山东省安丘市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

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山东省安丘市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学期中试题 第I卷(选择题)‎ 一、单选题:本题共8个小题,每题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知角的终边经过点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设两个单位向量,的夹角为,则|3+4|=(  )‎ A.1 B. C. D.7‎ ‎3.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若,则角A的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,则xy的取值范围是(  )‎ A.[,] B.[,] C.[,] D.[,]‎ ‎5.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ),ω>0,|φ|<,f(x)是奇函数,直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则(  )‎ A.f(x)在(,)上单调递减 ‎ B.f(x)在(0,)上单调递减 ‎ C.f(x)在(0,)上单调递增 ‎ D.f(x)在(,)上单调递增 ‎6.在△ABC中,,,E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足,则的值为( )‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎7.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,且B为锐角,若,,,则b=( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案及解析:‎ ‎8.已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是()‎ A. -6 B. -‎3 ‎C. -4 D. -2‎ 二、 多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求。全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分 ‎9.已知,如下四个结论正确的是( )‎ A.; B.四边形为平行四边形;‎ C.与夹角的余弦值为; D.‎ ‎10.下列各式中,值为的是( )‎ A. B. C.‎ D. E.‎ ‎11.已知的内角所对的边分别为,下列四个命题中正确的命题是( )‎ A.若,则一定是等边三角形 B.若,则一定是等腰三角形 C.若,则一定是等腰三角形 D.若,则一定是锐角三角形 ‎12.已知函数,则下面结论正确的是(  )‎ A.为偶函数 B.的最小正周期为 C.的最大值为2 D.在上单调递增 第II卷(非选择题)‎ 三、填空题:本大题共4小题,,每小题5分,共20分。‎ ‎13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为_____________.‎ ‎14.已知,则 . ‎ ‎15.已知函数,若对任意都有()成立,则的最小值为__________.‎ ‎16.设非零向量,的夹角为,记,若,均为单位向量,且,则向量与的夹角为__________.‎ 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设两个非零向量与不共线.‎ ‎(1)若,,求证:A、B、D三点共线;‎ (2) 试确定实数k,使与共线.‎ ‎18.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且 ‎(Ⅰ)求角A的大小;‎ ‎(Ⅱ)若角边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.‎ ‎19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为.‎ ‎(l)求角B的大小;‎ ‎(2)已知,且△ABC的外接圆的半径为,若,求的值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 设向量,,其中,,函数 的图象在轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为,在原点右侧与轴的第一个交点为.‎ ‎(Ⅰ)求函数的表达式;‎ ‎(Ⅱ)在中,角A,B,C的对边分别是,若,且,求边长.‎ ‎21.已知两个不共线的向量a,b满足,,.‎ ‎(1)若,求角θ的值;‎ ‎(2)若与垂直,求的值;‎ (2) 当时,存在两个不同的θ使得成立,求正数m的取值范围.‎ ‎22.已知,,,且,其中 (1) 若与的夹角为,求的值;‎ (2) 记,是否存在实数,使得对任意的恒成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,试说明理由.、‎ 高一数学期中试题 第I卷(选择题)‎ 一、单选题:本题共8个小题,每题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知角的终边经过点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案及解析:‎ 1. A ‎【详解】因为,,所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查已知角终边上一点,利用三角函数定义求三角函数值,属于基础题.‎ ‎2.设两个单位向量,的夹角为,则|3+4|=(  )‎ A.1 B. C. D.7‎ 答案及解析:‎ ‎2.B 解:两个单位向量的夹角为,‎ 则=9+24•+16=9×12+24×1×1×cos+16×12=13,‎ 所以=.‎ 故选:B.‎ ‎3.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若,则角A的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案及解析:‎ ‎3.C ‎【详解】由正弦定理得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 本题正确选项:C ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用,涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用,属于基础题.‎ ‎4.已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,则xy的取值范围是(  )‎ A.[,] B.[,] C.[,] D.[,]‎ 答案及解析:‎ ‎4.‎ D ‎【解答】解:D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,‎ 可得x+y=1,x,y∈[,],‎ 则xy≤=,当且仅当x=y=时取等号,‎ 并且xy=x(1﹣x)=x﹣x2,函数的开口向下,对称轴为:x=,当x=或x=时,取最小值,‎ xy的最小值为:.‎ 则xy的取值范围是:[,].‎ ‎5.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ),ω>0,|φ|<,f(x)是奇函数,直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则(  )‎ A.f(x)在(,)上单调递减 ‎ B.f(x)在(0,)上单调递减 ‎ C.f(x)在(0,)上单调递增 ‎ D.f(x)在(,)上单调递增 答案及解析:‎ ‎5.A ‎【解答】解:∵f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+),‎ ‎∵f(x)是奇函数,,‎ ‎∴φ+=0,得φ=﹣,‎ 则f(x)=sinωx,‎ 由sinωx=得sinωx=1,‎ ‎∵直线与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,‎ ‎∴T=,0即=,得ω=4,‎ 即f(x)=sin4x,‎ 由2kπ﹣≤4x≤2kπ+,k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+,当k=0时,函数的 递增区间为[﹣,],k=1时,递增区间为[,]‎ 由2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z得kπ+≤x≤kπ+,当k=0时,函数的递减区间为[,],当k=1时,函数的递减区间为[,],‎ ‎6.在△ABC中,,,E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足,则的值为( )‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎6.D ‎【详解】为中点 ‎ ‎ 和为等腰三角形 ‎,同理可得:‎ 本题正确选项:D ‎【点睛】本题考查向量数量积的求解问题,关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形,从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.‎ ‎7.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,且B为锐角,若,,‎ ‎,则b=( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案及解析:‎ ‎7.D ‎【详解】由于,有正弦定理可得: ,即 由于在中,,,所以,‎ 联立 ,解得:,‎ 由于为锐角,且,所以 所以在中,由余弦定理可得:,故(负数舍去)‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查正弦定理,余弦定理,以及面积公式在三角形求边长中的应用,属于中档题。‎ ‎8.已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是()‎ A. -6 B. -‎3 ‎C. -4 D. -2‎ 答案及解析:‎ ‎8.A ‎【详解】由题意,以中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,‎ 则,‎ 设,则,‎ 所以 ‎,‎ 所以当时,取得最小值为,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量数量积的应用问题,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ 二、 多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求。全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分 ‎9.已知,如下四个结论正确的是( )‎ A.; B.四边形为平行四边形;‎ C.与夹角的余弦值为; D.‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 由,‎ 所以,,, ,‎ 对于A,,故A错误;‎ 对于B,由,,则,‎ 即与平行且相等,故B正确; ‎ 对于C,,故C错误;‎ 对于D,,故D正确;‎ 故选:BD ‎10.下列各式中,值为的是( )‎ A. B. C.‎ D. E.‎ ‎【答案】BCE ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解:不符合,;‎ 符合,;‎ 符合,;‎ 不符合,;‎ 符合,.‎ 故选:.‎ ‎11.已知的内角所对的边分别为,下列四个命题中正确的命题是( )‎ A.若,则一定是等边三角形 B.若,则一定是等腰三角形 C.若,则一定是等腰三角形 D.若,则一定是锐角三角形 ‎【答案】AC ‎【详解】‎ 由,利用正弦定理可得,即,是等边三角形,正确;‎ 由正弦定理可得,或,‎ 是等腰或直角三角形,不正确;‎ 由正弦定理可得,即,‎ 则等腰三角形,正确;‎ 由正弦定理可得,角为锐角,角不一定是锐角,不正确,故选AC.‎ ‎12.已知函数,则下面结论正确的是(  )‎ A.为偶函数 B.的最小正周期为 C.的最大值为2 D.在上单调递增 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将化简为,选项A,的定义域为,,故A正确。根据的周期和最值可判断B正确,C不正确。根据可判定D正确。‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 选项A,的定义域为,‎ ‎,故A正确。‎ B选项,的最小正周期为,故B正确。‎ C选项,,故C不正确。‎ D选项, 由的图像, ‎ 由图可知:在上单调递增,故D正确。‎ 故选ABD ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性,同时考查三角函数最值和单调区间,属于中档题。‎ 第II卷(非选择题)‎ 三、填空题:本大题共4小题,,每小题5分,共20分。‎ ‎13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为_____________.‎ 答案及解析:‎ ‎13.30°‎ 略 ‎14.已知,则 . ‎ 答案及解析:‎ ‎14.‎ ‎15.已知函数,若对任意都有()成立,则的最小值为__________.‎ 答案及解析:‎ ‎15.4π ‎【详解】因为对任意成立,所以取最小值,取最大值;‎ 取最小值时,与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的,则,且,故.‎ ‎【点睛】任何一个函数,若有对任何定义域成立,此时必有:,.‎ ‎16.设非零向量,的夹角为,记,若,均为单位向量,且,则向量与的夹角为__________.‎ 答案及解析:‎ ‎16.【详解】由题设知,若向量,的夹角为,则,的夹角为.由题意可得,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎∵,,,,向量与夹角为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用,以及向量夹角的求法,平面向量数量积公式有两种形式,一是,二是,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, (此时往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).‎ 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设两个非零向量与不共线.‎ ‎(1)若,,求证:A、B、D三点共线;‎ ‎(2)试确定实数k,使与共线.‎ 答案及解析:‎ ‎17.(1)见解析;(2).‎ ‎(1)证明:∵,‎ ‎∴...........4分 ‎∴与共线,又它们有公共点,∴三点共线............5分 ‎(2)若和共线 ‎∴存在实数,使 ‎ 即..........8分 ‎∴ 解得...........10分 ‎18.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且 ‎(Ⅰ)求角A的大小;‎ ‎(Ⅱ)若角边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.‎ 答案及解析:‎ ‎.每问6分 ‎19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为.‎ ‎(l)求角B的大小;‎ ‎(2)已知,且△ABC的外接圆的半径为,若,求的值.‎ 答案及解析:‎ ‎19.(l);(2)9.‎ ‎【详解】(1)‎ 由余弦定理可得,,..........5分 ‎,‎ ‎...........6分 ‎(2),△ABC外接圆的半径为,‎ ‎∴由正弦定理可得:,可得:,。。。。。8分 ‎,①‎ ‎∴由余弦定理可得:,‎ 解得:,②‎ ‎∴联立①②可得:,或,‎ 由,可得:,。。。。。。。。。。。10分 ‎,‎ ‎.。。。。。。。。。。。。。。。12分 ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理,正弦定理,平面向量数量积的运算,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 设向量,,其中,,函数 的图象在轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为,在原点右侧与轴的第一个交点为.‎ ‎(Ⅰ)求函数的表达式;‎ ‎(Ⅱ)在中,角A,B,C的对边分别是,若,且,求边长.‎ 答案及解析:‎ ‎20.(I)因为, -----------------------------1分 ‎ 由题意, -----------------------------3分 将点代入,得,‎ 所以,又因为 -------------------5分 即函数的表达式为. ---------------------6分 ‎(II)由,即 又 ------------------------8分 由 ,知,‎ 所以 -----------------10分 由余弦定理知 ‎ ‎ ‎ 所以 ----------------------------------------------------12分 ‎21.已知两个不共线的向量a,b满足,,.‎ ‎(1)若,求角θ的值;‎ ‎(2)若与垂直,求的值;‎ ‎(3)当时,存在两个不同的θ使得成立,求正数m的取值范围.‎ 答案及解析:‎ ‎21.(1)(2)(3)‎ ‎【详解】(1)由题得 所以角的集合为 .。。。。。。。。。。。。。4分 ‎(2)由条件知, ,又与垂直,‎ 所以,所以.‎ 所以,故. 。。。。。。。。。。。。8分 ‎(3)由,得,‎ 即,‎ 即,,‎ 所以.‎ 由得,又要有两解,结合三角函数图象可得,‎ ‎,即,‎ 又因为,所以.‎ 即m的范围..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 ‎【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示,考查向量的模的计算,考查三角函数图像和性质的综合应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于中档题.‎ ‎22.已知,,,且,其中 (1) 若与的夹角为,求的值;‎ (2) 记,是否存在实数,使得对任意的恒成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,试说明理由.、‎ ‎22.解:(1),由,‎ 得,即 ‎。。。。。。。。。。。。。。。。(6分)‎ (2) 由(1)得,‎ ‎,即可得,‎ ‎,因为对于任意恒成立,又因为,。。。。。。。。8分 所以,即对于任意恒成立,构造函数。。。。。。。。。。。10分 从而由此可知不存在实数使之成立。。。。。。。。12分
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