高考数学一轮—35曲线方程及圆锥曲线综合问题

高考数学一轮—35曲线方程及圆锥曲线综合问题

‎ ‎ 第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题 一．【课标要求】‎ ‎1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；‎ ‎2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；‎ ‎3．了解圆锥曲线的简单应用 二．【命题走向】‎ 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主 ‎1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；‎ ‎2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。‎ 预测2010年高考：‎ ‎1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；‎ ‎2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问 三．【要点精讲】‎ ‎1．曲线方程 ‎（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：‎ 步 骤 含 义 说 明 ‎1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。‎ 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。‎ (1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。‎ (2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。‎ ‎2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。‎ 写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}‎ 这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。‎ ‎3、“代”：代换 用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0‎ 常常用到一些公式。‎ ‎4、“化”：化简 化方程f(x,y)=0为最简形式。‎ 要注意同解变形。‎ ‎5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。‎ 化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。‎ 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”‎ ‎（2）求曲线方程的常见方法：‎ 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。‎ 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。‎ 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法 第 25 页 共 25 页 ‎ ‎ 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。‎ ‎2．圆锥曲线综合问题 ‎（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。‎ 圆锥曲线的弦长求法：‎ 设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：‎ 若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．‎ 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围 ‎（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。‎ ‎（3）实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等 ‎ 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：‎ ‎（4）知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题 四．【典例解析】‎ 题型1：求轨迹方程 例1．（1）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。‎ ‎（2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。‎ 解析：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，‎ 将圆方程分别配方得：，，‎ 第 25 页 共 25 页 ‎ ‎ 当与相切时，有 ①‎ 当与相切时，有 ②‎ 将①②两式的两边分别相加，得，‎ 即 ③‎ 移项再两边分别平方得：‎ ‎ ④‎ 两边再平方得：，‎ 整理得，‎ 所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆 ‎（法二）由解法一可得方程，‎ 由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，‎ ‎∴，，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆心轨迹方程为。‎ ‎（2）如图，设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴‎ ‎∴已知双曲线两焦点为，‎ ‎∵存在，∴‎ 由三角形重心坐标公式有，即 。‎ ‎∵，∴。‎ 已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有 即所求重心的轨迹方程为：。‎ 点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法 例2．(2009年广东卷文)（本小题满分14分）‎ 第 25 页 共 25 页 ‎ ‎ 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.‎ ‎(1)求椭圆G的方程 ‎(2)求的面积 ‎(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.‎ 解（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;‎ ‎ 则 , 解得 , ‎ ‎ 所求椭圆G的方程为：. ‎ ‎(2 )点的坐标为 ‎ ‎ ‎（3）若，由可知点（6，0）在圆外，‎ ‎ 若，由可知点（-6，0）在圆外；‎ ‎ 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.‎ 题型2：圆锥曲线中最值和范围问题 例3．（1）（2009辽宁卷理）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。‎ ‎【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),‎ ‎ 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4‎ ‎ 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5‎ ‎ 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.‎ 第 25 页 共 25 页 ‎ ‎ ‎【答案】9‎ ‎ （2）（2009重庆卷文、理）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．‎ ‎【解析1】因为在中，由正弦定理得 则由已知，得，即 设点由焦点半径公式，得则 记得由椭圆的几何性质知，整理得 解得，故椭圆的离心率 ‎【解析2】 由解析1知由椭圆的定义知 ‎ ‎，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.‎ ‎【答案】‎ ‎ （3）（2009四川卷理）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）‎ A.2 B.3 C. D. ‎ ‎【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。‎ ‎【解析1】直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点 第 25 页 共 25 页 ‎ ‎ 的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。‎ ‎【解析2】如图，由题意可知 ‎【答案】A 点评：由△PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论 例4．（1）（2009江苏卷）（本题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；‎ ‎（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。‎ ‎ ‎ 第 25 页 共 25 页 ‎ ‎ ‎（2）(2009山东卷文)（本小题满分14分）‎ 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.‎ ‎（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; ‎ ‎（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;‎ ‎(3)已知,设直线与圆C:(12时，由①得 化简得 ‎ 当时 由①得化简得 ‎ 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与 抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）‎ 所组成的曲线，参见图1‎ ‎（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是 A（2，），B（2，），‎ 直线AF，BF的斜率分别为=，=.‎ 当点P在上时，由②知 ‎. ④ ‎ 当点P在上时，由③知 ‎ ‎ ⑤‎ 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为 ‎（i）当k≤，或k≥，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由④知 ‎∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 - ‎ 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)‎ 由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12 - （+）=12 - ‎ 因为当 第 25 页 共 25 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当时，等号成立。‎ ‎（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，‎ ‎ 设直线AF与椭圆的另一交点为E ‎ ‎ ‎ 所以。而点A，E都在上，且 ‎ 有（1）知 ‎ 若直线的斜率不存在，则==3，此时 综上所述，线段MN长度的最大值为.‎ 五．【思维总结】‎ ‎1．注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些性质；‎ ‎2．复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容 曲线与方程有两个方面：一是求曲线方程，二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问题在历年高考中年年出现，且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐标系后，根据曲线上点适合的共同条件找出动点P（x，y）的纵坐标y和横坐标x之间的关系式，即f（x，y）=0为曲线方程，同时还要注意曲线上点具有条件，确定x，y的范围，这就是通常说的函数法，它是解析几何的核心，应培养善于运用坐标法解题的能力，求曲线的常用方法有两类：一类是曲线形状明确且便于用标准形式，这时用待定系数法求其方程；另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般可用直接法、间接代点法、参数法等求方程。二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进而转化为坐标关系，由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练。‎ ‎3．重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程 ‎①方程思想，解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量 第 25 页 共 25 页 ‎ ‎ ‎②用好函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a，b，c，e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效。‎ ‎③掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练。‎ ‎④对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决。‎ ‎⑤参数思想 参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或（x0、y0）即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效果。‎ ‎⑥转化思想 解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，极坐标之间联系及转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的。‎ 除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视 第 25 页 共 25 页