辽宁省沈阳铁路实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

辽宁省沈阳铁路实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 沈阳铁路实验中学2019-2020年度下学期期中考试试题 高一数学 一､选择题(每小题 5 分，在四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1.如果角的终边过点，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的定义直接求解即可.‎ ‎【详解】由题意得，它与原点的距离为2，∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎2.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对式子分子分母同时除以得，从而利用两角和的正切公式即可得到答案.‎ ‎【详解】，则.‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函数间的基本关系，其中利用三角函数的恒等变形把已知式子化为关于的式子是解本题的关键.‎ - 16 -‎ ‎3.已知，且，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，，即，则．因为，则，．因为，则，所以，选A．‎ 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角公式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属于中等难题.本题是考查正余弦和、差、积知一求二的常见题型，要求考生熟练掌握它们之间的互化，即，以正余弦的平方和等于为工具，以为桥梁实现三者的互化，解决此类题型还应注意根的取舍.‎ ‎4.下列函数中，周期为1的奇函数是　(　　)‎ A. y=1-2sin2πx B. y=sin C. y=tanx D. y=sinπxcosπx ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对，利用二倍角的余弦公式化简后判断；对直接判断奇偶性即可；对，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可.‎ ‎【详解】化简函数表达式y=1-2sin2πx=cos是偶函数，周期为1，不合题意；‎ y=sin的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意；‎ y=tanx是奇函数，周期为2，不合题意；‎ - 16 -‎ y=sinπxcosπx=sin2πx是奇函数，周期为1，合题意；故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由函数可求得函数的周期为；由函数可求得函数的周期为.‎ ‎5.要得到一个奇函数，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，平移后得为或即可，求此时满足条件的即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 若为奇函数，‎ 则,‎ 即,‎ 当时，，‎ 即只需将函数的图象向左平移个单位即可，‎ 故选：B - 16 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变形，三角函数图象的平移，奇函数，考查了推理运算能力，属于中档题.‎ ‎6.已知中，角A，B的对边分别为a，b，且，那么满足条件的 ( )‎ A. 有一个解 B. 有两个解 C. 不能确定 D. 无解 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解：中，，，，‎ 由正弦定理可得：，即：，得，‎ ‎，或，‎ 故有2个解．‎ 故选：．‎ ‎7.在中，，，为的重心，则的值为 A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用是的重心，得到，而，由此化简的表达式，并求得它的值.‎ ‎【详解】由的，而，由余弦定理得.由于是的重心，故，由于，所以.故选A.‎ - 16 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算与三角形的重心的性质，属于中档题.‎ ‎8.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何?”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步? ” 请问乙走的步数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设甲和乙相遇时间为，那么甲和乙走过的路程构成直角三角形，有 ，解得（舍）或 ，当时，乙走了 步，甲走了 步，故选C.‎ ‎9.对于锐角α，若sin＝，则cos＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. －‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由α为锐角，且sin＝，可得cos＝，那么cos＝cos＝coscos－sinsin＝，于是cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.故选D.‎ ‎10.的内角的对边分别为,且,，，则角=( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由正弦定理，，所以，‎ 又，则，‎ - 16 -‎ 所以，故选B．‎ ‎11.设函数，若方程恰好有三个根，分别为，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出y轴右边第一条对称轴x和第二条对称轴x，然后将后利用对称轴计算．‎ ‎【详解】解：因为 由得，‎ ‎∴‎ 由得，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦函数的图象及其性质的应用．属于中档题．‎ ‎12.关于函数有下述四个结论：‎ ‎①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增 ‎③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 16 -‎ ‎【分析】‎ 化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．‎ ‎【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．‎ ‎【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．‎ 二､填空题 ‎13.已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为_______‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用扇形的面积S，即可求得结论．‎ ‎【详解】∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，‎ ‎∴扇形的面积S1cm2，‎ 故答案为1‎ 点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎14.在边长为2的等边三角形中，，为线段中点，则_____.‎ - 16 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，，根据向量的线性加减法可求得用表示出和，再进行计算即可.‎ ‎【详解】由题可知，，为线段中点 则：,‎ ‎，且所以：‎ ‎=.‎ 故答案为:-2.‎ ‎【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，即向量的线性运算，利用数形结合和方程思想解题.‎ ‎15.已知函数，若当y取最大值时，；当y取最小值时，，且，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数配方，转化为二次函数最值问题，结合，，，可得最值，从而求解出 的值.‎ ‎【详解】由题得函数；‎ ‎，，，‎ ‎，，；‎ - 16 -‎ 当取最大值时，，即，‎ 可得；‎ 当取最小值时，，即，‎ 可得；‎ 那么.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，考查了二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎16.函数在区间上的值域为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，根据同角的三角函数关系式求出关于的表达式，最后利用二次函数的单调性求出函数的值域.‎ ‎【详解】令.‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎，‎ 当，所以有，‎ 所以函数值域为.‎ - 16 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的值域，考查了换元法，考查了二次函数的单调性，属于基础题.‎ 三､解答题 ‎17.已知函数 ‎（1）化简；‎ ‎（2）若，求，的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ，‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ ‎(1)利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简可得 ‎(2)利用同角三角函数基本关系结合题意可得 ，.‎ 试题解析：‎ ‎ (1) ‎ ‎ ‎ ‎ (2)由，平方可得，‎ 即. ， ‎ ‎，‎ 又，，，,‎ ‎ .‎ ‎18.已知向量求 - 16 -‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的最大值和最小值 ‎【答案】(1) ；(2)最小值；最大值-1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由向量数量积的坐标表示可得，．，结合，可求 ‎（2）因为，由，可得．结合二次函数的性质可求 ‎【详解】解：（1）．‎ 因为，所以．即．‎ ‎（2）因为 ‎，．‎ 当时，取得最小值 当，取得最大值．‎ 点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎19.已知向量与共线，其中是的内角.‎ ‎（1）求角大小；‎ - 16 -‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据平面向量共线的坐标表示可以将条件中的转化为与A的三角函数有关的方程：，利用三角恒等变形将其变形为，即可求得A的大小；‎ ‎（2）由余弦定理可以得到，再结合基本不等式，可得以及，即可求得△ABC面积的最大值．‎ ‎（1）由两向量共线知，‎ 即，可化为 故，，，解得． ‎ ‎（2）由， ‎ 又，可知，其中当时，等号成立 因为． ‎ 考点：1、平面向量共线的坐标表示；2、三角恒等变形；3、基本不等式求最值．‎ ‎20.如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，缆车每60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为h m．‎ ‎（1）求h与θ之间的函数解析式；‎ ‎（2）设从OA开始转动，经过t s达到OB，求h与t之间的函数解析式，并计算经过45 s后缆车距离地面的高度．‎ - 16 -‎ ‎【答案】（1）h=5.6–4.8cosθ；（2）5.6．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则以Ox为始边，OB为终边的角为θ–，‎ 故点B的坐标为（4.8cos（θ–），4.8sin（θ–）），‎ ‎∴h=5.6+4.8sin（θ–）=5.6–4.8cosθ．‎ ‎（2）点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，‎ ‎∴h=5.6–4.8cost，t∈[0，+∞）．‎ 当t=45 s时，h=5.6．‎ ‎21.已知三个内角，，的对边分别为，，，且满足.‎ ‎（1）求角的大小； ‎ ‎（2）若，，，求的长 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 16 -‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知可得：，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得：，问题得解.‎ ‎（2）利用可得：，两边平方并结合已知及平面向量数量积的定义即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以由正弦定理可得 , ‎ 即, ‎ 因为,所以，，‎ ‎,故. ‎ ‎（2）由已知得，‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎, ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用及两角和的正弦公式，还考查了利用平面向量的数量积解决长度问题，考查转化能力及计算能力，属于中档题．‎ ‎22.如图，是单位圆O上的点，C，D分别是圆O与x轴的两交点,为正三角形. ‎ - 16 -‎ ‎（1）若点坐标为，求的值；‎ ‎（2）若，四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）A点的坐标为，所以，‎ ‎（2）由题意知，‎ 因为，，， ‎ 故当时，.‎ ‎ ‎ - 16 -‎ - 16 -‎