2016年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 山东文科数学 ‎1.(2016山东,文1)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　‎ A.{2,6} B.{3,6}‎ C.{1,3,4,5} D.{1,2,4,6}‎ 答案A　由已知可得A∪B={1,3,4,5},故∁U(A∪B)={2,6}.‎ ‎2.(2016山东,文2)若复数z=‎2‎‎1-i,其中i为虚数单位,则z=(　　)‎ A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 答案B　z=‎2‎‎1-i‎=‎‎2(1+i)‎‎(1-i)(1+i)‎=1+i,故z=1-i.‎ ‎3.(2016山东,文3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)‎ A.56 B.60 C.120 D.140‎ 答案D　由频率分布直方图可知,这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的频率　为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故该区间内的人数为200×0.7=140.故选D.‎ ‎4.(2016山东,文4)若变量x,y满足x+y≤2,‎‎2x-3y≤9,‎x≥0,‎则x2+y2的最大值是(　　)‎ A.4 B.9 C.10 D.12‎ 答案C　如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),设可行域内任一点P(x,y),则x2+y2的几何意义　为|OP|2.显然,当P与A重合时,取得最大值.‎ 由x+y=2,‎‎2x-3y=9,‎解得A(3,-1).‎ 所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.‎ ‎5.(2016山东,文5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎‎+‎‎2‎‎3‎π B.‎1‎‎3‎‎+‎‎2‎‎3‎π C.‎1‎‎3‎‎+‎‎2‎‎6‎π D.1+‎2‎‎6‎π 答案C　由三视图可知,四棱锥为底面边长为1的正方形,高为1.‎ 其体积V1=‎1‎‎3‎×12×1=‎1‎‎3‎.‎ 设球的半径为R,因为四棱锥的底面是半球底面的内接正方形　,故2R=‎2‎,即R=‎2‎‎2‎.‎ 所以半球的体积为V2=‎1‎‎2‎‎×‎‎4π‎3‎R3=‎1‎‎2‎‎×‎4π‎3‎×‎2‎‎2‎‎3‎=‎‎2‎π‎6‎.‎ 故该几何体的体积为V=V1+V2=‎1‎‎3‎‎+‎‎2‎π‎6‎.故选C.‎ ‎6.(2016山东,文6)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案A　若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.‎ 又因为a⊆α,b⊆β,‎ 所以P∈α,P∈β.‎ 故α,β相交.‎ 反之,若α,β相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交　时,则有a∥b.‎ 显然a,b可能相交,也可能异面或平行.‎ 综上,“直线a,b相交”是“平面α,β相交”的充分不必要条件.‎ ‎7.(2016山东,文7)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2‎2‎.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 答案B　圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.‎ 所以圆心到直线x+y=0的距离d=‎|0+a|‎‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎a.‎ 所以直线x+y=0被圆M所截弦长　为2R‎2‎‎-‎d‎2‎=2a‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎a‎2‎‎=‎‎2‎a,‎ 由题意可得‎2‎a=2‎2‎,故a=2.‎ 圆N的圆心N(1,1),半径r=1.‎ 而|MN|=‎(1-0‎)‎‎2‎+(1-2‎‎)‎‎2‎‎=‎‎2‎,‎ 显然R-r<|MN|‎1‎‎2‎时,fx+‎‎1‎‎2‎=fx-‎‎1‎‎2‎,则f(6)=(　　)‎ A.-2 B.-1 C.0 D.2‎ 答案D　由题意可知,当-1≤x≤1时,f(x)为奇函数　;‎ 当x>‎1‎‎2‎时,由fx+‎‎1‎‎2‎=fx-‎‎1‎‎2‎可得f(x+1)=f(x).‎ 所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).‎ 而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.‎ 所以f(6)=2.故选D.‎ ‎10.(2016山东,文10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)‎ A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3‎ 答案A　设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ 则由导数几何意义　可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2),‎ 若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.‎ A项,f'(x)=cos x,显然k1·k2=cos x1·cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;‎ B项,f'(x)=‎1‎x(x>0),显然k1·k2=‎1‎x‎1‎‎·‎‎1‎x‎2‎=-1无解,故该函数不具有性质T;‎ C项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2=ex‎1‎‎·‎ex‎2‎=-1无解,故该函数不具有性质T;‎ D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3x‎1‎‎2‎×3x‎2‎‎2‎=-1无解,故该函数不具有性质T.‎ 综上,选A.‎ ‎11.(2016山东,文11)执行下边的程序框图,若输入n的值为3,则输出的S的值为　　　　　. ‎ 答案1‎ 解析开始:i=1,S=0,‎ 第一次运算:S=0+‎1+1‎‎-‎1‎=‎‎2‎-1,‎ 显然1≥3不成立,所以i=1+1=2;‎ 第二次运算:S=(‎2‎-1)+‎2+1‎‎-‎2‎=‎‎3‎-1,‎ 显然2≥3不成立,所以i=2+1=3;‎ 第三次运算:S=(‎3‎-1)+‎3+1‎‎-‎‎3‎=2-1=1,‎ 因为3≥3成立,所以输出S=1.‎ ‎12.(2016山东,文12)观察下列等式:‎ sinπ‎3‎‎-2‎‎+sin‎2π‎3‎‎-2‎=‎‎4‎‎3‎‎×1×2;‎ sinπ‎5‎‎-2‎‎+sin‎2π‎5‎‎-2‎+sin‎3π‎5‎‎-2‎+sin‎4π‎5‎‎-2‎=‎‎4‎‎3‎‎×2×3;‎ sinπ‎7‎‎-2‎‎+sin‎2π‎7‎‎-2‎+‎sin‎3π‎7‎‎-2‎‎+…+sin‎6π‎7‎‎-2‎‎=‎‎4‎‎3‎×3×4;‎ sinπ‎9‎‎-2‎‎+sin‎2π‎9‎‎-2‎+‎sin‎3π‎9‎‎-2‎‎+…+sin‎8π‎9‎‎-2‎‎=‎‎4‎‎3‎×4×5;‎ ‎……‎ 照此规律:sinπ‎2n+1‎‎-2‎‎+sin‎2π‎2n+1‎‎-2‎+‎sin‎3π‎2n+1‎‎-2‎+…+sin‎2nπ‎2n+1‎‎-2‎=　　　　　. ‎ 答案‎4‎‎3‎n(n+1)‎ 解析由等式可知,等式右边共三个数　相乘,第一个数都是‎4‎‎3‎;‎ 而所给等式就是第n个式子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n;‎ 第三个数比第2个数大1,所以第3个数为n+1.‎ 所以第n个式子等号右边为‎4‎‎3‎n(n+1).‎ ‎13.(2016山东,文13)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为　　　　　. ‎ 答案-5‎ 解析由a⊥(ta+b)可得a·(ta+b)=0,‎ 所以ta2+a·b=0,‎ 而a2=12+(-1)2=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,所以有t×2+10=0,解得t=-5.‎ ‎14.(2016山东,文14)已知双曲线E:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　　. ‎ 答案2‎ 解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.‎ 设AB,CD的中点分别为M,N,如图,‎ 则在Rt△BMN中,MN=2,‎ 故BN=BM‎2‎+MN‎2‎‎=‎3‎‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎.‎ 由双曲线的定义　可得2a=BN-BM=‎5‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎=1,‎ 而2c=MN=2,‎ 所以双曲线的离心率e=‎2c‎2a=2.‎ ‎15.(2016山东,文15)已知函数f(x)=‎|x|,x≤m,‎x‎2‎‎-2mx+4m,x>m,‎其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　　. ‎ 答案(3,+∞)‎ 解析当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.‎ 其所在抛物线的顶点为P(m,4m-m2).‎ 函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点为Q(m,m).‎ ‎(分类讨论　)‎ ‎(1)点P在点Q的上方或与Q点重合时,即4m-m2≥m,也就是m(m-3)≤0时,解得0≤m≤3,又因为m>0,所以00时,解得m<0或m>3,又因为m>0,所以m>3.‎ 此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多可有三个交点,符合题意.‎ 所以m>3.‎ ‎16.(2016山东,文16)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:‎ ‎①若xy≤3,则奖励玩具一个;‎ ‎②若xy≥8,则奖励水杯一个;‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶.‎ 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.‎ ‎(1)求小亮获得玩具的概率;‎ ‎(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.‎ 解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.‎ 因为S中元素的个数是4×4=16,‎ 所以基本事件总数　n=16.‎ ‎(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).‎ 所以P(A)=‎5‎‎16‎,即小亮获得玩具的概率为‎5‎‎16‎.‎ ‎(2)记“xy≥8”为事件B,“3‎‎5‎‎16‎,‎ 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ ‎17.(2016山东,文17)设f(x)=2‎3‎sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π‎3‎个单位,得到函数y=g(x)的图象,求gπ‎6‎的值.‎ 解(1)由f(x)=2‎3‎sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2‎ ‎=2‎3‎sin2x-(1-2sin xcos x)‎ ‎=‎3‎(1-cos 2x)+sin 2x-1‎ ‎=sin 2x-‎3‎cos 2x+‎3‎-1‎ ‎=2sin‎2x-‎π‎3‎‎+‎‎3‎-1,‎ 由2kπ-π‎2‎≤2x-π‎3‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 得kπ-π‎12‎≤x≤kπ+‎5π‎12‎(k∈Z),‎ 所以f(x)的单调递增区间是kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎(k∈Z)或kπ-π‎12‎,kπ+‎‎5π‎12‎(k∈Z)‎.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=2sin‎2x-‎π‎3‎‎+‎‎3‎-1,‎ 把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)　,得到y=2sinx-‎π‎3‎‎+‎‎3‎-1的图象,再把得到的图象向左平移　π‎3‎个单位,得到y=2sin x+‎3‎-1的图象,即g(x)=2sin x+‎3‎-1.‎ 所以gπ‎6‎=2sinπ‎6‎‎+‎‎3‎-1=‎3‎.‎ ‎18.‎ ‎(2016山东,文18)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.‎ ‎(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB;‎ ‎(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.‎ 证明 ‎(1)因为EF∥DB,‎ 所以EF与DB确定平面BDEF.‎ 连接DE.‎ 因为AE=EC,D为AC的中点,‎ 所以DE⊥AC.‎ 同理可得BD⊥AC.‎ 又BD∩DE=D　,所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF,‎ 所以AC⊥FB.‎ ‎(2)设FC的中点为I,连接GI,HI.‎ 在△CEF中,因为G是CE的中点,所以GI∥EF.‎ 又EF∥DB,所以GI∥DB.‎ 在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.‎ 又HI∩GI=I　,所以平面GHI∥平面ABC.‎ 因为GH⊂平面GHI　,所以GH∥平面ABC.‎ ‎19.(2016山东,文19)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)令cn=‎(an+1‎‎)‎n+1‎‎(bn+2‎‎)‎n,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解(1)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1　=6n+5,‎ 当n=1时,a1=S1=11,符合上式.‎ 所以an=6n+5.‎ 设数列{bn}的公差为d.‎ 由a‎1‎‎=b‎1‎+b‎2‎,‎a‎2‎‎=b‎2‎+b‎3‎,‎即‎11=2b‎1‎+d,‎‎17=2b‎1‎+3d,‎ 可解得b1=4,d=3,所以bn=3n+1.‎ ‎(2)由(1)知cn=‎(6n+6‎‎)‎n+1‎‎(3n+3‎‎)‎n=3(n+1)·2n+1.‎ 又Tn=c1+c2+…+cn,‎ 得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],‎ ‎2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],　‎ 两式作差,得 ‎-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×‎4+‎4(1-‎2‎n)‎‎1-2‎-(n+1)×‎‎2‎n+2‎=-3n·2n+2,‎ 所以Tn=3n·2n+2.‎ ‎20.(2016山东,文20)设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.‎ ‎(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;‎ ‎(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.‎ 解(1)由f'(x)　=ln x-2ax+2a,‎ 可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).‎ 则g'(x)=‎1‎x-2a=‎1-2axx,‎ 当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;‎ 当a>0时,x∈‎0,‎‎1‎‎2a时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈‎1‎‎2a‎,+∞‎时,函数g(x)单调递减.‎ 所以当a≤0时　,g(x)的单调增区间为(0,+∞);‎ 当a>0时　,g(x)单调增区间为‎0,‎‎1‎‎2a,单调减区间为‎1‎‎2a‎,+∞‎.‎ ‎(2)由(1)知,f'(1)=0.‎ ‎①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.‎ 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.‎ 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.‎ ‎②当01,由(1)知f'(x)在‎0,‎‎1‎‎2a内单调递增,‎ 可得当x∈(0,1)时,f'(x)<0,x∈‎1,‎‎1‎‎2a时,f'(x)>0.‎ 所以f(x)在(0,1)内单调递减,在‎1,‎‎1‎‎2a内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.‎ ‎③当a=‎1‎‎2‎时,‎1‎‎2a=1,f'(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,‎ 所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.‎ ‎④当a>‎1‎‎2‎时,0<‎1‎‎2a<1,当x∈‎1‎‎2a‎,1‎时,f'(x)>0,f(x)单调递增,‎ 当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,‎ 所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.‎ 综上可知,实数a的取值范围为a>‎1‎‎2‎.‎ ‎21.(2016山东,文21)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.‎ ‎①设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明k'‎k为定值;‎ ‎②求直线AB的斜率的最小值.‎ 解(1)设椭圆的半焦距为c.‎ 由题意知2a=4,2c=2‎2‎,‎ 所以a=2,b=a‎2‎‎-‎c‎2‎‎=‎‎2‎.‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)①设P(x0,y0)(x0>0,y0>0).‎ 由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).‎ 所以直线PM的斜率k=‎2m-mx‎0‎‎=‎mx‎0‎,‎ 直线QM的斜率k'=‎-2m-mx‎0‎=-‎3mx‎0‎.‎ 此时k'‎k=-3.所以k'‎k为定值-3.‎ ‎②设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 直线PA的方程为y=kx+m,‎ 直线QB的方程为y=-3kx+m.‎ 联立y=kx+m,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1,‎　‎ 整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.‎ 由x0x1=‎2m‎2‎-4‎‎2k‎2‎+1‎,可得x1=‎2(m‎2‎-2)‎‎(2k‎2‎+1)‎x‎0‎,‎ 所以y1=kx1+m=‎2k(m‎2‎-2)‎‎(2k‎2‎+1)‎x‎0‎+m,‎ 同理x2=‎2(m‎2‎-2)‎‎(18k‎2‎+1)‎x‎0‎,y2=‎-6k(m‎2‎-2)‎‎(18k‎2‎+1)‎x‎0‎+m.‎ 所以x2-x1=‎2(m‎2‎-2)‎‎(18k‎2‎+1)‎x‎0‎‎-‎2(m‎2‎-2)‎‎(2k‎2‎+1)‎x‎0‎=‎‎-32k‎2‎(m‎2‎-2)‎‎(18k‎2‎+1)(2k‎2‎+1)‎x‎0‎,‎ y2-y1=‎-6k(m‎2‎-2)‎‎(18k‎2‎+1)‎x‎0‎+m-‎2k(m‎2‎-2)‎‎(2k‎2‎+1)‎x‎0‎-m=‎-8k(6k‎2‎+1)(m‎2‎-2)‎‎(18k‎2‎+1)(2k‎2‎+1)‎x‎0‎,‎ 所以kAB=y‎2‎‎-‎y‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎‎=‎6k‎2‎+1‎‎4k=‎‎1‎‎4‎‎6k+‎‎1‎k.‎ 由m>0,x0>0,可知k>0,‎ 所以6k+‎1‎k≥2‎6‎　,等号当且仅当k=‎6‎‎6‎时取得.‎ 此时m‎4-8‎m‎2‎‎=‎‎6‎‎6‎,即m=‎14‎‎7‎,符合题意.‎ 所以直线AB的斜率的最小值为‎6‎‎2‎.‎