高三数学同步辅导教材(第4讲)

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高三数学同步辅导教材(第4讲)

高三数学总复习教程(第 4 讲) 一、本讲进度 集合的概念和运算 集合的概念、集合间关系、集合的运算 二、 习指导 集合的三特性——元素的确定性,无序性、互异性揭示了集合的本质,它是我们解一些集合问题的 钥匙,理解集合,子集、补集、交集、并集、空集、全集的意义,对属于包含、相等关系的定义要掌握 相关术语和符号会改、会写,对集合的文字表达,符号表达及图示(韦恩图)要能转换自如。 三、 型例题讲评 例 1.已知集合 A= xyyxyx ,,  ,B= 0,, 2222 yxyx  ,A=B,求 x,y 的值。 本题考查集合相等的概念及集合的特性。 如一般地考虑分成 x-y=0,x+y=0 和 xy=0 三种情况,费时费力,比较合理的思路是: 10. 根中元素的互异性,B 中 x2-y2≠0,故 A 中 x-y,x+y 均不为 0,从而 xy=0; 20. 再根据元素的互异性:x+y≠x-y,知 y≠0 而 x=0 30.于是有 y=y2 和-y=y2 两种方案,据 y≠0 知 y=±1. 例 2.已知集使 A= 0)1()1( 222  aayaayy , B=        30,2 5 2 1 2 xxxyy ,A∩B=φ ,求实数 a 的取值范围. 先易后难,先明后暗,这是解题的策略,故先写出集合 B=[2,4]. 方程 y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)=0 的两根为 a,a2+1,而 a2+1≥2 a ≥ ≥a,且等号不能都成立,故 A= (-∞,a)∪(a2+1,+∞),A∩B=φ       14 2 2a a  a∈(-∞,- 3 )∪[ ,2] 本题中,最易出错的地方是把      14 2 2a a 写为      14 2 2a a ,做题时必须把边界处仔细推敲。 例 3.已知函数 y=3x+1 的定义域为 A= dcb ,,,3 ,值域为 B= 2025,3,7,4 233  aaaaa 求 a+b+c+d. 本题涉及到的知识为集合的特性,映射及道映射. 分别令 3x+1= 4,7,知 1,2∈A. 又 3 的象为 10. 若 a3+3a=10,知 a=2 或-5,相应地,a3+5a2+2a+20=52 或 10,故 a=-5 时,a2+3a 与 a3+5a2+2a+20 相同,舍去, 若 a3+5a2+2a+20=10,即(a+5)(a2+2)=0,a=-5,相应地,a2+3a=10,亦应舍去. ∴a=2,令 52=3x+1,x=17 知 17∈A. ∴a+b+c+d=2+17+1+2=22. 本题中并没有确定(也无法确定)b、c、d 分别是什么,而是从总体考虑“它们是什么”,这可能是 读者不习惯的所在. 例 4.已知函数 f(x)=x+1,g(x)=x2,A=[-1,a](a>-1),求使集合 A= Axxfyy  ),( 与集合 B= Axxgyy  ),( 相等的实数 a 的值. 本题涉及一次函数的值域(指定定义域)和二次函数的值域(指定定义域)两个知识点及分类讨论 的数学思想。 一次函数 f(x)=x+1,x∈[-1,a]是单调递增函数,∴A=[0,a+1],而 B 集合是指定了定义域的二次 函数,不一定是单调的决不能简单地“代两头”而说它的值域是[1-a2](按这样的错误想法,A、B 是决 然不会相等的),故该讨论: 10. 若 a∈(-1,0),则 g(x)单调递减,B=[a2,1]不可能与集合 A 相等。 20. 若 a∈[0,1],则 B=[0,1],要与 A 相等,须 a+1=0,∴a=0, 30. 若 a∈(1,+∞),则 B=[0,a2],要与 A 相等,须 a+1=a2,a= 2 51 但 2 51 <1,舍去. ∴a=0 或 2 51 例 5.已知集合 A= 有意义使 2xaxayx  ,集合 B= 有意义使 2xaxayy  ,A=B 是否 可能成立?如可能成立,求出使 A=B 的 a 的取值范围,如不可能成立,说明理由. 本题两集合是用描述法表示的,在“元素的形式”这一部分分别用了 x、y,不能据此认为“元素的 形式不同,故不可能相等”因它们只不过用以表达的字(代号)不同,实质是一样的,即元素的形式是 “数”。它所能否相等,只要看它们所表示的数集是否相同。 当 a>0 时,A=[0,a],B=[0, 2 2a ],要 A=B,须 a= ,a=2. 当 a<0 时,A=[a,0],B=[- ,0],要 A=B,须 a=- ,a=-2. 当 a=0 时,A= 0 ,B= 0 ,满足 A=B 根据上面的讨论知,A 与 B 两集合有可能相等,只需 a∈ 2,0,2 即可. 例 6.定义域为  0,  xRxx 且 的奇函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,而 f(1)=0,设函数 g(x)=sin2x+kcosx-2k(x∈[0, 2  ])集合 M= 0)( xgk 使 N= 0)]([ xgfk 使 ,求 M∩N. 本题如先分别求出 M、N,再求它们的交集,费时费工,因为其中有一部分是重复劳动。 ∵f[g(x)]是复合函数,我们应先由 f[g(x)]<0,求出相应 g(x)应满足的条件,再进一步求 M∩N 中 g(x) 满足的条件,这样做事半功倍。 先据 f(x)是奇函数 f(1)=0,( 0,+∞)上增,证明 f(-1)=0,f(0)在(-∞,0)上也增,从而说明 f[g(x)] <0 的充要条件是 f(x)∈(―∞,―1)∪(0,1). 又 N 中要求 g(x)<0,∴M∩N 要求 g(x)<-1,即 k> x x cos2 sin1 2   = x x cos2 cos2 2   = 4-[(2-cosθ ) + cos2 2  ], 右边当 cosθ =2- 2 时有最大值 4-2 ,∴k>4-2 . M∩N=(4-2 ,+∞). 当然,更多的同学是下面的思路:由 g(x)<-1 知 cos2x-kcosx+2k-2>0,记 u=cosx∈[0,1],则即 u2-ku+2k-2>0. 10. 当 2 k ∈[0,1],即 k∈[0,2]时,f(u)=u2-ku+2k-2 的最小值为 2k-2- 4 2k 须>0,k∈( 4-2 , 4+2 ). ∴k∈(4-2 ,2) 20.当 >1.即 k>2 时,f(u)∣min=f(1)=k-1>0,k>1. ∴k>2 30. 当 <0,即 k<0 时,f(u)∣min=f(0)=2k-2>0,k>1. ∴k∈φ 综上,k∈(4-2 ,+∞) 第一种思路是以 k 为主,把问题转化为求分式函数 f(x)= x x   2 2 2 ,x∈[0,1]的最小值;第二种思路 是以 u=cosx∈[0,1]为主,讨论二次函数 f(u)=u2-ku+2k-2 的最小值.两者都是解决这类问题的常用办法. 例 7.已知集合 A= 1),( 2  xyyx ,B= 05224),( 2  yxxyx ,C= bkxyyx ),( , 是否存在正整数 k 与 b,使(A∪B)∩ C=φ ?涉及的第一个知识点是集合的运算:(A∪B)∩ C=φ  A ∩C=φ 且 B∩C=φ . 第二个知识点是两曲线的交点:      bkxy xy 12 ,消去 y,(kx+b)2=x+1      bkxy yxx 05224 2 消去 y,4x2+2x+14=2(kx+b) 即 4x2+2x(1-k)+1-2b=0 无解 故      0)]21(4)1[(4 0144 2 2 2 1 bk bkk .(∵k∈N+,故不由考虑 k=0) 至此,许多同学会遇到障碍:面对二元不等式组,如何“消去”?这与方程消去当然不同,由于两 式中 b 都是一次的,故可得         k kkb k kb 4 14 8 )1(20 4 14 22 2 ,虽可得一高次不等式,k3+6k2-19k+2<0, 我们都无从解出,有理却无力. 因此,我们通过估值另辟径:         2 5 8 20 8 )1(20 14 14 2 2 kb k kb 从而 1<b< 2 5 ,又 b∈N+,∴b=2. 再代回原不等式组:         8 )1(202 4 142 2 2 k k k 分别解得      31 2 22 2 22 k k 又 k∈N+,∴k=1. ∴存在自然数 k=1,b=2,满足题设条件 四、 巩固练习 1.B 集合 A= 3,1,2 aa ,B= 1,12,3 2  aaa ,A∩B= 3 ,则 a 的值为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)-1 2.B A∩B=φ ,M= Axx  ,N= Byy  ,则下列各式错误的是( ) (A)M∩N=φ (B)M∩N=  (C)φ ∈M∩N (D)φ   M∩N 3.A 集合 A= 有实数使 axxa  34 ,则 A=( ) (A)(-∞,1) (B) ,1 (C)( 1,+∞) (D)( 3,4) 4.C 函数 y=lg[x2+(m-3)x+ 4 9 ]的定义域为 A,值域为 B,集合 M= RAm 使 ,N= kBm 使 , 则有( ) (A)M∩N=φ (B)M  N (C)M N (D)M ∪N=R 5.B 已知集合 M=    RMxaaxx 满足01)1(2 ,求 a 的取值范围. 6.C 设集合 M= )520(log)(10log 2xaxaax  ,M∩Z= 1 ,求 a 的取值范围. 7.B M= 012  bxaxx ,N= 02  abxxx ,若 M N.求 a、b 关系. 8.B 已知 f(x)为一次函数,集合 A= )(xfxx  ,B= )]([ xffxx  ,若 A 为单元素集,求证:B=A 或 B=k. 9.B 已知集合 A= 有意义使 2215 xxyx  ,B= 22 xxayy  ,全集 U=R,( AC U )∪B, 求 a 的取值范围. 10.C 已知集合 A= Znmnmxx  ,,22 ,B= Zkkxx  ,12 ,C= Aqppqxx  ,, (1)A 与 B 两集合的关系如何? (2)A 与 C 两集合的关系如何? (3)求 CZA. 11.B 已知集合 A= 0,),(  aayxyx ,B= 0)1)(1(),(  yxyx ,若 A∪B 恰为某正八 边形顶点的集合,求 a. 12.B A= 01)2(2  xaxx ,若 A∩R+=φ ,求 a 的取值范围. 13 . A U=  业生新江中学第一届高中毕 , A=  该届男生 , B=  该届赴海外深造者 , D= 该届考入公务员者 ,写出下列各式的含义:(1)( CUA)∩B=φ ,( 2)( A∩D)∪CUA=U 14.B 求下列不等式的解集: (1) 52 x - 4x <2x+2 (2) 522  xx <2x (3) 122  xx >x-1 15.已知集合 A=   11),(  yxyx 且 ,B= 1)()(),( 22  ayaxyx . (1)若 A∩B≠φ ,求 a 的取值范围. (2)记点集 A∩B 的面积为 f(a),注 f(1,5). 五、参考答案 1.-3∈B,而 a2+1≥1,∴a―3=―3 或 2a―1=―3,即 a=0 或―1.但 a=0 时,A 中的 a+1 与 B 中的 a2+1 均为 1,与 A∩B= 3 矛盾,∴a=-1,选(D) 2.∵A∩B=φ ,∴M 与 N 有且仅有一个公共元素中,故(B)、(C)、(D)都对,选(A) 3.f(x)= 4x + x3 =      x x 27 1 72 3 )4,3( 4    x x x 知 f(x)≥1. 要使 f(x)<a 有解,须 a>1,选(C) 4.要使 A=R,即 x2+(m-3)+ 4 9 >0 恒成立,其充要条件是△=(m―3)2―9<0,m∈(0,6). 要使 B=R,须 x2+(m-3)+ 的值域 R+,即 - 4 )3( 2m ≤0,m≥6 或≤0,选(A) 5.当 a≥0 时,M 不可能是 R+的子集,∴a<0. φ   M,∴△(a+1)2+4a>0,M  R+,故两根均正. 即 a a 1 >0,且- a 1 >0,解得 a<―3―2 2 ∴a∈(-∞,―3―2 ). 6.1∈M,∴loga10(a-1)<loga15,∴      15)1(10 1 a a a∈(1, 2 5 ), 此时原不等式即 0<10(a-x)<20-5x2,记 u=a-x>0 则有 f(u)=u2+2(1-a)u+a2-4<0,相应于 x=0 和 x=2 的 u 为 a 及 a-2,      0204)2)(1(2)2()2( 04)1(2)( 22 22 aaaaaaf aaaaaf 或 ∴a≥2. ∴a∈      2 5,2 7.N 为某开区间或φ ,故 a≥0 时,M 不可能是 N 的子集,a<0,此时两个不等式之△=b2-4a≥0, M=( a abb 2 42  , a abb 2 42  )(注意,两端不要搞颠倒了) N=( 2 42 abb  , 2 42 abb  ) 要使 M N,须         2 4 2 4 2 4 2 4 22 22 abb a abb abb a abb 于是有      )1(4)1( )1(4)1( 2 2 ababa ababa ∴      )1(41 1 2 ababa a 即      22)1( 1 ba a ∴―a―1≥ b (a≤-1) 8.设 f(x)=kx+b,(k≠0),kx+b=x,(1-k)x=b,解集为单元素集,∴k≠1,于是 f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b. 方程 k2x+kx+b=x,即(1―k2)x=b(k+1) 若 k=―1,则 B=k,若 k≠―1,则 x= k b 1 ,与 f(x)=x 用解,∴B=A. 9.15―2x―x2≥0,知 x∈[―5,3],y=a―(x+1)2+1≤a+1,知 B= 1,  a ,CUA=(―∞,―5)∪(3, +∞),要使(CUA)∪B=k,须 a+1≥3,∴a∈ ,2 10.( 1)对任一 x=2k―1∈B,都有 x=k2―(k―1)2∈ A,∴ B A. (2)对任一 x∈C,必存在 p=m 2 1 ―n .q=m 2 2 ―n ,(m1 ,m2…n1,n2∈Z),使 x=( m ―n .)( m ― n)=( m m +n n )―(m n + m n )= (m m +2m1m2n1n2++n n )―(m n +2m1n2m2n1+ m n ) =(m1m2+n1n2)2―(m1n2+m2n1)2∈A ∴C  A. (3)∵4(2k―1)=(2k)2―[2(k―1)]2∈A ∴ Zkkxx  ,4  A. 而 4m+2 (m∈Z),若属于 A,即 4m+2=p2―q2,则 p、q 必同奇偶,但(2k1)2―(2k2)2=4(k1+k2)(k1―k2), 而(2k―1)2―(2k2―1)2= 4(k1―k2)(k1+k2―1),均为 4 的倍数 ∴4m+2A 综上,CEA= Emzmxx  ,4 11.A 与 B 对应的图形都是关于原点, x 轴,y 轴对称的, 当 2>a>1 时,两图形才会有 8 个交点,在第一象限内两点坐标为(a―1,1),( 1,a―1),要构成正八 边形,应有 2(a―1)= 2 (2―a),a= 12.△=(a+2)2-4<0 或      0)2( 04)2( 2 a a ,知 a>―4 13.( 1)该届出国者中无女生 (2)该届男生全部当 1 公务员. 14.( 1)当 x≥4 时,原不等式即(2x+5) ―(x―4)<2x+3,x>6 ∴x>6 当 x∈ 4,5 时,原不等式即 2x+5+x―4<2x+3,x<2, ∴x∈ 2,5 当 x<-5 时,原不等式即(-2x-5)+x-4<2x+3,x>-4 ∴x∈φ 综上,解集为 ∪(6,+∞) (2)      xxxx x 2522 0 2        054 5 0 2 2 xx x x x∈(- 5 ,5), (3)当 x≤1 时,原不等式恒成立. 当 x1>x2―2x―1>x―1 或 x2―2x―1<1-x,x∈(1,2)∪(3,+∞) ∴原不等式解集为(-∞,2)∪(3,+∞). 15.( 1)A 为 x=±1,y=±1,圆成之正方形及其内部,B 为以( a,a)为圆心,1 为半径的圆及其内部, 要 A∩B≠φ 之 a∈[-(1+ 2 2 ), 1+ ] (2)把(x- 2 3 )2+(y- )2=1 分别与 x=1,y=1 联立,得两交点 A、B 坐标为(1, 2 33  ),( 2 33  , 1) AB = (1- )= 2 13  ,∴∠AOB= 6  f(a)= 12 1 ·π ·12-(1- )( -1)= 12 333 六、附录 例 1.∵x2+-y2≠0 ∴x+y,x-y 均不为 0 ∴xy=0,但若 y=0,则 x+y=x-y, ∴x=0 若      2 2 yy yy ,则 y=-1(0 舍去),若      2 2 yy yy ,则 y=1(0 舍去) ∴      1 0 y x 或      1 0 y x 例 2.Y= 2 1 x2-x+ 2 5 ,当 x=1 时取最小值 2,当 x=3 时取最大值 4,∴B=[2,4] y 310 C DB1 A x ∵a2+1 恒大了 a,故 A 可表为(-∞,a)∪(a2+1,+∞) ∵A∩B=φ ,∴      41 2 2a a ,解得 a∈  3, ∪( 3 ,2) 例 3.令 3x1+1=4,3x2+1=7,得 x1=1,x2=2,在 A 中,令 x=3,则 3x+1=10,在 B 中 10.,若 a2+3a=10,则 a=2 或-5,相应地,a3+5a2+2a+20=52 或 10,故 a=-5 时,a2+3a 与 a3+5a2+2a+20 相同,舍去,∴ a=2. 20 .若 a3+5a2+2a+20=10,即(a+5)(a2+2)=0,a=-5,由上面知,应舍去. 又 52 的原象为 17,故 dcb ,, = 17,2,1 ∴a+b+c+d=2+1+2+17=22 例 4.f(x)=x+1 单调递增,∴ A=[0,a+1] B=    ],0[ ]1,0[ ]1,[ 2 2 a a ),1( ]1,0[ )0,1(    a a a 当 当 当 今 A=B,故或      11 ]1,0[ a a 或      21 ),1( aa a 分别解得 a=0 或 a= 2 51 . 例 5.当 a>0 时,A=[0,a],B=[0, 2 2a ]要使 A=B,应使 a= ,得 a=2 当 a<0 时,A=[a,0],B=[- ,0]要使 A=B,应使- =a,a=-2 当 a=0 时,A=B= 0 ∴a∈ 2,0,2 例 6.在(0,+∞)中,f(x)单调增,且 f(1)=0,∴当 x∈(0,1)时 f(x)<0,当 x>1 时,f(x)>0. f(-1)= -f(1)=-0=0,又时任 x1<x2<0,有-x1>-x2>0 f(x1) -f(x2)= -f(-x1)+f(-x2)<0,∴当 x∈(-∞,-1)时,f(x)<0. 当 x∈(-1,0)时,f(x)>0. M∩N= 0))((0)(  xgfxfk 且使使 = )1,0()(1)(0)(  xgxgxgk 或且使使 = 1)( xgk 使 ∴k> x x cos2 sin1 2   = x x cos2 cos2 2   = 4-[(2-cosx)+ xcos2 2  ] 而式右端的最大值为 4-2 2 ,(当 cosθ =2- 2 时) ∴k<4-2 ,M∩N=(4-2 ,+∞) 例 7.由已知 A∩C=Φ 且 B∩C=φ . 由      bkxy xy 12 得 k2x2+(2bk-1)x+2-1=0 △1= 4k2-4bk+1<0,b> k k 4 14 2  ≥1 ① 由      bkxy yxx 05224 2 得 4x2+2x(1-k)+1-2b=0 △2= 4[(1-k)2-4(1-2b)]<0,b< 8 )1(20 2 k ≤ 2 5 ② 由①、②      * )2 5,1( Nb b ∴b=2,代入①、②         * 2 2 4)1( 0184 Nk k kk ∴k=1 存在自然数 k=1,b=2,满足题目要求.
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