【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第二章 第3讲 二次函数与幂函数学案
第3讲 二次函数与幂函数
一、知识梳理
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx
＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx
＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上是减少的；
在上是增加的
在上是增加的；
在上是减少的
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性
图象关于直线x＝－成轴对称图形
常用结论
1．巧识幂函数的图象和性质
2．记牢一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
二、教材衍化
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1
C. D．2
解析：选C.因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点，所以＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.故选C.
2．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值为 ．
解析：函数y＝2x2－6x＋3＝2－的图像的对称轴为直线x＝>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上是减少的，所以ymin＝2－6＋3＝－1.
答案：－1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
二、易错纠偏
(1)幂函数定义不清晰，导致出错；
(2)二次函数的性质理解不到位出错；
(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错．
1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为 ；在区间 上递减．
解析：设y＝f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝x－，
由性质可知函数y＝x－在(0，＋∞)上递减．
答案：y＝x－ (0，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为 ．
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是 ．
解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a>.
答案：
幂函数的图象及性质(典例迁移)
(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
(2)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的所有可能取值为 ．
【解析】 (1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝，
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0
b>c，故选C.
3．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是 ．
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以解得－1≤a<.
答案：
求二次函数的解析式(师生共研)
(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解】 法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得
解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝＝.所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三(利用零点式)：
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：选A.因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－＝1 ①
.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6 ②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A.
2．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝ ．
解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.
又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.
答案：x2＋2x
二次函数的图象与性质(多维探究)
角度一 二次函数图象的识别问题
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5.
②当－a≥即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，
综上，f(x)max＝
二次函数的单调性及最值问题
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
角度三 一元二次不等式恒成立问题
(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是 ．
(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为 ．
【解析】 (1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
则有
即解得－k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上是减少的．
所以g(x)min＝g(－1)＝1.
所以k<1.故k的取值范围为(－∞，1)．
【答案】 (1) (2)(－∞，1)
不等式恒成立求参数取值范围的思路
一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．
1．函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( )
A．a＝0 B．a<0
C．0f(2)>f(0)．故选A.
3．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为 ．
解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴x＝1，
因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3，
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝－3，
当a<10时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
[基础题组练]
1．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．cf(b)，则( )
A．a2>b2 B．a2b
解析：选A.函数f(x)＝x＝(x2)，令t＝x2，易知y＝t，在第一象限为增函数．
又f(a)>f(b)，所以a2>b2.故选A.
3．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)( )
A．在(－∞，2)上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的
B．在(－∞，3)上是增加的
C．在[1，3]上是增加的
D．单调性不能确定
解析：选A.由已知可得该函数图像的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2)上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的．
4．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．ab＝，因为y＝是减函数，所以a＝2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
所以所以
因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，
则g(x)在区间[－1，1]上是减少的，
所以g(x)min＝g(1)＝－m－1，
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
[综合题组练]
1．(2020·陕西西安一模)已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1f(x2)
C．f(x1)1)．
(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，
所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上是减少的，
即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝－2(舍去)．即实数a的值为2.
(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.
所以f(x)在[1，a]上是减少的，在[a，a＋1]上是增加的，
又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，所以f(x)min＝f(a)＝5－a2，f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}，
又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，
所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.
因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
所以f(x)max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.
