【数学】2019届一轮复习北师大版排列、组合与二项式定理学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版排列、组合与二项式定理学案

‎ 排列、组合与二项式定理 知识精讲·‎ ‎·‎ 一.排列与组合 ‎1.排列 排列数公式:,,并且.‎ ‎2.组合 组合数公式:,,并且.‎ 组合数的两个性质:‎ ‎ ①;‎ ‎ ②.(规定)‎ 二.排列组合常用方法 ‎1.特殊元素、特殊位置优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置.‎ ‎2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.‎ ‎3.排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.‎ ‎4.捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.‎ ‎5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空.‎ ‎6.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成堆(组),必须除以!,如果有堆(组)元素个数相等,必须除以 ‎!.‎ ‎7.错位法:编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.‎ 三.二项式定理 ‎.‎ 这个公式所表示的定理叫作二项式定理,等号右边的多项式叫做的二项式展开式,其中系数叫作二项式系数.‎ ‎1.二项式展开式的通项:‎ 二项式展开式的通项:第项,‎ ‎2.二项式系数的性质: ‎ ‎ (1)对称性:.‎ ‎ (2)增减性与最大值:‎ ‎①二项式系数,当时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的;‎ ‎②当是偶数时,中间一项取得最大值;当是奇数时,中间两项取得最大值.‎ ‎ (3)各二项式系数和:.‎ ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 考试内容 要求层次 排列与组合 排列、组合的概念 理解 排列数公式,组合数公式 掌握 用排列与组合解决一些简单的实际问题 掌握 二项式定理 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 理解 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一:加法原理 例1.1.1 如果某年年份的各位数字之和为7,我们称该年为“七巧年”.例如,今年年份2014的各位数字之和为7,所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有( )‎ A. 24个 B. 21个 C. 19个 D. 18个 ‎【答案】B ‎【解析】 依题意,‎ 记从2000年到2999年中的“七巧年”中的百、十、个位上的数字依次为,,,‎ ‎,的自然数解共有21组,因此从2000年到2999年中”七巧年“共有21个,故选B.‎ 例1.1.2 设集合I={1,2,3,4,5,6},集合A,B是I的子集,若A中含有3个元素,B中至少含有2个元素,且B中所有数均不小于A中最大的数,则满足条件的集合A,B有____组.‎ ‎【答案】 29‎ ‎【解析】 ‎ 当集合A={1,2,3}时,集合B若两个元素有6种,如3个元素有4种,若4个元素有1种,‎ 当集合A={1,2,4}时,集合B若两个元素有3种,如3个元素有1种 当集合A={1,3,4}时,集合B若两个元素有3种,如3个元素有1种 当集合A={2,3,4}时,集合B若两个元素有3种,如3个元素有1种 当集合A={1,2,5}时,集合B若两个元素有1种,‎ 当集合A={1,3,5}时,集合B若两个元素有1种,‎ 当集合A={1,4,5}时,集合B若两个元素有1种,‎ 当集合A={2,3,5}时,集合B若两个元素有1种,‎ 当集合A={2,4,5}时,集合B若两个元素有1种,‎ 当集合A={3,4,5}时,集合B若两个元素有1种,合计29组,‎ 故答案为 29.‎ 题模二:乘法原理 例1.2.1 某人有3个电子邮箱,他要发5封不同的电子邮件,则不同的发送方法有( )‎ A. 8种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】C ‎【解析】 ∵每个邮件选择发的方式有3种不同的情况,‎ ‎∴要发5个电子邮件,发送的方法的种数有3×3×3×3×3=35种.‎ 例1.2.2 有三对师徒共6个人,站成一排照相,每对师徒相邻的站法共有(  )‎ A. 72‎ B. 54‎ C. 48‎ D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】 用分步原理:‎ 第一步:把每一对师徒看成一整体,共有3×2=6种方法;‎ 第二步:每对师徒都有两种站法共有2×2×2=8种;‎ ‎∴总的方法为6×8=48种.‎ 题模三:加法原理和乘法原理综合 例1.3.1 如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”,在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”‎ 的个数是(  )‎ A. 60‎ B. 48‎ C. 36‎ D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 由题意知本题是一个分类计数问题,‎ 一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线组成6个,‎ 一共有6个面,共有6×6=36种结果,‎ 长方体的对角面组成两组,共有6个对角面,共有12种结果,‎ 根据分类计数原理知共有36+12=48种结果,‎ 故选B.‎ 例1.3.2 用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色.若 要求每个小方格涂一种颜色,且涂成红色的方格数为偶数,则不同的涂色方案种数是 ‎________.(用数字作答)‎ ‎【答案】 14‎ ‎【解析】 有0个红色时,有 种,有2个红色时,有 种.‎ 题模四:运算公式 例1.4.1 若,则的值为 .‎ ‎【答案】 8或6‎ ‎【解析】 由组合的性质可知,另外,,所以.故8或6.‎ 例1.4.2 ‎ A. 6‎ B. 12‎ C. 18‎ D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】 .‎ 题模五:二项式定理 例1.5.1 在的展开式中,的系数为( )‎ A. ‎ B. ‎ C. 6‎ D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】 (x+2)4的展开式的通项公式为Tr+1=C4r•24-r•xr,‎ 令r=2,故展开式中x2的系数为C42•22=24.‎ 例1.5.2 的展开式中,的系数为.‎ ‎【答案】 30‎ ‎【解析】 解法一:(x2+x+y)5可看作5个(x2+x+y)相乘,‎ 从中选2个y,有种选法;‎ 再从剩余的三个括号里边选出2个x2,最后一个括号选出x,有种选法;‎ ‎∴x5y2的系数为•=30;‎ 解法二:∵(x2+x+y)5=[(x2+x)+y 5,‎ 其展开式的通项公式为 Tr+1=•(x2+x)5-r•yr,‎ 令r=2,得(x2+x)3的通项公式为 ‎•(x2)3-m•xm=•x6-m,‎ 再令6-m=5,得m=1,‎ ‎∴(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 ‎•=30.‎ 题模六:二项式定理的应用 例1.6.1 设,则.‎ ‎【答案】 27‎ ‎【解析】 令x=1,a0+a1+a2+a3=33=27.‎ 例1.6.2 已知,则( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ∵(x+1)15==a0+a1x+a2x2+…+a15x15,‎ 令x=1,则=215,‎ 又,,…,‎ ‎∴=214.‎ ‎∴a0+a1+a2+…+a7=214.‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1 从中任选两个不同的数字组成一个两位数,其中偶数的个数是(  )‎ A. 6‎ B. 8‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意,末尾是0,2,4‎ 末尾是0时,有4个;末尾是2时,有3个;末尾是4时,有3个,所以共有4+3+3=10个 随练1.2 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,则不同的分法的总数是_____.(用数字作答)‎ ‎【解析】 由题意知本题是一个分步计数问题,‎ ‎4位同学分到三个不同的班级,每个班级至少有一位同学,先选两个人作为一个整体,问题变为三个元素在三个位置全排列,‎ 共有C42A33=36种结果.‎ 随练1.3 暑假期间有6名男生和4名女生到某社区参加社会实践活动,现在要选出5名同学参加清理社区小广告的活动:‎ ‎(1)选出5人中,恰好有3名女生的选法数有多少种?‎ ‎(2)选出5人中,女生至多有二人被选中的选法有多少种?‎ ‎【答案】 (1)60(2)186‎ ‎【解析】 (1)选出5人中,恰好有3名女生表示有3女2男,‎ 共有种结果.‎ ‎(2)选出5人中,女生至多有二人被选中包括三种情况,‎ 即有1个女生,有0个女生,有2个女生,‎ 共有种;‎ 女生至多有二人被选中的选法有186种.‎ 随练1.4 根据计数原理,排列数有如下性质:,据此类比,组合数具有的相应性质是:_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 随练1.5 在的展开式中,常数项为( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】 在的展开式中,由通项公式Tr+1=•2r•x6-2r,‎ 令6-2r=0,求得r=3,可得展开式的常数项为•23=160.‎ 随练1.6 若,且,则的值为.‎ ‎【答案】 30‎ ‎【解析】 在(1-mx)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,中,令x=0,可得a0=1,‎ ‎∵令x=1,可得a0+a1+a2 +…+a5=(1-m)5.‎ ‎∵a5=•m5=-32,∴m=2,则1+a1+a2+a3+a4-32=(1-m)5=(-1)5=-1,‎ ‎∴a1+a2+a3+a4 =32-2=30.‎ ‎·自我总结·‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1 小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有( )‎ A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 9种 ‎【答案】B ‎【解析】 利用列举法求解.硬币朝上的情况有:都是正面;反面、正面、正面、正面;反面、反面、正面、正面;反面、反面、反面、正面;都是反面,共5种,故选B.‎ 作业2 数字可以组成( )个无重复数字的五位数.‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 用0、1、2、3、4组成一个无重复数字的五位数共有4×4×3×2×1=96种不同情况.‎ 作业3 用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有____个.(用数字作答)‎ ‎【答案】 14‎ ‎【解析】 由题意知本题是一个分类计数问题,‎ 首先确定数字中2和3 的个数,‎ 当数字中有1个2,3个3时,共有C41=4种结果,‎ 当数字中有2个2,2个3时,共有C42=6种结果,‎ 当数字中有3个2,1个3时,共有C41=4种结果,‎ 根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果,‎ 故答案为:14‎ 作业4 在的展开式中常数项是;中间项是.‎ ‎【答案】 60;-160x3‎ ‎【解析】 的展开式的通项=(-1)r26-rC6rx12-3r 令12-3r=0得r=4‎ ‎∴展开式的常数项为T5=4C64=60‎ 令r=3得展开式的中间项为T4=-8C63x3=-160x3.‎ 作业5 若,其中,则实数的值为__________;的值为__________.‎ ‎【答案】 ;‎ ‎【解析】 由题意的展开式的通项为,令得,因为,所以,解得.在展开式中令得,即,故答案为:;‎
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