【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第4章经典微课堂规范答题系列1：高考中的解三角形问题学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第4章经典微课堂规范答题系列1：高考中的解三角形问题学案

‎[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，解答题第17题交替考查解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是考查解三角形；二是解三角形与三角恒等变换的交汇问题；三是平面几何图形中的度量问题；四是三角形中的最值(范围)问题．‎ ‎[典例示范]　(本题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.‎ ‎(1)求cos∠ADB①；‎ ‎(2)若DC＝2，求BC②.‎ ‎[信息提取]　看到①想到△ADB；想到△ADB中已知哪些量；想到如何应用正、余弦定理解三角形．‎ 看到②想到△DBC；想到用余弦定理求BC.‎ ‎[规范解答]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.‎ 由题设知，＝， 2分 所以sin∠ADB＝. 3分 由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝.6分 ‎(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝. 8分 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC ‎＝25＋8－2×5×2× ‎＝25. 11分 所以BC＝5. 12分 ‎[易错防范]　‎ 易错点 防范措施 想不到先求sin∠ADB，再计算cos∠ADB.‎ 同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1常作为隐含条件，必须熟记于心 求不出cos∠BDC.‎ 互余的两个角α，β满足sin α＝cos β ‎[通性通法]　求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边或角；二是注意大边对大角在解三角形中的应用．‎ ‎[规范特训]　(2019·皖南八校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＋2b＝2ccos A.‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)已知△ABC的面积为，b＝4，求边c的长．‎ ‎[解]　(1)∵a＋2b＝2ccos A，‎ ‎∴由正弦定理得sin A＋2sin B＝2sin Ccos A，‎ 则sin A＋2sin(A＋C)＝2sin Ccos A，‎ 化简得sin A＋2sin Acos C＝0.‎ 由0＜A＜π，得sin A＞0，则cos C＝－.‎ 由0＜C＜π，得C＝.‎ ‎(2)△ABC的面积为absin C＝.‎ 又b＝4，sin C＝，∴a＝1.‎ ‎∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋16－2×1×4×＝21，‎ ‎∴c＝.‎