2019苏锡常镇三模(十八)数学
2019届高三年级第三次模拟考试(十八)
数学(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：圆锥的侧面积公式：S＝cl，其中c是圆锥底面的周长，l为母线长.
圆锥的体积公式：V＝Sh，其中S为圆锥的底面积，h为高.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|0
0)的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为________.
9. 已知正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________.
10. 已知偶函数f(x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x2＋2)的解集为________.
11. 过直线l：y＝x－2上任意一点P作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，△PAB的面积为________.
12. 已知点P在曲线C：y＝x2上，曲线C在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为________.
13. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，以AB为直径在△ABC外作半圆O，P为半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若·＝，则·的最小值为________.
14. 已知e为自然对数的底数，函数f(x)＝ex－ax2的图象恒在直线y＝ax上方，则实数a的取值范围为________.
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
如图，在三棱锥PABC中，过点P作PD⊥AB，垂足为D，E，F分别是PD，PC的中点，且平面PAB⊥平面PCD. 求证：
(1) EF∥平面ABC；
(2) CE⊥AB.
16. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1) 求角A的大小；
(2) 若cos＝，求cos C的值.
17. (本小题满分14分)
某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．
(1) 若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；
(2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？
18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，右准线方程为x＝4.过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D.直线A2D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A1D交于点H.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若HG⊥A1D，试求直线A1D的方程；
(3) 如果＝λ，试求λ的取值范围.
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝x2＋(2－a)x－alnx，其中a∈R.
(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为1，求实数a的值；
(2) 若函数f(x)的极小值不超过，求实数a的最小值；
(3) 对任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[4，8]，使得f(x1)＝f(x2)成立，求实数a的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n∈N*，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝λ(n－1)a1an恒成立.
(1) 如果，，成等差数列，求实数λ的值；
(2) 已知λ＝1.
①求证：数列是等差数列；
②已知a1≠a2，数列{bn}是公比为q的等比数列，满足b1＝，b2＝，b3＝(i∈N*)．求证：q是整数，且数列{bn}中的任意一项都是数列中的项．
2019届高三年级第三次模拟考试(十八)
数学附加题
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A＝，其逆矩阵A－1＝，求A2.
B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l上的两点M，N的极坐标分别为(2，0)，，求直线l被曲线C截得的弦长.
C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝2.求证：＋＋≥1.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点.
(1) 求线段AF的中点M的轨迹方程；
(2) 已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程.
23. (本小题满分10分)
已知数列{an}，a1＝2，且an＋1＝a－an＋1对任意n∈N*恒成立．求证：
(1) an＋1＝anan－1an－2…a2a1＋1(n∈N*)；
(2) an＋1>nn＋1(n∈N*).
