江西省宜春市靖安中学2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试卷

江西省宜春市靖安中学2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试卷

数学试题 理 时间： 120分钟 分值：150分 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若命题：，，则该命题的否定是（ ）‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎2．公比为的等比数列的各项都是正数，且则（ ）‎ A． B． C． D． ‎3．已知椭圆上的一点到左焦点的距离为6，则点到右焦点的距离为（ ）‎ A．4 B．6 C．7 D．14‎ ‎4．已知，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5．已知且满足,则的最小值为( )‎ A.2 B.3 C.4 D.1‎ ‎6．椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值是 （ ）‎ ‎ A B C 5 D 9‎ ‎7．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） ‎ ‎ A．4 B． C． D．‎ ‎8．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DC、AB、CC1‎ 的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎9．已知数列与的前项和分别为，，且,‎ ‎，对任意的恒成立，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知实数满足，若 取得最大值的最优解有无数个，则的值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎11.如图在棱长均为2的正四棱锥中，点为中点，则下列命题正确的是（ ）‎ A．面，且直线到面距离为 B．面，且直线到面距离为 C．不平行于面，且与平面所成角大于 D．不平行于面，且与平面所成角小于 ‎12． 已知椭圆方程为（）,F(-c,0)和F(c,0)分别是椭圆的左 右焦点.‎ ①若P是椭圆上的动点,延长到M,使=,则M的轨迹是圆；‎ ②若P是椭圆上的动点,则；‎ ③以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切；‎ ④点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为S=b2tan(/2)‎ 以上说法中，正确的有 ( )‎ A ①③④ B ①③ C ②③④ D ③④‎ 二．填空题 （20分）‎ ‎13. ．已知等差数列的前项和为，，，则的前项和为 ‎ ‎14已知直线，平分圆的周长，则取最小值时，双曲线的离心率为 。‎ ‎15．已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且则的最小值是______________‎ ‎16．下列命题正确的有_________（填序号）‎ ‎①已知或，，则是的充分不必要条件；‎ ‎②“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③中，内角所对的边分别为，则“”是“为等腰三角形”的必要不充分条件 ‎④若命题“函数的值域为”为真命题，则实数的取值范围是.‎ 三．解答题 ‎17. （10分）已知命题：关于x的不等式对一切恒成立；命题：函数是减函数，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎18.（12分）已知直三棱柱中, , ， 是和的交点, 若. ‎ ‎（1）求的长（6分） ‎ ‎（2）C B A1‎ G C B A 求二面角的平面角的余弦值的大小.（6分）‎ ‎19.（12分）已知设是单调递减的等比数列的前项和，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式； （6分）‎ ‎（2）记数列的前项和为，求证：对于任意正整数， （6分）‎ ‎20．（12分）双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线方程是，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(a，0)，B(0，－b)．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；（5分）‎ ‎（Ⅱ）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求 时，直线MN的方程．（7分）‎ ‎21. 如图，一个正和一个平行四边形在同一个平面内，其中，的中点分别为. 现沿直线将翻折成，使二面角为，设中点为.‎ ‎(Ⅰ) (i)求证：平面平面（4分）‎ ‎(ii)求异面直线与所成角的正切值（4分）‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值（4分）‎ ‎22. （12分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（），且点F（，0）为其右焦点。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；（4分）‎ ‎（2）是否存在直线l与椭圆C交于B，D两点，满足，且原点到直线l的距离为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. （8分）‎ 数学（理）答案 一．选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B D A C B B A C B D ‎ A 二．填空题 ‎13． 14. 15. 16. ② ‎ 三．解答题 ‎17. 设g（x）＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0 所以－21，即a<2．所以命题q：a<2 ∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p和q一真一假 ‎（1）若p为真命题，q为假命题，则，此不等式组无解（2）若p为假命题，q为真命题，则，解得．综上，实数a的取值范围是（－∞，－2]‎ ‎18. 解：解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 …………… 6分 ‎(2)易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB CHE为二面角C－AB－C的平面角. ………… 9分 cosCHE=二面角C－AB－C的平面角的余弦大小为……… 12分 解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －)‎ ‎=(2, －, －), =(0, －3, －h) ……… 4分 ‎·=0, h=3…………… 6分 ‎(2)设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1) ‎ 二面角C－AB－C的大小满足cos== ……… 12分 ‎19. （1）设数列的公比,由，‎ 得， ……………………2分 即 是单调递减数列， ………………4分 ‎ …………………6分 ‎（2）由（1）知， ………………………………………………7分 所以 ，①‎ ‎，②‎ ‎②-①得：，<2，…………12分 ‎20. .(1)设直线AB：，由题意，‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)得B(0，－3)，B1(0，3)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN：y＝kx－3，‎ ‎21. 解法一：(Ⅰ) (i)证明：连. 因为为平行四边形，分别为中点，‎ 所以为平行四边形，所以. ----------------------1分 又分别为的中点，所以. ------------------2分 ‎ 平面，平面，所以平面，平面，而平面，所以平面平面.---------------4分 ‎ ‎ ‎(ii)因为，所以或其补角即为异面直线与所成的角.-----------5分 ‎ 因为为正三角形，，为中点，所以，从而平面，而，所以平面，因为平面，所以.-------------6分 ‎ 由条件易得，又为二面角的平面角，所以，所以，‎ 所以.---------------------8分 ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)的(ii)知平面，即，所以即为二面角的平面角.-----------------------------------10分 ‎.---------------12分 解法二：(Ⅰ) (i)同解法一；‎ ‎ (ii) 因为为正三角形，，为中点，所以，从而为二面角的平面角且平面，而平面，所以平面平面. ‎ ‎ 作平面于，则在直线上，又由二面角的平面角为，故在线段的延长线上. 由得.--------4分 ‎ 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，则由上述及已知条件得各点坐标为，，，，，所以，.---------------6分 所以异面直线与所成角的余弦值为，‎ 从而其正切值为.------------ 8分 ‎ (Ⅱ) 由(Ⅰ)的(ii)知，设平面的法向量为，则由，得 令，得.-----------10分 又平面的一个法向量为，而二面角为锐二面角，所以二面角 的余弦为.-------------12分 ‎22. 解：（1）设椭圆C的方程为，则左焦点为，‎ 在直角三角形中，可求，∴，‎ 故椭圆C的方程为．-----------------------------------4分 ‎（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为，由原点到l的距离为得：‎ ‎． ‎ 联立方程，得．‎ 则，，． ‎ 设，，‎ 则，‎ 解得． -----------------------------------------10分 当斜率不存在时，l的方程为，易求得.‎ 综上，不存在符合条件的直线． ----------------------------------12分