2018届二轮复习函数的应用课件

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第 2 讲　 函数的应用 专题二 　 函数与导数 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　函数的零点 1. 零点存在性定理 如果函数 y ＝ f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f ( a )· f ( b )<0 ，那么，函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内有零点，即存在 c ∈ ( a ， b ) 使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x ) ＝ 0 的根 . 2. 函数的零点与方程根的关系 函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 的根，即函数 y ＝ f ( x ) 的图象与函数 y ＝ g ( x ) 的图象交点的横坐标 . 例 1 　 (1) 方程 ln( x ＋ 1) － ＝ 0( x >0 ) 的根存在的大致区间是 A.(0,1) B .(1,2) C.(2 ， e) D .(3,4) 答案 解析 √ 则 f (1) ＝ ln(1 ＋ 1) － 2 ＝ ln 2 － 2<0 ， 而 f (2) ＝ ln 3 － 1>0 ， 所以函数 f ( x ) 的零点所在区间为 (1,2). 所以 B 选项正确 . (2)(2017 届河北沧州一中月考 ) 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，且当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) ＝ x ，则方程 f ( x ) ＝ log 3 | x | 的解的个数是 A.0 B.2 C.4 D.6 答案 解析 √ 思维升华 解析　 运用函数的奇偶性、周期性在同一平面直角坐标系中画出函数 y ＝ f ( x ) ， y ＝ log 3 | x | 的图象，结合图象可以看出：两个函数 y ＝ f ( x ) ， y ＝ log 3 | x | 有四个不同的交点，即方程 f ( x ) ＝ log 3 | x | 有四个解，故选 C. 思维升华　 函数零点 ( 即方程的根 ) 的确定问题，常见的有 (1) 函数零点大致存在区间的确定 . (2) 零点个数的确定 . (3) 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定 . 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解 . 跟踪演练 1 　 (1) 函数 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 2 x 的零点所在的区间是 A.[ － 2 ，－ 1] B.[ － 1,0] C.[0,1] D .[1,2] 答案 解析 √ 解析　 f ( － 2) ＝ 2 － 2 ＋ 2 × ( － 2)<0 ， f ( － 1) ＝ 2 － 1 ＋ 2 × ( － 1)<0 ， f (0) ＝ 2 0 ＋ 0>0 ， 由 零点存在性定理知，函数 f ( x ) 的零点在 [ － 1,0] 内，故选 B. (2)(2017 届甘肃高台县一中检测 ) 已知函数 f ( x ) 满足： ① 定义域为 R ； ② ∀ x ∈ R ，都有 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ； ③ 当 x ∈ [ － 1,1] 时 ， f ( x ) ＝－ | x | ＋ 1 ， 则 方程 f ( x ) ＝ log 2 | x | 在区间 [ － 3,5 ] 内解的个数是 A.5 B.6 C.7 D.8 答案 解析 √ 解析　 画出函数图象如图所示，由图可知，共有 5 个解 . 热点二　函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解 . 例 2 　 (1)(2017 届山东菏泽一中宏志部月考 ) 已知偶函数 f ( x ) 满足 f ( x － 1) ＝ ， 且当 x ∈ [ － 1,0] 时， f ( x ) ＝ x 2 ，若在区间 [ － 1,3] 内，函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － log a ( x ＋ 2) 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 ______. 答案 解析 (3,5) 思维升华 思维升华　 方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 根的个数即为函数 y ＝ f ( x ) 和 y ＝ g ( x ) 图象交点的个数 . 解析　 ∵ 偶函数 f ( x ) 满足 f ( x － 1) ＝ ， 且当 x ∈ [ － 1,0 ] 时， f ( x ) ＝ x 2 ， ∴ 函数 f ( x ) 的周期为 2 ，在区间 [ － 1,3] 内函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － log a ( x ＋ 2) 有 3 个零点等价于函数 f ( x ) 的图象与 y ＝ log a ( x ＋ 2) 的图象在区间 [ － 1,3] 内有 3 个交点 . (2) 已知实数 f ( x ) ＝ 若 关于 x 的方程 f 2 ( x ) ＋ f ( x ) ＋ t ＝ 0 有三 个 不同 的实根，则 t 的取值范围为 _________ __ _. 答案 解析 ( － ∞ ，－ 2] 思维升华 思维升华　 关于 x 的方程 f ( x ) － m ＝ 0 有解， m 的范围就是函数 y ＝ f ( x ) 的值域 . 解析　 方法一 　原问题等价于 f 2 ( x ) ＋ f ( x ) ＝－ t 有三个不同的实根 ， 即 y ＝－ t 与 y ＝ f 2 ( x ) ＋ f ( x ) 的图象有三个不同的交点 . 当 x ≥ 0 时， y ＝ f 2 ( x ) ＋ f ( x ) ＝ e 2 x ＋ e x 为增函数 ， 在 x ＝ 0 处取得最小值 2 ，与 y ＝－ t 只有一个交点 . 当 x <0 时， y ＝ f 2 ( x ) ＋ f ( x ) ＝ lg 2 ( － x ) ＋ lg( － x ) ， 根据 复合函数的单调性，其在 ( － ∞ ， 0) 上先减后增 . 所以 ，要有三个不同交点，则需－ t ≥ 2 ，解得 t ≤ － 2. 方法二 　设 m ＝ f ( x ) ，作出函数 f ( x ) 的图象，如图所示， 则当 m ≥ 1 时， m ＝ f ( x ) 有两个根， 当 m <1 时， m ＝ f ( x ) 有一个根， 若关于 x 的方程 f 2 ( x ) ＋ f ( x ) ＋ t ＝ 0 有三个不同的实根， 则等价为 m 2 ＋ m ＋ t ＝ 0 有两个不同的实数根，且 m ≥ 1 或 m <1 ， 当 m ＝ 1 时， t ＝－ 2 ，此时由 m 2 ＋ m － 2 ＝ 0 ， 解得 m ＝ 1 或 m ＝－ 2 ，满足 f ( x ) ＝ 1 有两个根， f ( x ) ＝－ 2 有一个根，满足条件； 当 m ≠ 1 时，设 h ( m ) ＝ m 2 ＋ m ＋ t ，则 h (1)<0 即可，即 1 ＋ 1 ＋ t <0 ， 解得 t < － 2 ，综上，实数 t 的取值范围为 t ≤ － 2. 跟踪演练 2 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ 若 关于 x 的方程 f ( x ) － k － k ＝ 0 有唯一一个实数根，则实数 k 的取值范围是 _______________. 答案 解析 [0,1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) 结合图象可以看出当 0 ≤ k <1 或 k >2 时符合题设 . (2)(2017· 全国 Ⅲ ) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ a (e x － 1 ＋ e － x ＋ 1 ) 有唯一零点，则 a 等于 答案 解析 √ 解析　 方法一　 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ a (e x － 1 ＋ e － x ＋ 1 ) ＝ ( x － 1) 2 ＋ a [e x － 1 ＋ e － ( x － 1) ] － 1 ， 令 t ＝ x － 1 ，则 g ( t ) ＝ f ( t ＋ 1) ＝ t 2 ＋ a (e t ＋ e － t ) － 1. ∵ g ( － t ) ＝ ( － t ) 2 ＋ a (e － t ＋ e t ) － 1 ＝ g ( t ) ， ∴ 函数 g ( t ) 为偶函数 . ∵ f ( x ) 有唯一零点， ∴ g ( t ) 也有唯一零点 . 又 g ( t ) 为偶函数，由偶函数的性质知 g (0) ＝ 0 ， ∴ 2 a － 1 ＝ 0 ，解得 a ＝ . 故选 C. 方法二 　 f ( x ) ＝ 0 ⇔ a (e x － 1 ＋ e － x ＋ 1 ) ＝－ x 2 ＋ 2 x . 当且仅当 x ＝ 1 时取 “ ＝ ”. － x 2 ＋ 2 x ＝－ ( x － 1) 2 ＋ 1 ≤ 1 ，当且仅当 x ＝ 1 时取 “ ＝ ”. 若 a ＞ 0 ，则 a (e x － 1 ＋ e － x ＋ 1 ) ≥ 2 a ， 要使 f ( x ) 有唯一零点，则必有 2 a ＝ 1 ，即 a ＝ . 若 a ≤ 0 ，则 f ( x ) 的零点不唯一 . 故选 C. 热点三　函数的实际应用问题 解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域 . 其解题步骤是： (1) 阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题 .(2) 数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式 .(3) 解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果 .(4) 实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答 . 思维升华　 关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去 . 例 3 　 (2017 届湖北孝感市统考 ) 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时 耗油量 y ( 升 ) 与速度 x ( 千米 / 小时 )(50 ≤ x ≤ 120) 的关系可近似表示为 ： 解答 思维升华 (1) 该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ 解 　 当 x ∈ [50,80) 时， 当 x ∈ [ 80,120 ] 时，函数单调递减，故当 x ＝ 120 时， y 有最小值 10. 因为 9<10 ，故当 x ＝ 65 时每小时耗油量最低 . (2) 已知 A ， B 两地相距 120 千米，假定该型号汽车匀速从 A 地驶向 B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 思维升华　 对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法 . 解答 思维升华 ① 当 x ∈ [50,80) 时， 当 x ＝ 120 时， l 取得最小值 10. 因为 10<16 ，所以当速度为 120 千米 / 小时时，总耗油量最少 . 跟踪演练 3 　 (2017 届运城期中 ) 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品 . 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y ( 元 ) 与月处理量 x ( 吨 ) 之间的函数关系可近似的表示为 y ＝ x 2 － 200 x ＋ 80 000 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元 . (1) 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 解答 解 　 由 题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为 (2) 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解 答 解　 设该单位每月获利为 S ， 因为 400 ≤ x ≤ 600 ， 所以当 x ＝ 400 时， S 有最大值－ 40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损 . Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2016· 天津改编 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ( ω >0 ， x ∈ R ). 若 f ( x ) 在 区 间 (π ， 2π) 内没有零点，则 ω 的取值范围是 ______________. 答案 解析 1 2 3 因为函数 f ( x ) 在区间 (π ， 2π) 内没有零点， 1 2 3 所以函数 f ( x ) 在区间 (π ， 2π) 内没有零点时， 1 2 3 2.(2017· 山东改编 ) 已知当 x ∈ [0,1] 时，函 数 y ＝ ( mx － 1) 2 的图象与 y ＝ ＋ m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 _______________. (0,1] ∪ [3 ，＋ ∞ ) 答案 解析 1 2 3 1 2 3 要使 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象在 [ 0,1 ] 上只有一个交点 ， 只需 g (1) ≤ f (1) ，即 1 ＋ m ≤ ( m － 1) 2 ， 解 得 m ≥ 3 或 m ≤ 0( 舍去 ). 综上所述， m ∈ (0,1] ∪ [3 ，＋ ∞ ). 1 2 3 8 答案 解析 1 2 3 解析　 由于 f ( x ) ∈ [0,1) ，则只需考虑 1 ≤ x <10 的情况，在此范围内， x ∈ Q ，且 x ∉ Z 时， 若 lg x ∈ Q ，则由 lg x ∈ (0,1) ， 1 2 3 因此 lg x ∉ Q ，因此 lg x 不可能与每个周期内 x ∈ D 对应的部分相等，只需考虑 lg x 与每个周期内 x ∉ D 部分的交点，画出函数草图 . 图中交点除 (1,0) 外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内 x ∉ D 部分， 1 2 3 则在 x ＝ 1 附近仅有 1 个交点，因此方程解的个数为 8. 1 2 3 押题预测 答案 解析 押题依据　 函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法 . 押题依据 1 2 3 1. f ( x ) ＝ 2sin π x － x ＋ 1 的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 1 2 3 解析　 令 2sin π x － x ＋ 1 ＝ 0 ，则 2sin π x ＝ x － 1 ， 令 h ( x ) ＝ 2sin π x ， g ( x ) ＝ x － 1 ， 则 f ( x ) ＝ 2sin π x － x ＋ 1 的零点个数问题就转化为两个函数 h ( x ) 与 g ( x ) 图象的交点个数问题 . 1 2 3 所以两个函数图象的交点一共有 5 个， 所以 f ( x ) ＝ 2sin π x － x ＋ 1 的零点个数为 5. 2. 已知函数 f ( x ) ＝ 若 函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － 2 x 恰有三个不同 的 零 点，则实数 a 的取值范围是 A. [ － 1,1 ) B .[ 0,2 ] C.( － 2,2] D .[ － 1,2) 答案 解析 押题依据　 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想 . 押题依据 1 2 3 √ 1 2 3 所以 g ( x ) ＝ 0 的三个不同的实数根为 x ＝ 2( x > a ) ， x ＝－ 1( x ≤ a ) ， x ＝－ 2( x ≤ a ). 再借助数轴，可得－ 1 ≤ a <2. 所以实数 a 的取值范围是 [ － 1,2) ，故选 D. 3. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园 ( 阴影部分 ) ，则其边长 x 为 _____m . 押题依据　 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点 . 20 答案 解析 押题依据 1 2 3 解析　 如图 ， 过 A 作 AH ⊥ BC 交 BC 于点 H ，交 DE 于点 F ， 1 2 3 即 x ＝ 20 时取等号，所以满足题意的边长 x 为 20 m.