【数学】2019届一轮复习北师大版统计与概率、随机变量及其分布列学案

【数学】2019届一轮复习北师大版统计与概率、随机变量及其分布列学案

课时达标　讲座(六)‎ ‎[解密考纲]概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、数据分析能力．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立和随机变量的分布是概率计算的核心．统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征．统计与概率内容相互渗透，背景新颖．‎ ‎1．(2018·海南模拟)已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人．‎ ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)若成绩在[40,50)内的人数是成绩在[50,60)内的人数的，规定60分以下为不及格，从不及格的人中任意选取3人，求成绩在50分以下的人数X的分布列和数学期望．‎ 解析 (1)依题意得 ⇒b＝0.01，‎ 因为成绩在[90,100]内的有6人，所以n＝＝60.‎ ‎(2)由⇒ 于是成绩在[40,50)及[50,60)内的人数分别为3和9，即不及格的人数为12，从中任选3人，则成绩在50分以下的人数X的所有可能取值为0,1,2,3，‎ 且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ 所以X的分布列如下 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎2．(2018·广东五校联考)下图是某市‎11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，‎ 某人随机选择‎11月1日至‎11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．‎ ‎(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；‎ ‎(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．‎ 解析 设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝1,2，…，12)．‎ 依题意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．‎ ‎(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，‎ 所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝，‎ 即此人到达当日空气重度污染的概率为.‎ ‎(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，‎ P(ξ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)‎ ‎＝1－－－＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎3．(2018·河南焦作模拟)某单位共10名员工，他们某年的收入如下表.‎ 员工编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年薪/万元 ‎3‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎50‎ ‎(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；‎ ‎(2)从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；‎ ‎(3)已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元，4.2万元，5.6万元，7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少？‎ 附：线性回归方程＝x＋中系数计算公式 ＝，＝－，其中，表示样本均值．‎ 解析 (1)平均值为10万元，中位数为6万元．‎ ‎(2)年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人，ξ取值为0,1,2.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎(3)设xi，yi(i＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，‎ 则＝2.5，＝5，(xi－)2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，‎ (xi－)(yi－)＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7，‎ ＝＝＝1.4，‎ ＝－＝5－1.4×2.5＝1.5，‎ 因此线性回归方程为y＝1.4x＋1.5，‎ 可预测该员工第5年的年薪收入为8.5万元．‎ ‎4．(2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.‎ ‎(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ 解析 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)‎ ‎＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 所以这2辆车共遇到了1个红灯的概率为.‎ ‎5．(2018·河南洛阳统考)某教师为了了解本校高三学生一模考试的数学成绩情况，将所教两个班级的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图．‎ ‎(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；‎ ‎(2)若规定成绩大于或等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；‎ ‎(3)在(2)的条件下，若用甲班学生数学成绩的频率估计概率，从该校高三年级中随机抽取3人，记这3人中数学成绩优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 解析 (1)由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，数量最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5，众数是103；‎ 乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,‎ ‎107，数量最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为92或101.‎ ‎(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为＝；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为＝.‎ ‎(3)用甲班学生数学成绩的频率估计概率，则高三学生数学成绩的优秀率P＝，则X的所有可能取值为0,1,2,3，‎ 且X～B，‎ P(X＝0)＝C3＝；‎ P(X＝1)＝C××2＝；‎ P(X＝2)＝C×2×＝；‎ P(X＝3)＝C×3＝；‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝或E(X)＝3×＝.‎ ‎6．(2018·河北保定模拟)某市拟实行机动车尾号限行交替措施，为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并将调查结果制成下表.‎ 年龄/岁 ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ ‎[65,75)‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎(1)若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行跟踪调查，选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数记为X，求X的分布列和期望；‎ ‎(2)把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联.‎ 态度 ‎ 年龄 赞成 不赞成 总计 中青年 中老年 总计 参考公式和数据χ2＝ χ2‎ ‎≤2.706‎ ‎>2.706‎ ‎>3.841‎ ‎>6.635‎ A，B关联性 无关联 ‎90%‎ ‎95%‎ ‎99%‎ 解析 (1)X的取值为0,1,2,3，则 P(X＝0)＝·＝＝，‎ P(X＝1)＝·＋·＝＝，‎ P(X＝2)＝·＋·＝＝，‎ P(X＝3)＝·＝＝，‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.‎ ‎(2)2×2列联表如图所示.‎ 态度 年龄 赞成 不赞成 总计 中青年 ‎19‎ ‎11‎ ‎30‎ 中老年 ‎13‎ ‎7‎ ‎20‎ 总计 ‎32‎ ‎18‎ ‎50‎ χ2＝≤2.706，‎ 说明民众对“车辆限行”的态度与年龄没有关联．‎