高考数学专题复习（精选精讲）练习2-指数函数习题精选精讲

高考数学专题复习（精选精讲）练习2-指数函数习题精选精讲

指数函数 ‎　　指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．‎ ‎　　1．比较大小 ‎　　例1　已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．‎ ‎　　分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内．‎ ‎　　解：∵，‎ ‎　　∴函数的对称轴是．‎ ‎　　故，又，∴．‎ ‎　　∴函数在上递减，在上递增．‎ ‎　　若，则，∴；‎ ‎　　若，则，∴．‎ ‎　　综上可得，即．‎ ‎　　评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．‎ ‎　　2．求解有关指数不等式 ‎　　例2　已知，则x的取值范围是___________．‎ ‎　　分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．‎ ‎　　解：∵，‎ ‎　　∴函数在上是增函数，‎ ‎　　∴，解得．∴x的取值范围是．‎ ‎　　评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．‎ ‎　　3．求定义域及值域问题 ‎　　例3　求函数的定义域和值域．‎ ‎　　解：由题意可得，即，‎ ‎　　∴，故． ∴函数的定义域是．‎ ‎　　令，则，‎ ‎　　又∵，∴． ∴，即．‎ ‎　　∴，即．‎ ‎　　∴函数的值域是．‎ ‎　　评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．‎ ‎　　4．最值问题 ‎　　例4　函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．‎ ‎　　分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．‎ ‎　　解：令，则，函数可化为，其对称轴为．‎ ‎　　∴当时，∵，‎ ‎　　∴，即．‎ ‎　　∴当时，．‎ ‎　　解得或（舍去）；‎ ‎　　当时，∵，‎ ‎　　∴，即，‎ ‎　　∴ 时，，‎ ‎　　解得或（舍去），∴a的值是3或．‎ ‎　　评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．‎ ‎　　5．解指数方程 ‎　　例5　解方程．‎ ‎　　解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．‎ ‎　　评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．‎ ‎　　6．图象变换及应用问题 ‎　　例6　为了得到函数的图象，可以把函数的图象（　　）．‎ ‎　　A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 ‎　　B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 ‎　　C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 ‎　　D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 ‎　　分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．‎ ‎　　解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．‎ ‎　　评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．‎ 习题 ‎1、比较下列各组数的大小：‎ ‎　　（1）若 ，比较 与 ；‎ ‎　　（2）若 ，比较 与 ；‎ ‎　　（3）若 ，比较 与 ；‎ ‎　　（4）若 ，且 ，比较a与b；‎ ‎　　（5）若 ，且 ，比较a与b．‎ ‎　　　解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．‎ ‎　　（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．‎ ‎　　（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．‎ ‎　　（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．‎ ‎　　（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．‎ ‎　　小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．‎ ‎2曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 (  ).‎ ‎　　   ‎ ‎　　 ‎ ‎　　 ‎ ‎　　( ‎ ‎　　分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .‎ ‎　　小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.‎ 求最值 ‎3 求下列函数的定义域与值域.‎ ‎(1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1.‎ 解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，‎ ‎∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.‎ ‎(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.‎ ‎∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.‎ ‎4 已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值 解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。‎ ‎5、设 ，求函数 的最大值和最小值．‎ ‎　　分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．‎ ‎　　解：设 ，由 知， ‎ ‎　　 ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为 ．‎ ‎6（9分）已知函数在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.‎ ‎．解： ， 换元为，对称轴为.‎ 当，，即x=1时取最大值，略 解得 a=3 (a= －5舍去)‎ ‎7．已知函数 （ 且 ）‎ ‎　　（1）求 的最小值；  （2）若 ，求 的取值范围．‎ ‎．解：（1） ， 当 即 时， 有最小值为 ‎ ‎　　（2） ，解得 ‎ ‎　　当 时， ；‎ ‎　　当 时， ．‎ ‎8（10分）（1）已知是奇函数，求常数m的值；‎ ‎ （2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无 解？有一解？有两解？‎ 解： （1）常数m=1‎ ‎（2）当k<0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;‎ 当k=0或k1时, 直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解;‎ ‎ 当00且a≠1).‎ ‎(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.‎ 解：(1)易得f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝.‎ 设y＝,解得ax＝-①∵ax>0当且仅当->0时，方程①有解.解->0得-11时，∵ax+1为增函数，且ax+1>0.‎ ‎∴为减函数，从而f(x)＝1-＝为增函数.2°当01)的图像是( )‎ 分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.‎ 解法1：(分类讨论)：‎ 去绝对值，可得y＝‎ 又a>1，由指数函数图像易知，应选B.‎ 解法2：因为y＝a｜x｜是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝ax是增函数；x＜0时，y＝a-x是减函数.‎ ‎∴应选B.‎