高中数学第一章解三角形1-2-3三角形中的几何计算课时作业含解析新人教A版必修5

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高中数学第一章解三角形1-2-3三角形中的几何计算课时作业含解析新人教A版必修5

课时作业6 三角形中的几何计算 时间:45分钟 ‎——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1.在△ABC中,A满足sinA+cosA=1,AB=2,BC=2,则△ABC的面积为( A )‎ A. B.2 C.3 D.6‎ 解析:由得 ‎∴A=120°.由正弦定理,得=,‎ ‎∴sinC=.∴C=30°,∴B=30°,‎ ‎∴S△ABC=AB·BCsinB=×2×2×sin30°=.‎ ‎2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△ABC=,则边BC的长为( A )‎ A. B.3‎ C. D.7‎ 解析:∵S△ABC=AB·ACsinA=,∴AC=1.‎ 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA ‎=4+1-2×2×1×cos60°=3,‎ 即BC=.‎ ‎3.在△ABC中,a=,b=1,B=30°,则△ABC的面积S为( D )‎ A. B. C.或 D.或 解析:由正弦定理=,‎ 得sinA===,‎ 所以A=60°或A=120°.‎ 当A=60°时,C=90°,S===;‎ 当A=120°时,C=30°,‎ 6‎ S=absinC=××1×sin30°=.‎ ‎4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于( A )‎ A.1+ B. C. D.2+ 解析:由acsin30°=,得ac=6,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,得b=+1.‎ ‎5.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( B )‎ A. B. C. D. 解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知:‎ AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,‎ 即7=AB2+4-2×2×AB×.‎ 整理得AB2-2AB-3=0.‎ 解得AB=-1(舍去)或AB=3.‎ 故BC边上的高AD=AB·sinB=3sin60°=.‎ ‎6.如图,在四边形ABCD中,已知B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于( B )‎ 6‎ A. B.5 C.6 D.7 解析:连接BD,在△BCD中,由余弦定理,得 BD2=22+22-2×2×2·cos120°=12,即BD=2.‎ 因为BC=CD,所以∠CBD=30°,所以∠ABD=90°,‎ 即△ABD为直角三角形.‎ 故S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=×2×2×sin120°+×4×2=5.‎ 二、填空题 ‎7.在△ABC中,BC=2,B=,当△ABC的面积等于时,sinC=.‎ 解析:由三角形的面积公式S=AB·BCsin=易求得AB=1,由余弦定理得AC=,再由三角形的面积公式S=AC·BCsinC=,即可得出sinC=.‎ ‎8.等腰三角形底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长等于a.‎ 解析:如图,AB=AC=2a,BC=a,‎ 设BC中点为D,连接AD,则AD⊥BC.‎ 在Rt△ABD中,‎ 6‎ cosB===.‎ 设AB中点为点E,连接CE,‎ 则在△BEC中,BE=BC=a,‎ 由余弦定理CE2=CB2+BE2-2CB·BE·cosB ‎=a2+a2-2a2·=2a2-a2=a2.‎ 所以CE=a.‎ ‎9.在△ABC中,已知·=tanA,当A=时,△ABC的面积为.‎ 解析:因为·=||·||cosA=tanA,且A=,所以||·||=,所以△ABC的面积S=||·||sinA=××sin=.‎ 三、解答题 ‎10.已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边,2bsinC=c.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若b=2,△ABC的面积为,求a,c的值.‎ 解:(1)因为2bsinC=c,‎ 所以根据正弦定理得2sinBsinC=sinC,‎ 所以sinB=,‎ 又因为B∈,所以B=60°.‎ ‎(2)根据题意得 所以解得 ‎11.在△ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,求证:‎ -=-.‎ 证明:左边=- ‎=- ‎=--+ ‎=--+ ‎=-=右边,所以等式成立.‎ 6‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12.△ABC的周长为20,面积为10,A=60°,则BC的长等于( C )‎ A.5 B.6‎ C.7 D.8‎ 解析:如图,由题意得 由②得bc=40.‎ 由③得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc ‎=(20-a)2-3×40,‎ 所以a=7.故选C.‎ ‎13.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边.若△ABC的面积为,A=15°,则+的值为( D )‎ A. B.2 C.2 D. 解析:△ABC的面积S=bcsinA=,‎ 所以2bc=.‎ 由余弦定理得cosA==-=-=-sinA,‎ 所以+==2(sinA+cosA)‎ ‎=2sin(A+45°)=2sin60°=.故选D.‎ ‎14.在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-,则∠BAC=60°.‎ 解析:设BD=a,则DC=2a,由已知条件有S△ADC=AD·DC·sin∠ADC=×2×2asin60°=a=3-,解得a=-1,由余弦定理分别得到AB2=6,AC2=24-12 6‎ ‎,再由余弦定理得cos∠BAC=,所以∠BAC=60°.‎ ‎15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S=(a2+b2-c2).‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)求sinA+sinB的最大值.‎ 解:(1)由题意可知absinC=×2abcosC.‎ 所以tanC=,‎ 因为0
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