2018届高三数学一轮复习： 第5章 第3节 等比数列及其前n项和

2018届高三数学一轮复习： 第5章 第3节 等比数列及其前n项和

第三节　等比数列及其前n项和 ‎ [考纲传真]　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．‎ ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．‎ ‎(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1.‎ ‎(2)前n项和公式：‎ ‎3．等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a；‎ ‎(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；‎ ‎(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)‎ ‎(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)‎ ‎(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)‎ ‎(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{an}的公比为－，则的值是(　　)‎ A．－2　　　　　　　 B.－ C. D.2‎ A　[＝＝－2.]‎ ‎3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝(　　)‎ A．64 B.128‎ C．256 D.512‎ A　[设等比数列的首项为a1，公比为q，则由解得或(舍去)，所以a6＝a1q5＝64，故选A.]‎ ‎4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．‎ ‎27,81　[设该数列的公比为q，由题意知，‎ ‎243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.‎ ‎∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]‎ ‎5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.‎ ‎6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.]‎ 等比数列的基本运算 ‎　(1)(2016·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)‎ A．32　　　　　　　　　　 B.64‎ C．128 D.256‎ ‎(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a‎2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．‎ ‎ 【导学号：01772183】‎ ‎(1)C　(2)2n－1　[(1)∵{an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0，‎ ‎∴q＝－或q＝2.∵an>0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝27＝128.‎ ‎(2)设等比数列的公比为q，则有 解得或 又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.]‎ ‎[规律方法]　1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．‎ ‎2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．‎ ‎[变式训练1]　(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　)‎ A．1 B.－ C．1或－ D.－1或 ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若‎27a3－a6＝0，则＝__________.‎ ‎(1)C　(2)28　[(1)根据已知条件得 ‎②÷①得＝3.‎ 整理得2q2－q－1＝0，‎ 解得q＝1或q＝－.‎ ‎(2)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以‎27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.]‎ 等比数列的判定与证明 ‎　(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ ‎[解]　(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，2分 故λ≠1，a1＝，故a1≠0.3分 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan.5分 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 于是an＝n－1.7分 ‎(2)由(1)得Sn＝1－n.9分 由S5＝得1－5＝，即5＝.10分 解得λ＝－1.12分 ‎[规律方法]　等比数列的判定方法 ‎(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．‎ ‎(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．‎ ‎(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．‎ 说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定．‎ ‎[变式训练2]　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，‎ 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.‎ ‎∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.‎ 又 ‎①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).3分 ‎∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，‎ 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.6分 ‎(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，‎ ‎∴－＝，‎ 故是首项为，公差为的等差数列.9分 ‎∴＝＋(n－1)·＝，‎ 故an＝(3n－1)·2n－2.12分 等比数列的性质及应用 ‎　(1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T‎2m－1＝512，则m的值为(　　)‎ A．4 B.5‎ C．6 D.7‎ ‎(2)(2016·天津高考)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<‎0”‎是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<‎0”‎的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(1)B　(2)C　[(1)由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝a＝2am(m≥2)，所以am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以T‎2m－1＝‎22m－1＝512＝29，即‎2m－1＝9，所以m＝5，故选B.‎ ‎(2)若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0，则a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0.若q<0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<‎0”‎是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<‎0”‎的必要而不充分条件．故选C.]‎ ‎[规律方法]　1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．‎ ‎2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．‎ ‎[变式训练3]　(1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列{an}中，a1 008·a1 009＝，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝(　　)‎ A．2 015 B.2 016‎ C．－2 015 D.－2 016‎ ‎(2)(2017·南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为(　　)‎ A. B. C．1 D.2‎ ‎(1)D　(2)D　[(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝lg a‎1a2…a2 016＝lg(a1 008·a1 009)1 008＝lg1 008＝lg1 008＝－2 016，故选D.‎ ‎(2)由题意得S4＝＝9，所以＝.由a1·a1q·a1q2·a1q3＝(aq3)2＝得aq3＝.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为＝＝·＝＝2，故选D.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．方程的思想．等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．‎ ‎2．函数的思想．通项公式an ＝a1qn－1可化为an＝qn，因此an是关于n 的函数，即{an}中的各项所表示的点(n，an)在曲线y＝qx上，是一群孤立的点．‎ ‎3．分类讨论思想．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考易错点．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．‎ ‎2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.‎ ‎3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽视q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ ‎4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)．‎