高三模拟考试数学试卷(文科)(Word版含解析)

高三模拟考试数学试卷(文科)(Word版含解析)

高三模拟考试数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．函数f（x）=的定义域为( )‎ ‎ A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．（0，） D．（﹣∞，）‎ ‎2．复数的共轭复数是( )‎ ‎ A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i ‎3．已知向量=（λ， 1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为( )‎ ‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=9，a6=11，则S9等于( )‎ ‎ A．180 B．90 C．72 D．10‎ ‎5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )‎ ‎ A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎6．下列命题正确的个数是( )‎ A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；‎ B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；‎ C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；‎ D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( )‎ ‎ ‎ ‎ A． B．16π C．8π D．‎ ‎8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( )‎ ‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎9．已知函数f（x）=+2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my﹣10=0垂直，则实数m的取值范围是（三分之一前有一个负号）( )‎ ‎ A． C． D．‎ ‎10．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，则的最小值( )‎ ‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎11．设不等式组表示的区域为Ω1，不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω2．若Ω1与Ω2有且只有一个公共点，则m等于( )‎ ‎ A．﹣ B． C．± D．‎ ‎ ‎ ‎12．已知函数f（x）=sin（x+）﹣在上有两个零点，则实数m的取值范围为( )‎ ‎ A． B． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为__________．‎ ‎14．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是__________．‎ ‎15．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于__________．‎ ‎16．16、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点．以下四个结论：‎ ‎①直线AM与直线CC1相交；‎ ‎②直线AM与直线BN平行；‎ ‎③直线AM与直线DD1异面；‎ ‎④直线BN与直线MB1异面．‎ 其中正确结论的序号为__________．‎ ‎（注：把你认为正确的结论序号都填上）‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn．‎ ‎18．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；‎ ‎（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．‎ ‎19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校2014-2015学年高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从2014-2015学年高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：‎ 表1：男生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 x 5‎ 表2：女生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 y ‎（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；‎ ‎（2）从表二中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．‎ ‎ 男生 女生 总计 优秀 ‎ 非优秀 ‎ 总计 ‎ 参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．‎ 临界值表：‎ P（K2＞k0） 0.10 0.05 0.01‎ k0 2.706 3.841 6.635‎ ‎ ‎ ‎20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线l=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．‎ ‎21．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R）．‎ ‎（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值．‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：f（x）≥﹣+﹣4x+；‎ ‎（3）当x∈ B．（﹣∞，0） C．（0，） D．（﹣∞，）‎ ‎1.考点：函数的定义域及其求法． ‎ 专题：函数的性质及应用．‎ 分析：根据函数f（x）的解析式，列出不等式，求出解集即可．‎ 解答： 解：∵函数f（x）=，‎ ‎∴lg（1﹣2x）≥0，‎ 即1﹣2x≥1，‎ 解得x≤0；‎ ‎∴f（x）的定义域为（﹣∞，0]．‎ 故选：A．‎ 点评：本题考查了根据函数的解析式，求函数定义域的问题，是基础题目．‎ ‎2．复数的共轭复数是( )‎ ‎ A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． ‎ 专题：计算题．‎ 分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到a+bi的形式，根据复数的共轭复数的特点得到结果．‎ 解答： 解：因为，‎ 所以其共轭复数为1+2i．‎ 故选B 点评：本题主要考查复数的除法运算以及共轭复数知识，本题解题的关键是先做出复数的除法运算，得到复数的代数形式的标准形式，本题是一个基础题．‎ ‎3．已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为( )‎ ‎ ‎ ‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ 考点：平面向量数量积的运算． ‎ 专题：平面向量及应用．‎ 分析：先根据已知条件得到，带入向量的坐标，然后根据向量坐标求其长度并带入即可．‎ 解答： 解：由得：‎ ‎；‎ 带入向量的坐标便得到：‎ ‎|（2λ+2，2）|2=|（﹣2，0）|2；‎ ‎∴（2λ+2）2+4=4；‎ ‎∴解得λ=﹣1．‎ 故选C．‎ 点评：考查向量坐标的加法与减法运算，根据向量的坐标能求其长度．‎ ‎4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=9，a6=11，则S9等于( )‎ ‎ A．180 B．90 C．72 D．10‎ 考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质． ‎ 专题：计算题．‎ 分析：由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．‎ 解答： 解：∵a4=9，a6=11‎ 由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20‎ 故选B 点评：本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则am+an=ap+aq和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．‎ ‎5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )‎ ‎ A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 考点：双曲线的简单性质． ‎ 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎ ‎ 分析：运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．‎ 解答： 解：由双曲线的离心率为，‎ 则e==，即c=a，‎ b===a，‎ 由双曲线的渐近线方程为y=x，‎ 即有y=x．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．‎ ‎6．下列命题正确的个数是( )‎ A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；‎ B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；‎ C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；‎ D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 考点：命题的真假判断与应用． ‎ 专题：简易逻辑．‎ 分析：A项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断；‎ B项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；‎ C项根据全称命题和存在性命题的否定的判断；‎ D项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．‎ 解答： 解：对于A项“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题为“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”，‎ 若A＞B，则a＞b，根据正弦定理可知sinA＞sinB，∴逆命题是真命题，∴A正确；‎ 对于B项，由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；‎ 若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；‎ ‎∴p是q的必要不充分条件，所以B正确；‎ 对于C项，“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”；所以C不对．‎ 对于D项，“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．所以D正确．‎ 故选：C．‎ 点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．‎ ‎7．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( )‎ ‎ ‎ ‎ A． B．16π C．8π D．‎ 考点：由三视图求面积、体积． ‎ 专题：空间位置关系与距离．‎ 分析：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是一边长为2的正三角形，侧棱长是2，先求出其外接球的半径，再根据球的表面公式即可做出结果．‎ 解答： 解：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，‎ 如图，设O是外接球的球心，O在底面上的射影是D，且D是底面三角形的重心，AD的长是底面三角形高的三分之二 ‎∴AD=×=，‎ 在直角三角形OAD中，AD=，OD==1‎ ‎∴OA==‎ 则这个几何体的外接球的表面积4π×OA2=4π×=‎ 故选：D．‎ 点评：本题考查由三视图求几何体的表面积，本题是一个基础题，题目中包含的三视图比较简单，几何体的外接球的表面积做起来也非常容易，这是一个易得分题目．‎ ‎8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( )‎ ‎ ‎ ‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ 考点：程序框图． ‎ 专题：算法和程序框图．‎ 分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出S计算了5次，从而得出整数M的值．‎ 解答： 解：根据题意，模拟程序框图运行过程，计算 S=2×1+1，2×3+1，2×7+1，2×15+1，2×31+1，…；‎ 当输出的S是63时，程序运行了5次，‎ ‎∴判断框中的整数M=6．‎ 故选：B．‎ 点评：本题考查了程序框图的运行结果的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．‎ ‎9．已知函数f（x）=+2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my﹣10=0垂直，则实数m的取值范围是（三分之一前有一个负号）( )‎ ‎ A． C． D．‎ 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系． ‎ 专题：导数的概念及应用；直线与圆．‎ 分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为﹣1，得到4x0﹣x02+2=m，再由二次函数求出最值即可．‎ 解答： 解：函数f（x）=﹣+2x的导数为f′（x）=﹣x2+4x+2．‎ 曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为4x0﹣x02+2，‎ 由于切线垂直于直线x+my﹣10=0，则有4x0﹣x02+2=m，‎ 由于0≤x0≤3，由4x0﹣x02+2=﹣（x0﹣2）2+6，‎ 对称轴为x0=2，‎ 当且仅当x0=2，取得最大值6；‎ 当x0=0时，取得最小值2．‎ 故m的取值范围是．‎ ‎ ‎ 故选：C．‎ 点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查两直线垂直的条件和二次函数最值的求法，属于中档题．‎ ‎10．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，则的最小值( )‎ ‎ A． B． C．2 D．4‎ 考点：直线与圆的位置关系；基本不等式． ‎ 专题：计算题；直线与圆．‎ 分析：根据题意，直线2ax﹣by+2=0经过已知圆的圆心，可得a+b=1，由此代换得：=（a+b）（）=2+（+），再结合基本不等式求最值，可得的最小值．‎ 解答： 解：∵直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，‎ ‎∴圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1‎ 因此，=（a+b）（）=2+（+）‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴+≥2=2，当且仅当a=b时等号成立 由此可得的最小值为2+2=4‎ 故答案为：D 点评：本题给出直线平分圆面积，求与之有关的一个最小值．着重考查了利用基本不等式求最值和直线与圆位置关系等知识，属于中档题．‎ ‎11．设不等式组表示的区域为Ω1，不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω2．若Ω1与Ω2有且只有一个公共点，则m等于( )‎ ‎ A．﹣ B． C．± D．‎ 考点：简单线性规划． ‎ 专题：不等式的解法及应用．‎ 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用Ω1与Ω2有且只有一个公共点，确定直线的位置即可得到结论 解答： 解：（1）作出不等式组对应的平面区域，若Ω1与Ω2有且只有一个公共点，‎ 则圆心O到直线mx+y+2=0的距离d=1，‎ 即d==1，即m2=3，‎ ‎ ‎ 解得m=．‎ 故选：C．‎ 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．‎ ‎12．已知函数f（x）=sin（x+）﹣在上有两个零点，则实数m的取值范围为( )‎ ‎ A． B． D．‎ 考点：函数零点的判定定理． ‎ 专题：函数的性质及应用．‎ 分析：由f（x）=0得sin（x+）=，然后求出函数y=sin（x+）在上的图象，利用数形结合即可得到结论．‎ 解答： 解：由f（x）=0得sin（x+）=，‎ 作出函数y=g（x）=sin（x+）在上的图象，如图：‎ 由图象可知当x=0时，g（0）=sin=，‎ 函数g（x）的最大值为1，‎ ‎∴要使f（x）在上有两个零点，‎ 则，即，‎ 故选：B 点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用三角函数的图象是解决本题的关键．‎ ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为{﹣1，}．‎ 考点：函数的零点． ‎ 专题：函数的性质及应用．‎ 分析：结合指数函数和对数函数的性质，解方程即可．‎ 解答： 解：若x≤0，由f（x）=得f（x）=2x==2﹣1，解得x=﹣1．‎ 若x＞0，由f（x）=得f（x）=|log2x|=，即log2x=±，‎ 由log2x=，解得x=．‎ 由log2x=﹣，解得x==．‎ 故方程的解集为{﹣1，}．‎ 故答案为：{﹣1，}．‎ 点评：本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的性质及运算是 解决本题的关键．‎ ‎14．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．‎ 考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式． ‎ 专题：等差数列与等比数列；概率与统计．‎ 分析：先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解 解答： 解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9‎ 其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数 这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=‎ 故答案为：‎ 点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题 ‎ ‎ ‎15．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于﹣．‎ 考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值． ‎ 专题：三角函数的求值．‎ 分析：把点P代入直线方程求得tanα的值，原式利用诱导公式化简后，再利用万能公式化简，把tanα的值代入即可．‎ 解答： 解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，‎ ‎∴sinα=﹣2cosα，即tanα=﹣2，‎ 则cos（2α+）=sin2α===﹣．‎ 故答案为：﹣‎ 点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎16．16、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点．以下四个结论：‎ ‎①直线AM与直线CC1相交；‎ ‎②直线AM与直线BN平行；‎ ‎③直线AM与直线DD1异面；‎ ‎④直线BN与直线MB1异面．‎ 其中正确结论的序号为③④．‎ ‎（注：把你认为正确的结论序号都填上）‎ 考点：棱柱的结构特征；异面直线的判定． ‎ 专题：计算题；压轴题．‎ 分析：利用两条直线是异面直线的判断方法来验证①③④的正误，②要证明两条直线平行，从图形上发现这两条直线也是异面关系，得到结论．‎ 解答： 解：∵直线CC1在平面CC1D1D上，‎ 而M∈平面CC1D1D，A∉平面CC1D1D，‎ ‎∴直线AM与直线CC1异面，故①不正确，‎ ‎∵直线AM与直线BN异面，故②不正确，‎ ‎∵直线AM与直线DD1既不相交又不平行，‎ ‎∴直线AM与直线DD1异面，故③正确，‎ ‎ ‎ 利用①的方法验证直线BN与直线MB1异面，故④正确，‎ 总上可知有两个命题是正确的，‎ 故答案为：③④‎ 点评：本题考查异面直线的判定方法，考查两条直线的位置关系，两条直线有三种位置关系，异面，相交或平行，注意判断经常出错的一个说法，两条直线没有交点，则这两条直线平行，这种说法是错误的．‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn．‎ 考点：数列的求和；等比数列的性质；余弦定理． ‎ 专题：等差数列与等比数列．‎ 分析：（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．‎ ‎（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出an=2n，从而得以==，进而能求出{}的前n项和Sn．‎ 解答： 解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，‎ ‎∴=，‎ ‎∴cosA=，‎ ‎∵A∈（0，π），∴A=．‎ ‎（Ⅱ）设{an}的公差为d，‎ ‎∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，‎ ‎∴a1==2，且=a2•a8，‎ ‎∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，‎ ‎∴an=2n，‎ ‎∴==，‎ ‎∴Sn=（1﹣）+（）+（）+…+（）‎ ‎=1﹣=．‎ ‎ ‎ 点评：本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．‎ ‎18．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点．‎ ‎（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；‎ ‎（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．‎ 考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． ‎ 专题：空间位置关系与距离．‎ 分析：（1）连接BD，便可得到BD=DC，而E又是BC中点，从而得到BC⊥DE，而由PD⊥平面ABCD便可得到BC⊥PD，从而得出BC⊥平面PDE，根据面面垂直的判定定理即可得出平面PBC⊥平面PDE；‎ ‎（2）连接AC，交BD于O，根据相似三角形的比例关系即可得到AO=，从而在PC上找F，使得PF=，连接OF，从而可说明PA∥平面BDF，这样即找到了满足条件的F点．‎ 解答： 解：（1）证明：连结BD，∠BAD=90°，；‎ ‎∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；‎ 又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD；‎ ‎ ‎ ‎∴BC⊥PD，DE∩PD=D；‎ ‎∴BC⊥平面PDE；‎ ‎∵BC⊂平面PBC；‎ ‎∴平面PBC⊥平面PDE；‎ ‎（2）如上图，连结AC，交BD于O点，则：△AOB∽△COD；‎ ‎∵DC=2AB；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴在PC上取F，使；‎ 连接OF，则OF∥PA，而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF；‎ ‎∴PA∥平面BDF．‎ 点评：考查直角三角形边的关系，等腰三角形中线也是高线，以及线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，相似三角形边的比例关系，线面平行的判定定理．‎ ‎19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校2014-2015学年高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从2014-2015学年高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：‎ 表1：男生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 x 5‎ 表2：女生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 y ‎（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；‎ ‎（2）从表二中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．‎ ‎ 男生 女生 总计 优秀 ‎ 非优秀 ‎ 总计 ‎ 参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．‎ 临界值表：‎ P（K2＞k0） 0.10 0.05 0.01‎ k0 2.706 3.841 6.635‎ 考点：独立性检验． ‎ 专题：概率与统计．‎ ‎ ‎ 分析：（1）根据分层抽样，求出x与y，得到表2中非优秀学生共5人，从这5人中任选2人的所有可能结果共10种，其中恰有1人测评等级为合格的情况共6种，所以概率为；‎ ‎（2）根据1﹣0.9=0.1，P（K2≥2.706）===1.125＜2.706，判断出没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．‎ 解答： 解：（1）设从2014-2015学年高一年级男生中抽出m人，则=，m=25‎ ‎∴x=25﹣15﹣5=5，y=20﹣18=2‎ 表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，‎ 则从这5人中任选2人的所有可能结果为 ‎（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）共10种，‎ 记事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”‎ 则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），共6种，‎ ‎∴P（C）==，故所求概率为；‎ ‎（2）‎ ‎ 男生 女生 总计 优秀 15 15 30‎ 非优秀 10 5 15‎ 总计 25 20 45‎ ‎∵1﹣0.9=0.1，P（K2≥2.706）===1.125＜2.706‎ ‎∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．‎ 点评：本题考查了古典概率模型的概率公式，独立性检验，属于中档题．‎ ‎20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线l=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．‎ 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． ‎ 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点坐标求得c=1，结合隐含条件得到a2=b2+1，再由点到直线的距离公式得到关于a，b的另一关系式，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y得到（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由判别式等于0整理得到4k2﹣m2+3=0，代入（4k2+3）x2+8kmx+4m2‎ ‎ ‎ ‎﹣12=0求得P的坐标，然后写出直线F1Q方程为，联立方程组，求得x=4，即说明点Q在定直线x=4上．‎ 解答： （Ⅰ）解：由抛物线的焦点坐标为（1，0），得c=1，‎ 因此a2=b2+1 ①，‎ 直线AB：，即bx﹣ay﹣ab=0．‎ ‎∴原点O到直线AB的距离为 ②，‎ 联立①②，解得：a2=4，b2=3，‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）由，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，（*）‎ 由直线与椭圆相切，得m≠0且△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，‎ 整理得：4k2﹣m2+3=0，‎ 将4k2+3=m2，即m2﹣3=4k2代入（*）式，得m2x2+8kmx+16k2=0，‎ 即（mx+4k）2=0，解得，‎ ‎∴，‎ 又F1（1，0），∴，则，‎ ‎∴直线F1Q方程为，‎ 联立方程组，得x=4，‎ ‎∴点Q在定直线x=4上．‎ 点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了点到直线距离公式的应用，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了两直线交点坐标的求法，是中档题．‎ ‎21．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R）．‎ ‎（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值．‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：f（x）≥﹣+﹣4x+；‎ ‎（3）当x∈‎ ‎ ‎ 解答： （1）解：，由题意可得f′（1）=0，解得a=1；‎ 经检验，a=1时f（x）在x=1处取得极值，所以a=1．‎ ‎（2）证明：由（1）知，f（x）=x2﹣x﹣lnx．‎ 令，‎ 由，‎ 可知g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，‎ 所以g（x）≥g（1）=0，所以成立；‎ ‎（3）解：由x∈=8×=4．‎ 点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和差的余弦公式，属于基础题．‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．‎ ‎（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．‎ 考点：带绝对值的函数；绝对值不等式． ‎ 专题：计算题；压轴题．‎ 分析：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值；‎ ‎（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，只须m大于等于φ（n）的最大值即可，从而求出实数m的取值范围．‎ 解答： 解：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，‎ ‎∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3，‎ ‎∴a﹣3=﹣2，‎ ‎∴a=1．‎ ‎（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），‎ 则φ（n）=|2n﹣1|+|2n+1|+2=‎ ‎∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．‎ 点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，利用分段函数化简函数表达式是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎