AG平面 ADP, 所以 BF∥平面 ADP. (2)延长 AO 交 CD 于点 M,连接 BM,FM, 因为 BA⊥AD,CD⊥DA,AB=AD,O 为 BD 的中点, 所以 ABMD 是正方形,则 BD⊥AM,MD=2PE. 所以 FM∥PD,因为 PD⊥平面 ABCD, 所以 FM⊥平面 ABCD,所以 FM⊥BD, 因为 AM∩FM=M,所以 BD⊥平面 AMF, 所以 BD⊥平面 AOF. 10.(一题多解)如图 1,在等腰梯形 PDCB 中,PB∥DC,PB=3,DC=1,∠DPB=45 °,DA⊥PB 于点 A,将△PAD 沿 AD 折起,构成如图 2 所示的四棱锥 P­ABCD,点 M 在棱 PB 上,且 PM=1 2MB. (1)求证:PD∥平面 MAC; (2)若平面 PAD⊥平面 ABCD,求点 A 到平面 PBC 的距离. 解:(1)证明:在四棱锥 P­ABCD 中,连接 BD 交 AC 于点 N,连接 MN, 依题意知 AB∥CD, 所以△ABN∽△CDN, 所以BN ND=BA CD=2, 因为 PM=1 2MB, 所以BN ND=BM MP=2, 所以在△BPD 中,MN∥PD, 又 PD ⊆/ 平面 MAC,MN平面 MAC. 所以 PD∥平面 MAC. (2)法一:因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且两平面相交于 AD,PA⊥AD,PA平面 PAD, 所以 PA⊥平面 ABCD, 所以 VP­ABC=1 3S△ABC·PA=1 3×(1 2 × 2 × 1)×1=1 3. 因为 AB=2,AC= AD2+CD2= 2, 所以 PB= PA2+AB2= 5,PC= PA2+AC2= 3,BC= AD2+(AB-CD)2= 2, 所以 PB2=PC2+BC2,故∠PCB=90°, 记点 A 到平面 PBC 的距离为 h, 所以 VA­PBC=1 3S△PBC·h=1 3×(1 2 × 3 × 2)h = 6 6 h. 因为 VP­ABC=VA­PBC, 所以1 3= 6 6 h,解得 h= 6 3 . 故点 A 到平面 PBC 的距离为 6 3 . 法二: 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且两平面相交于 AD,PA⊥AD,PA平面 PAD, 所以 PA⊥平面 ABCD, 因为 BC平面 ABCD, 所以 PA⊥BC, 因为 AB=2,AC= AD2+CD2= 2, BC= AD2+(AB-CD)2= 2, 所以∠ACB=90°,即 BC⊥AC, 又 PA∩AC=A,PA,AC平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC, 过点 A 作 AE⊥PC 于点 E,则 BC⊥AE, 因为 PC∩BC=C,PC,BC平面 PBC, 所以 AE⊥平面 PBC, 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 AE=PA·AC PC =1 × 2 3 = 6 3 . [综合题组练] 1.如图,边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G,已知△A′DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是(  ) ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′­FED 的体积有最大值. A.①          B.①② C.①②③ D.②③ 解析:选 C.①中由已知可得平面 A′FG⊥平面 ABC, 所以点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上. ②BC∥DE,根据线面平行的判定定理可得 BC∥平面 A′DE. ③当平面 A′DE⊥平面 ABC 时,三棱锥 A′­FED 的体积达到最大,故选 C. 2.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F 分 别是 AB,CD 的中点,将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折,给出下列四个结论: ①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面 BDF⊥平面 BCF;④平面 DCF⊥平面 BCF,则上述结论可 能正确的是(  ) A.①③ B.②③ C.②④ D.③④ 解析:选 B.对于①,因为 BC∥AD,AD 与 DF 相交但不垂直, 所以 BC 与 DF 不垂直,则①不成立;对于②,设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P,当 BP⊥CF 时就有 BD⊥FC,而 AD∶BC∶AB=2∶ 3∶4 可使条件满足,所以②正确;对于③,当点 D 在平面 BCF 上 的射影 P 落在 BF 上时,DP平面 BDF,从而平面 BDF⊥平面 BCF,所以③正确;对于 ④,因为点 D 在平面 BCF 上的射影不可能在 FC 上,所以④不成立. 3.在矩形 ABCD 中,AB<BC,现将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折, 在翻折的过程中,给出下列结论: ①存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直; ②存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直; ③存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. 其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号) 解析:①假设 AC 与 BD 垂直,过点 A 作 AE⊥BD 于点 E,连接 CE.则Error!⇒BD⊥平 面 AEC⇒BD⊥CE,而在平面 BCD 中,EC 与 BD 不垂直,故假设不成立,①错. ②假设 AB⊥CD,因为 AB⊥AD,所以 AB⊥平面 ACD,所以 AB⊥AC,由 AB<BC 可 知,存在这样的等腰直角三角形,使 AB⊥CD,故假设成立,②正确. ③假设 AD⊥BC, 因为 DC⊥BC,所以 BC⊥平面 ADC, 所以 BC⊥AC,即△ABC 为直角三角形,且 AB 为斜边,而 AB<BC,故矛盾,假设不 成立,③错.综上,填②. 答案:② 4.如图,直三棱柱 ABC­A1B1C1 中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90 °,D 是 A1B1 的中点,F 是 BB1 上的动点,AB1,DF 交于点 E.要使 AB1⊥平 面 C1DF,则线段 B1F 的长为________. 解析:设 B1F=x,因为 AB1⊥平面 C1DF,DF平面 C1DF,所以 AB1⊥DF. 由已知可以得 A1B1= 2, 设 Rt△AA1B1 斜边 AB1 上的高为 h,则 DE=1 2h, 又 2× 2=h× 22+( 2)2, 所以 h=2 3 3 ,DE= 3 3 . 在 Rt△DB1E 中,B1E= ( 2 2 )2-( 3 3 )2= 6 6 . 由面积相等得 6 6 × x2+( 2 2 )2= 2 2 x,得 x=1 2.即线段 B1F 的长为1 2. 答案:1 2 5.(2020·河南郑州第二次质量预测)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=π 3,△PAD 是等边三角形,F 为 AD 的中点,PD⊥BF. (1)求证:AD⊥PB; (2)若 E 在线段 BC 上,且 EC=1 4BC,能否在棱 PC 上找到一点 G,使平面 DEG⊥平面 ABCD?若存在,求出三棱锥 D-CEG 的体积;若不存在,请说明理由. 解:(1)证明:连接 PF,因为△PAD 是等边三角形,F 是 AD 的中点,所以 PF⊥AD. 因为底面 ABCD 是菱形,∠BAD=π 3,所以 BF⊥AD. 又 PF∩BF=F,所以 AD⊥平面 BFP,又 PB平面 BFP, 所以 AD⊥PB. (2)能在棱 PC 上找到一点 G,使平面 DEG⊥平面 ABCD. 由(1)知 AD⊥BF,因为 PD⊥BF,AD∩PD=D,所以 BF⊥平面 PAD. 又 BF平面 ABCD,所以平面 ABCD⊥平面 PAD, 又平面 ABCD∩平面 PAD=AD,且 PF⊥AD,所以 PF⊥平面 ABCD. 连接 CF 交 DE 于点 H,过 H 作 HG∥PF 交 PC 于点 G,所以 GH⊥平面 ABCD. 又 GH平面 DEG,所以平面 DEG⊥平面 ABCD. 因为 AD∥BC,所以△DFH∽△ECH,所以CH HF=CE DF=1 2, 所以CG GP=CH HF=1 2, 所以 GH=1 3PF= 3 3 , 所以 VD-CEG=VG-CDE=1 3S△CDE·GH=1 3×1 2DC·CE·sin π 3·GH= 1 12. 6.如图(1),在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D 为 AC 的中点,AE⊥BD 于点 E(不同于 点 D),延长 AE 交 BC 于点 F,将△ABD 沿 BD 折起,得到三棱锥 A 1­BCD,如图(2)所 示. (1)若 M 是 FC 的中点,求证:直线 DM∥平面 A1EF; (2)求证:BD⊥A1F; (3)若平面 A1BD⊥平面 BCD,试判断直线 A1B 与直线 CD 能否垂直?并说明理由. 解:(1)证明:因为 D,M 分别为 AC,FC 的中点, 所以 DM∥EF, 又 EF平面 A1EF,DM ⊆/ 平面 A1EF, 所以 DM∥平面 A1EF. (2)证明:因为 A1E⊥BD,EF⊥BD 且 A1E∩EF=E, 所以 BD⊥平面 A1EF. 又 A1F平面 A1EF, 所以 BD⊥A1F. (3)直线 A1B 与直线 CD 不能垂直.理由如下: 因为平面 A1BD⊥平面 BCD,平面 A1BD∩平面 BCD=BD,EF⊥BD,EF⊂平面 BCD, 所以 EF⊥平面 A1BD. 因为 A1B平面 A1BD, 所以 A1B⊥EF, 又因为 EF∥DM,所以 A1B⊥DM. 假设 A1B⊥CD, 因为 CD∩DM=D, 所以 A1B⊥平面 BCD, 所以 A1B⊥BD, 这与∠A1BD 为锐角矛盾, 所以直线 A1B 与直线 CD 不能垂直.
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