山东省济宁市曲阜市第一中学2020届高三三模考试数学试卷

山东省济宁市曲阜市第一中学2020届高三三模考试数学试卷

数学 ‎1．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号在答题卡上涂写清楚；‎ ‎2．第I卷，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案母号，在试题卷上作答无效．‎ 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共，40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1．已知集合 A. B. C. D.‎ ‎2．i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为 A.i B. C. D.1‎ ‎3．设是非零向量，“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．在的展开式中，常数项为 A． B. C． D．‎ ‎5．函数的图象大致为 ‎6．设则有 A． B． C． D．‎ ‎7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积V，求这个球的直径d的近似公式，即．随着人们对圆周率π 值的认知越来越精确，还总结出了其他类似的近似公式．若取，试判断下列近似公式中最精确的一个是 A. B. C. D. ‎ ‎8．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为 A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．下列说法正确的是 A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B．某地气象局预报：‎6月9日本地降水概率为90％，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学 C．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位 ‎10．线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且．则 A．DF∥平面BCE B．异面直线BF与DC所成的角为30°‎ C．△EFC为直角三角形 D．‎ ‎11．已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，下列关于结论正确的是 A． B．的一个周期是 C．在上单调递减 D．的最大值大于 ‎12．已知直线分别与函数的图象交于点，则下列结论正确的是 A． B. ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知__________．‎ ‎14．在平行四边形ABCD中，‎ ‎，则__________.‎ ‎15．5人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是__________．(用数字作答)；5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________(用数字作答)(本题第一空2分，第二空3分)‎ ‎16．设双曲线的左、右焦点分别为作 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为且满足，若在双曲线C的右支上存在点P使得成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(10分)如图，在四边形ABCD中，，___________，DC=2‎ 在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)‎ ‎①；②；‎ ‎③‎ ‎(I)求的大小；‎ ‎(Ⅱ)求△ADC面积的最大值．‎ ‎18．(12分)如图1，四边形ABCD为矩形，BC=2AB，E为AD的中点，将△ABE、△DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面平面BCE，平面平面BCE．‎ ‎(I)求证：平面平面DCE；‎ ‎(II)若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．‎ ‎19．(12分)已知数列的各项均为正数，其前项和．‎ ‎(I)求数列的通项公式an；‎ ‎(Ⅱ)设；若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求区间(0，2020)内所有“优化数”的和S．‎ ‎20．(12分)过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成．到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和．2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”．为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：‎ ‎(I)设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；‎ ‎(Ⅱ)若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率；‎ ‎(Ⅲ)2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元．假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫?并说明理由．‎ ‎21．(12分)已知点F为椭圆的右焦点，点A为椭圆的右顶点．‎ ‎(I)求过点F、A且和直线相切的圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)过点F任作一条不与轴重合的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线相交于点M，N．试证明：以线段MN为直径的圆恒过点F．‎ ‎22．(12分)已知函数．‎ ‎(I)若曲线处的切线方程为，求的值；‎ ‎(Ⅱ)求函数的极值点；‎ ‎(Ⅲ)设，若当时，不等式恒成立，求的最小值．‎ ‎ ‎ 数学参考答案 一、单项选择题（每小题5分，共40分）‎ ‎1—4：BCCA 5—8：CADB 二、多项选择题（每小题5分，共20分）‎ ‎9.CD 10.BD 11.ABD 12ABC 三、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14.21 15.72 16. ‎ ‎（注：15题第一个空2分，第二个空3分）.‎ 四、解答题 ‎17.（10分）（I）解：若选①在，由正弦定理可得：‎ ‎………………………………………………………………………………………………1分 又可得：………………3分 又；…………………………………4分 ‎（II）在，由余弦定理可得：‎ ‎…………………………………………6分 即……………………………………………………………………………8分 ‎…………………………………10分 当且仅当时取“=”‎ 若选择②‎ ‎（I）由可得：，………………………………2分 又所以；…………………………………4分 ‎（II）在，由余弦定理可得：‎ ‎…………………………………………6分 即……………………………………………………………………………8分 ‎…………………………………10分 当且仅当时取“=”.‎ 若选③（I），由正弦定理得：‎ ‎………………………………1分 可得：，………………………………………3分 又所以；………………………………4分 ‎（II）在，由余弦定理可得：‎ ‎………………………………………6分 即…………………………………………………………………………8分 ‎………………………………10分 当且仅当时取“=”‎ ‎18.（12分）解：（I）证明：在图1中，BC=2AB，且E为AB的中点，，同理所以，‎ ‎………………………………………………………………………………………………2分 又平面平面BCE，平面平面，‎ 所以平面ABE，……………………………………………………………………4分 又，所以平面平面DCE……………………………………5分 ‎（II）由题意可知以E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设 则 ‎………………………………………………………………………………………………6分 向量，设平面ADE的法向量为 由，‎ 得平面ADE的一个法向量为，…………8分 又…………………………………10分 设直线FA与平面ADE所成角为，‎ 则 直线FA与平面ADE所成角的正弦值为……………………………………………12分 ‎19.（12分）解：（I）由数列的前知 当 ‎，所以…………………………………………………2分 当 整理得：‎ 因为，所以有…………………………………………………4分 所以数列是首项，公差的等差数列 数列的通项公式为…………………………………………6分 ‎（II）由知：‎ 数列的前项和为 ‎………………………………………8分 令 则有 由……………………………………………10分 所以区间内所有“优化数”的和为 ‎………………12分 ‎20.（12分）解：（I）由题意知：‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以X的所有可能取值为：23000，17000，12500……………………………………1分 设A表示事件“作物产量为900kg”，则；‎ B表示事件“作物市场价格为15元/kg”，则.‎ 则：……………………………6分 ‎………3分 ‎，…………………………………………4分 所以X的分布列为：‎ ‎………………………………………………………………………………………………5分 ‎（II）设C表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于16000元”，‎ 则，…6分 设这三年中有Y年的纯收入不少于16000元，‎ 则有：………………………………………………………………………7分 所以这三年中至少有两年的纯收入不少于16000元的概率为 ‎.…………………………………9分 ‎（III）由（I）知，2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为 ‎（元）…………………10分 ‎……………………………………………………………………………11分 凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，‎ 所以，能预测该农户在2020年底可以脱贫。…………………………………………12分 ‎21.（12分）解：（I）由已知得：‎ ‎…………………………………………………………………………1分 圆C的圆心一定在线段AF中垂线上……………………………………2分 由圆C与直线相切，得：圆C的半径………………………………3分 设圆C的圆心坐标为，则有：‎ ‎，‎ 即圆心………………………………………………………………………4分 圆C的方程为：…………………………………………5分 ‎（II）证明：当直线斜率不存在时，其方程为，可求得M,N两点坐标分别为 的斜率之积为：‎ ‎.………………………………………………………………………………6分 当直线斜率存在时，设直线的方程为：‎ 联立方程组：，‎ 消去整理得：‎ ‎……………………………………………………8分 又设 由P,A,M共线得：，‎ 由Q,A,N共线得：，……………………………………9分 所以FM,FN的斜率之积为：‎ ‎……10分 ‎………………………………………………………………………………11分 综上可知：恒有.‎ 以线段MN为直径的圆恒过点F.………………………………………………………12分 ‎22.（12分）解：（I）由 ‎………………………………………………………………………1分 由已知可得：………………………………………………2分 ‎………………………………………………………………………………3分 ‎（II）‎ ‎…………………………………4分 所以：当上为增函数，无极值点……‎ ‎………………………………………………………………………………………………5分 当时，‎ 则有：当，‎ 为减函数，在上为增函数，‎ 所以，极小值点，无极大值点；………………………………………6分 综上可知：当时，函数无极值点， ‎ 当时，函数的极小值点是，无极大值点。…………………………7分 ‎（III）‎ 由题意知：当恒成立 又不等式等价于：‎ 即 ①………………………………………………………………………8分 方法（一）‎ ‎①式等价于…………………………………………………………………9分 由 令，则原不等式即为：‎ 又在上为增函数 所以，原不等式等价于：， ②‎ 又②式等价于，说即：……………………………………10分 方法（二）‎ 由 知：①式等价于 即：……………………………………………………………9分 设，则原不等式即为：‎ 又上为增函数 所以，原不等式等价于：， ②‎ 又②式等价于，亦即：……………………………………10分 方法（一）‎ 设 上为增函数，在上为减函数，‎ 又 当上为增函数，在上为减函数 ‎………………………………………………………………………11分 要使原不等式恒成立，须使，‎ 当时，则在上为减函数，‎ 要使原不等式恒成立，须使，‎ 时，原不等式恒成立 综上可知：的取值范围是 所以，的最小值为.……………………………………………………………………12分 方法（二）‎ 又②式等价于：……………………………………10分 设 上为增函数，在上为减函数，‎ 又 当上为增函数，在上为减函数 ‎……………………………………………………………………11分 要使原不等式恒成立，须使 当上为减函数，‎ 要使原不等式恒成立，须使 又时不等式成立 综上可知：‎ 所以，的最小值为.……………………………………………………………………12分