【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第八章　第4讲　直线、平面垂直的判定与性质作业

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第八章　第4讲　直线、平面垂直的判定与性质作业

[基础题组练] 1．(2020·辽宁大连模拟)已知直线 l 和平面 α，β，且 lα，则“l⊥β”是“α⊥β”的 (　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A.由面面垂直的判定定理可得，若 lα，l⊥β，则 α⊥β，充分性成立；若 l α，α⊥β，则 l 与 β 平行或相交或垂直，必要性不成立．所以若 l α，则“l⊥β”是 “α⊥β”的充分不必要条件，故选 A. 2．(2020·河北唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线 AB 与平面 CDE 垂直的是(　　) A．①② B．②④ C．①③ D．②③ 解析：选 B.对于①，易证 AB 与 CE 所成角为 45°，则直线 AB 与平面 CDE 不垂直； 对于②，易证 AB⊥CE，AB⊥ED，且 CE∩ED＝E，则 AB⊥平面 CDE；对于③，易证 AB 与 CE 所成角为 60°，则直线 AB 与平面 CDE 不垂直；对于④，易证 ED⊥平面 ABC，则 ED⊥AB，同理 EC⊥AB，可得 AB⊥平面 CDE.故选 B. 3.(2020·黑龙江鹤岗模拟)如图，在三棱锥 V－ABC 中，VO⊥平面 ABC，O∈CD，VA＝ VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是(　　) A．AC＝BC B．AB⊥VC C．VC⊥VD D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO 解析：选 C.因为 VO⊥平面 ABC，AB平面 ABC，所以 VO⊥AB.因为 VA＝VB，AD＝ BD，所以 VD⊥AB.又因为 VO∩VD＝V，所以 AB⊥平面 VCD.又因为 CD平面 VCD，所以 AB⊥CD.又因为 AD＝BD，所以 AC＝BC，故 A 正确． 又因为 VC平面 VCD，所以 AB⊥VC，故 B 正确； 因为 S△VCD＝1 2VO·CD，S△ABC＝1 2AB·CD，所以 S△VCD·AB＝S△ABC·VO，故 D 正确．由 题中条件无法判断 VC⊥VD.故选 C. 4.如图，在斜三棱柱 ABC­A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在底面 ABC 上的 射影 H 必在(　　) A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．△ABC 内部 解析：选 A.由 AC⊥AB，AC⊥BC1，得 AC⊥平面 ABC1. 因为 AC平面 ABC， 所以平面 ABC1⊥平面 ABC. 所以 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上． 5.如图，在正四面体 P­ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论 不成立的是(　　) A．BC∥平面 PDF B．DF⊥平面 PAE C．平面 PDF⊥平面 PAE D．平面 PDE⊥平面 ABC 解析：选 D.因为 BC∥DF，DF平面 PDF， BC ⊆/ 平面 PDF， 所以 BC∥平面 PDF，故选项 A 正确； 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E， 且 AE，PE平面 PAE， 所以 BC⊥平面 PAE， 因为 DF∥BC，所以 DF⊥平面 PAE， 又 DF平面 PDF， 从而平面 PDF⊥平面 PAE. 因此选项 B，C 均正确． 6.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面 ABC，PC＝ 4，M 是边 AB 上的一个动点，则 PM 的最小值为________． 解析：作 CH⊥AB 于 H，连接 PH.因为 PC⊥平面 ABC，所以 PH⊥AB，PH 为 PM 的最 小值，等于 2 7. 答案：2 7 7.如图所示，在四棱锥 P­ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是边 PC 上的一动点，当点 M 满足________时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确 的条件即可) 解析： 连接 AC，BD，则 AC⊥BD，因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥BD.又 PA∩AC＝A，所 以 BD⊥平面 PAC，所以 BD⊥PC.所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时，即有 PC⊥平面 MBD. 而 PC平面 PCD，所以平面 MBD⊥平面 PCD. 答案：DM⊥PC(或 BM⊥PC) 8.如图，PA⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE⊥PC，AF⊥PB， 给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC，其中正确结论的序 号是________． 解析：①AE平面 PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PC，AE⊥ BC，PB平面 PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF平面 AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若 AF⊥ BC⇒AF⊥平面 PBC，则 AF∥AE 与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确． 答案：①②④ 9.如图，在多面体 ABCDPE 中，四边形 ABCD 和 CDPE 都是直角梯形，AB∥DC，PE∥ DC，AD⊥DC，PD⊥平面 ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F 是 CE 的中点． (1)求证：BF∥平面 ADP； (2)已知 O 是 BD 的中点，求证：BD⊥平面 AOF. 证明： (1)如图，取 PD 的中点为 G，连接 FG，AG， 因为 F 是 CE 的中点，所以 FG 是梯形 CDPE 的中位线， 因为 CD＝3PE，所以 FG＝2PE， FG∥CD，因为 CD∥AB，AB＝2PE， 所以 AB∥FG，AB＝FG， 即四边形 ABFG 是平行四边形， 所以 BF∥AG， 又 BF ⊆/ 平面 ADP，AG平面 ADP， 所以 BF∥平面 ADP. (2)延长 AO 交 CD 于点 M，连接 BM，FM， 因为 BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O 为 BD 的中点， 所以 ABMD 是正方形，则 BD⊥AM，MD＝2PE. 所以 FM∥PD，因为 PD⊥平面 ABCD， 所以 FM⊥平面 ABCD，所以 FM⊥BD， 因为 AM∩FM＝M，所以 BD⊥平面 AMF， 所以 BD⊥平面 AOF. 10．(一题多解)如图 1，在等腰梯形 PDCB 中，PB∥DC，PB＝3，DC＝1，∠DPB＝45 °，DA⊥PB 于点 A，将△PAD 沿 AD 折起，构成如图 2 所示的四棱锥 P­ABCD，点 M 在棱 PB 上，且 PM＝1 2MB. (1)求证：PD∥平面 MAC； (2)若平面 PAD⊥平面 ABCD，求点 A 到平面 PBC 的距离． 解：(1)证明：在四棱锥 P­ABCD 中，连接 BD 交 AC 于点 N，连接 MN， 依题意知 AB∥CD， 所以△ABN∽△CDN， 所以BN ND＝BA CD＝2， 因为 PM＝1 2MB， 所以BN ND＝BM MP＝2， 所以在△BPD 中，MN∥PD， 又 PD ⊆/ 平面 MAC，MN平面 MAC. 所以 PD∥平面 MAC. (2)法一：因为平面 PAD⊥平面 ABCD，且两平面相交于 AD，PA⊥AD，PA平面 PAD， 所以 PA⊥平面 ABCD， 所以 VP­ABC＝1 3S△ABC·PA＝1 3×(1 2 × 2 × 1)×1＝1 3. 因为 AB＝2，AC＝ AD2＋CD2＝ 2， 所以 PB＝ PA2＋AB2＝ 5，PC＝ PA2＋AC2＝ 3，BC＝ AD2＋（AB－CD）2＝ 2， 所以 PB2＝PC2＋BC2，故∠PCB＝90°， 记点 A 到平面 PBC 的距离为 h， 所以 VA­PBC＝1 3S△PBC·h＝1 3×(1 2 × 3 × 2)h ＝ 6 6 h. 因为 VP­ABC＝VA­PBC， 所以1 3＝ 6 6 h，解得 h＝ 6 3 . 故点 A 到平面 PBC 的距离为 6 3 . 法二： 因为平面 PAD⊥平面 ABCD，且两平面相交于 AD，PA⊥AD，PA平面 PAD， 所以 PA⊥平面 ABCD， 因为 BC平面 ABCD， 所以 PA⊥BC， 因为 AB＝2，AC＝ AD2＋CD2＝ 2， BC＝ AD2＋（AB－CD）2＝ 2， 所以∠ACB＝90°，即 BC⊥AC， 又 PA∩AC＝A，PA，AC平面 PAC， 所以 BC⊥平面 PAC， 过点 A 作 AE⊥PC 于点 E，则 BC⊥AE， 因为 PC∩BC＝C，PC，BC平面 PBC， 所以 AE⊥平面 PBC， 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 AE＝PA·AC PC ＝1 × 2 3 ＝ 6 3 . [综合题组练] 1.如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，已知△A′DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是(　　) ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上； ②BC∥平面 A′DE； ③三棱锥 A′­FED 的体积有最大值． A．①　　　　　　　　　 B．①② C．①②③ D．②③ 解析：选 C.①中由已知可得平面 A′FG⊥平面 ABC， 所以点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上． ②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得 BC∥平面 A′DE. ③当平面 A′DE⊥平面 ABC 时，三棱锥 A′­FED 的体积达到最大，故选 C. 2.如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F 分 别是 AB，CD 的中点，将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折，给出下列四个结论： ①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面 BDF⊥平面 BCF；④平面 DCF⊥平面 BCF，则上述结论可 能正确的是(　　) A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 解析：选 B.对于①，因为 BC∥AD，AD 与 DF 相交但不垂直， 所以 BC 与 DF 不垂直，则①不成立；对于②，设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P，当 BP⊥CF 时就有 BD⊥FC，而 AD∶BC∶AB＝2∶ 3∶4 可使条件满足，所以②正确；对于③，当点 D 在平面 BCF 上 的射影 P 落在 BF 上时，DP平面 BDF，从而平面 BDF⊥平面 BCF，所以③正确；对于 ④，因为点 D 在平面 BCF 上的射影不可能在 FC 上，所以④不成立． 3．在矩形 ABCD 中，AB＜BC，现将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折， 在翻折的过程中，给出下列结论： ①存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直． 其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 解析：①假设 AC 与 BD 垂直，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E，连接 CE.则Error!⇒BD⊥平 面 AEC⇒BD⊥CE，而在平面 BCD 中，EC 与 BD 不垂直，故假设不成立，①错． ②假设 AB⊥CD，因为 AB⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD，所以 AB⊥AC，由 AB＜BC 可 知，存在这样的等腰直角三角形，使 AB⊥CD，故假设成立，②正确． ③假设 AD⊥BC， 因为 DC⊥BC，所以 BC⊥平面 ADC， 所以 BC⊥AC，即△ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，而 AB＜BC，故矛盾，假设不 成立，③错．综上，填②. 答案：② 4．如图，直三棱柱 ABC­A1B1C1 中，侧棱长为 2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90 °，D 是 A1B1 的中点，F 是 BB1 上的动点，AB1，DF 交于点 E.要使 AB1⊥平 面 C1DF，则线段 B1F 的长为________． 解析：设 B1F＝x，因为 AB1⊥平面 C1DF，DF平面 C1DF，所以 AB1⊥DF. 由已知可以得 A1B1＝ 2， 设 Rt△AA1B1 斜边 AB1 上的高为 h，则 DE＝1 2h， 又 2× 2＝h× 22＋（ 2）2， 所以 h＝2 3 3 ，DE＝ 3 3 . 在 Rt△DB1E 中，B1E＝ （ 2 2 ）2－（ 3 3 ）2＝ 6 6 . 由面积相等得 6 6 × x2＋（ 2 2 ）2＝ 2 2 x，得 x＝1 2.即线段 B1F 的长为1 2. 答案：1 2 5．(2020·河南郑州第二次质量预测)如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD＝π 3，△PAD 是等边三角形，F 为 AD 的中点，PD⊥BF. (1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 在线段 BC 上，且 EC＝1 4BC，能否在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG⊥平面 ABCD？若存在，求出三棱锥 D－CEG 的体积；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：连接 PF，因为△PAD 是等边三角形，F 是 AD 的中点，所以 PF⊥AD. 因为底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝π 3，所以 BF⊥AD. 又 PF∩BF＝F，所以 AD⊥平面 BFP，又 PB平面 BFP， 所以 AD⊥PB. (2)能在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG⊥平面 ABCD. 由(1)知 AD⊥BF，因为 PD⊥BF，AD∩PD＝D，所以 BF⊥平面 PAD. 又 BF平面 ABCD，所以平面 ABCD⊥平面 PAD， 又平面 ABCD∩平面 PAD＝AD，且 PF⊥AD，所以 PF⊥平面 ABCD. 连接 CF 交 DE 于点 H，过 H 作 HG∥PF 交 PC 于点 G，所以 GH⊥平面 ABCD. 又 GH平面 DEG，所以平面 DEG⊥平面 ABCD. 因为 AD∥BC，所以△DFH∽△ECH，所以CH HF＝CE DF＝1 2， 所以CG GP＝CH HF＝1 2， 所以 GH＝1 3PF＝ 3 3 ， 所以 VD－CEG＝VG－CDE＝1 3S△CDE·GH＝1 3×1 2DC·CE·sin π 3·GH＝ 1 12. 6．如图(1)，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，D 为 AC 的中点，AE⊥BD 于点 E(不同于 点 D)，延长 AE 交 BC 于点 F，将△ABD 沿 BD 折起，得到三棱锥 A 1­BCD，如图(2)所 示． (1)若 M 是 FC 的中点，求证：直线 DM∥平面 A1EF； (2)求证：BD⊥A1F； (3)若平面 A1BD⊥平面 BCD，试判断直线 A1B 与直线 CD 能否垂直？并说明理由． 解：(1)证明：因为 D，M 分别为 AC，FC 的中点， 所以 DM∥EF， 又 EF平面 A1EF，DM ⊆/ 平面 A1EF， 所以 DM∥平面 A1EF. (2)证明：因为 A1E⊥BD，EF⊥BD 且 A1E∩EF＝E， 所以 BD⊥平面 A1EF. 又 A1F平面 A1EF， 所以 BD⊥A1F. (3)直线 A1B 与直线 CD 不能垂直．理由如下： 因为平面 A1BD⊥平面 BCD，平面 A1BD∩平面 BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面 BCD， 所以 EF⊥平面 A1BD. 因为 A1B平面 A1BD， 所以 A1B⊥EF， 又因为 EF∥DM，所以 A1B⊥DM. 假设 A1B⊥CD， 因为 CD∩DM＝D， 所以 A1B⊥平面 BCD， 所以 A1B⊥BD， 这与∠A1BD 为锐角矛盾， 所以直线 A1B 与直线 CD 不能垂直．