江西省宜春市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷

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江西省宜春市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷

数学试卷 ‎ 一、选择题:本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合 A = {x y = log (x + 1)}, B = ìx Î N 2 + x £ 0ü ,则 A Ç B = ( )‎ ‎ ‎ î þ ‎2 í x - 3 ý A. {0,1, 2} B. (-1, 3)‎ C.{2, 3} D.{1, 2} 2. 用一个平面去截四棱锥,不可能得到( )‎ A.棱锥 B.棱柱 C.棱台 D.四面体 3. 已知圆心(2, -3) ,一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( )‎ A. x2 + y2 - 4x + 6 y + 8 = 0 B. x2 + y2 - 4x + 6 y - 8 = 0‎ C. x2 + y2 - 4x - 6 y = 0 D. x2 + y2 - 4x + 6 y = 0‎ ‎4.若 f (x -1) 的定义域为[1, 2],则 f (x + 2) 的定义域为( ) ‎ A. [0,1] ‎‎ B.[-2, -1] C.[2, 3] D.无法确定 ‎ 5. 已知m, n 是两条不同直线,a , þ , y 是三个不同平面,则下列命题正确的是( )‎ A.若 m / /a ,‎ C.若 m / /a ,‎ n / /a ,则m / /n B.若a ^ y , þ ^ y ,则a / /þ m / /þ ,则a / /þ D.若m ^ a , n ^ a ,则m / /n 6. 已知lg a + lg b = 0 ,则函数 f (x) = ax 与函数 g(x) = log x 的图像可能是( )‎ b ‎2‎ ‎3‎ 7. 一个圆柱的轴截面为正方形,其体积与一个球的体积之比是3 : 2 ,则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为( )‎ ‎2‎ A.1:1 B.1:‎ C. :‎ D. 3 : 2‎ ‎8.已知函数 f (x) = log (-x2 - 2x + 3)(a > 0且a ¹ 1) ,若 f (0) < 0 ,则 ‎ 此函数的单调递减区间是( ) ‎ A. (-¥, -1] B.[-1, +¥ ) C. [-1,1) D. (-3, -1] ‎9.若 x, y 满足 x2 + y2 - 2x + 4 y - 20 = 0 ,则 x2 + y2 的最小值是( )‎ ‎5‎ A. - 5‎ B. 5 - C. 30 - 10‎ D.无法确定 ‎ ‎5‎ ‎5‎ 10. 下列四个说法中,正确的说法有( )个 ‎ ‎①设r > 0 ,则圆(x - 1)2 + (y + 3)2 = r 2 与 x 2 + y 2 = 16 不可能外切; ‎ ‎②集合 A = {x |1 < x < 4}, B={x | x < a} ,若 A † B = B ,则a 的取值范围是[4,+¥) ; ‎ ‎③过点M (-3,5) 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 x - y +8 = 0 ; ‎ ‎5‎ ‎④直线 x + 2 y + 3 = 0 与直线2x + 4 y +1 = 0 的距离是 . ‎ ‎2‎ A.1 B. 2 C. 3 D. 4 11.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出 的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) ‎ ‎2 4‎ A. B.‎ ‎3 3‎ ‎8‎ C. 3 D. 4‎ 主视图 俯视图 侧视图 ‎12.函数 f (x) 的定义域为 D,若满足:① f (x) 在 D 内是单调函数;②存在[m, n] Í D 使 f (x)‎ ê ú 在[m, n] 上的值域为é m , n ù ,那么就称 y = f (x) 为“成功函数”,若函数 ë 2 2 û f (x) = log (ax + t) ,( a > 0且a ¹ 1 )是“成功函数”,则t 的取值范围是( )‎ A.‎ ‎1 1‎ ‎[ , )‎ ‎4 2‎ ‎1‎ B.‎ ‎(0, )‎ ‎4‎ ‎1 1‎ C.‎ ‎( , )‎ ‎4 2‎ ‎1‎ D.‎ ‎(0, ]‎ ‎4‎ 二、选择题:本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分。‎ ‎13.若直线ax + 2 y + 6 = 0 与直线 x + a(a +1) y + a2 -1 = 0 垂直,则实数a = .‎ 14. 若函数 f (x) = lg(ax2 - 2x + 2) 的值域为 R ,则实数a 的取值范围为 .‎ 15. 四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PA ^ 底面 ABCD ,异面直 线 AC 与 PD 所成的角的余弦值为 10 ,则该四棱锥外接球的表面 积为 .‎ ‎5‎ ‎16.已知 f (x) = 3x -1 +1 ,若关于 x 的方程[ f (x)]2 - (2 + a) f (x) + 2a = 0 有三个实根,则 实数a 的取值范围为 .‎ 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(10 分)已知集合 A = {x |‎ ‎3‎ ‎6 - x ³ 1}, B = {x | x 2 - 11x + 18 < 0} .‎ (1) 求CR ( A Ç B) , (CR A) Ç B ;‎ (2) 已知C = {x a < x < 2a + 1},若C Í B ,求实数a 的取值集合.‎ ‎18.(12 分)已知圆C : (x - a)2 + ( y - 2)2 = 4(a > 0) 及直线l : x - y + 3 = 0 ,当直线l 被圆C ‎2‎ 截得的弦长为2 时.‎ (1) 求a 的值;‎ (2) 求过点(3, 5) 并与圆C 相切的切线方程.‎ ‎19.(12 分)如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中, DABC 是等边三角形, AA1 ^ 平面 ABC , AA1 = 3AB , E 是CC1 的中点, F 是 AB 的中点.‎ (1) 求证: CF // 平面 AEB1 ;‎ (2) 求证:平面 AEB1 ^ 平面 AA1B1B ;‎ (3) 若 AA1 = 3 ,求三棱锥 E - AB1B 的体积.‎ ‎20.(12 分)如图,在三棱锥 P - ABC 中, D, E 分别为 AB, PB 的中点,且 ED ^ AB ,‎ PA ^ AC , PC ^ BC .‎ (1) 求证: BC ^ 平面 PAC ;‎ (2) 若 PA = 2BC 且 AB = EA ,三棱锥 P - ABC 的体积为1,求点 B 到平面 DCE 的距离.‎ ‎21.(12 分)已知幂函数 f (x) = (m2 - 2m +1) xm2 -4m+2 在(0, +¥) 上单调递增;‎ (1) 求m 的值并写出 f (x) 的解析式;‎ (2) 试判断是否存在 a > 0 ,使得函数 g(x) = (2a -1)x - af (x) +1 在[-1, 2] 上的值域为 é-4, 17 ù ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.‎ ê 8 úû ‎22.(12 分)已知函数 f (x) = 1- (1) 求a 的值;‎ (2) 求函数 f (x) 的值域;‎ ‎‎ ‎4‎ ‎2ax + a ‎(a > 0且a ¹ 1) 是定义在(-¥, +¥) 上的奇函数.‎ (1) 当 x Î(0,1] 时, t × f ( x) ³ 2x - 2 恒成立,求实数t 的取值范围. ‎ 数学试卷答案 ‎1-12 ABDBD BADCC CB ‎13、 14、 15、 16、‎ ‎17.解:(1)由题意得,,‎ ‎,又 ‎………………………………5分 ‎(2)当时,得,所以 当时,,所以,综上所述:.………………………………10分 ‎18.解:(1)依题意可得圆心,半径,‎ 则圆心到直线的距离,‎ 由勾股定理可知,代入化简得,‎ 解得或,又,所以;……………………………6分 ‎(2)由(1)知圆,圆心坐标为,圆的半径 由到圆心的距离为,得到在圆外,‎ ‎∴①当切线方程的斜率存在时,设方程为 由圆心到切线的距离,‎ 化简得:,可解得,∴切线方程为;……………………………10分 ‎②当过斜率不存在直线方程为与圆相切.‎ 由①②可知切线方程为或.……………………12分 ‎19.解:(1)取的中点为,连接,因为分别为的中点,‎ 所以,且,‎ 所以且,则四边形为平行四边形,所以,‎ 又面,面,所以面;………………………………4分 ‎(2)因为平面,面,所以,‎ 又为正三角形,为的中点,所以,‎ 又,所以面,又,‎ 所以面,‎ 又面,所以平面平面.…………………………8分 ‎(3)由,得,,又,‎ ‎,即到平面的距离为,得 ‎,故三棱锥的体积为.………………………………6分 ‎20.解:(1)因为为中点,为中点,则,‎ ‎,,又,‎ 又,面,面,‎ 所以面,∵面,∴,‎ 因为,且,面,面,‎ 所以面.………………………………5分 ‎(2)设,设点到平面的距离为.‎ 因为且,所以.‎ 因为,分别为,的中点,所以 因为,所以,,‎ 三棱锥的体积为,得………………………………8分 由(1)知,面,且,所以面 因为,所以,而, ,‎ 且,所以,故 所以,故点到平面的距离为………………………………12分 ‎21.解:(1)是幂函数,,解得:或 而在上递增,故,‎ 故………………………………4分 ‎(2)由(1),‎ 因为,所以图像开口向下,对称轴为,‎ 当,即时,由,得出无解………………………………8分 当,即时,由,解得或(舍去)‎ 经检验当时,,符合题意。‎ 所以存在,使得函数在上的值域为.………………………………12分 ‎22.解:(1)是定义在上的奇函数,即恒成立,‎ ‎,即,解得……………………4分 ‎(2),,由知,‎ ‎,即的值域为………………………………8分 ‎(3)不等式即为,‎ 即:‎ 设,,‎ 时,恒成立 ‎,解得 故的取值范围是………………………………12分
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