2013年重庆市高考数学试卷（理科）

2013年重庆市高考数学试卷（理科）

‎2013年重庆市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}‎ ‎2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）‎ A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0‎ C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0‎ ‎3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（　　）‎ A．9 B． C．3 D．‎ ‎4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）‎ A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8‎ ‎5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．200 D．240‎ ‎6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+‎ ‎（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（　　）‎ A．（a，b）和（b，c）内 B．（﹣∞，a）和（a，b）内 C．（b，c）和（c，+∞）内 D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内 ‎7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2 D．‎ ‎8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9‎ ‎9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（　　）‎ A． B． C． D．2﹣1‎ ‎10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=　　．‎ ‎12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=　　．‎ ‎13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　　（用数字作答）．‎ ‎　‎ ‎14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：‎ ‎14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为　　．‎ ‎15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=　　．‎ ‎16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．‎ ‎（1）确定a的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：‎ 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 ‎3红1蓝 ‎200元 二等奖 ‎3红0蓝 ‎50元 三等奖 ‎2红1蓝 ‎10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．‎ ‎（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；‎ ‎（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．‎ ‎19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．‎ ‎（1）求PA的长；‎ ‎（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．‎ ‎20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．‎ ‎21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．‎ ‎22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．‎ ‎（1）求集合P7中元素的个数；‎ ‎（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．‎ ‎　‎ ‎2013年重庆市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}‎ ‎【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．‎ ‎【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，‎ ‎∴A∪B={1，2，3}，‎ ‎∵全集U={1，2，3，4}，‎ ‎∴∁U（A∪B）={4}．‎ 故选D ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）‎ A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0‎ C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（　　）‎ A．9 B． C．3 D．‎ ‎【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤‎ ‎3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，‎ 即可得到所求式子的最大值．‎ ‎【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f（a）的最大值为 ，‎ 故（﹣6≤a≤3）的最大值为 =，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）‎ A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8‎ ‎【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．‎ ‎【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；‎ ‎∴y=8；‎ 甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，‎ ‎∴x=5．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．200 D．240‎ ‎【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．‎ ‎【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，‎ 由图知V==200．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•重庆）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（　　）‎ A．（a，b）和（b，c）内 B．（﹣∞，a）和（a，b）内 C．（b，c）和（c，+∞）内 D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内 ‎【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．‎ ‎【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，‎ 由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；‎ 又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，‎ 因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•重庆）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2 D．‎ ‎【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．‎ ‎【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，‎ 圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，‎ 由图象可知当P，C2，C3，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，‎ ‎|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，‎ 即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9‎ ‎【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．‎ ‎【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：‎ ‎ S k ‎ 第一次循环 log23 3‎ 第二次循环 log23•log34 4‎ 第三次循环 log23•log34•log45 5‎ 第四次循环 log23•log34•log45•log56 6‎ 第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7‎ 第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8‎ 故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（　　）‎ A． B． C． D．2﹣1‎ ‎【分析】‎ 原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=‎ ‎==‎ ‎===．‎ 故选C ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]‎ ‎【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），‎ 由=1，得，则 ‎∵||＜，∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，‎ ‎∴y2≤1‎ 同理x2≤1‎ ‎∴x2+y2≤2②‎ 由①②知，‎ ‎∵||=，∴＜||≤‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．（5分）（2013•重庆）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=　　．‎ ‎【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．‎ ‎【解答】解：|z|===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•重庆）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=　64　．‎ ‎【分析】依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，‎ ‎∴=a1•（a1+4d），又a1=1，‎ ‎∴d2﹣2d=0，公差d≠0，‎ ‎∴d=2．‎ ‎∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．‎ 故答案为：64．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　590　（用数字作答）．‎ ‎【分析】不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．‎ ‎【解答】解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，‎ ‎1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，‎ ‎1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，‎ ‎2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，‎ ‎1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，‎ ‎2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，‎ 共计20+60+120+90+180+120=590种 间接法：‎ ‎﹣﹣﹣+1=590‎ 故答案为：590．‎ ‎　‎ ‎14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：‎ ‎14．（5分）（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为　5　．‎ ‎【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．‎ ‎∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．‎ 在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．‎ 由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．‎ 故答案为5．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2013•重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=　16　．‎ ‎【分析】先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．‎ ‎【解答】解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），‎ 则|AB|=16．‎ 故答案为：16．‎ ‎　‎ ‎16．（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是　（﹣∞，8]　．‎ ‎【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，‎ 再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，‎ 故答案为：（﹣∞，8]．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（13分）（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．‎ ‎（1）确定a的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；‎ ‎（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．‎ ‎【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），‎ 令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），‎ 由切线与y轴相交于点（0，6）．‎ ‎∴6﹣16a=8a﹣6，‎ ‎∴a=．‎ ‎（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），‎ f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，‎ 当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，‎ 当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，‎ 故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2013•重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：‎ 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 ‎3红1蓝 ‎200元 二等奖 ‎3红0蓝 ‎50元 三等奖 ‎2红1蓝 ‎10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．‎ ‎（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；‎ ‎（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．‎ ‎【分析】（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求 ‎（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 ‎【解答】解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）‎ ‎∴P（A1）==‎ ‎（2）X的所有可能取值为0，10，50，200‎ P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=‎ P（X=50）=P（A3）P（B0）==‎ P（X=10）=P（A2）P（B1）==‎ P（X=0）=1﹣=‎ ‎∴X的分布列为 x ‎0‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎200‎ P EX==4元 ‎　‎ ‎19．（13分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．‎ ‎（1）求PA的长；‎ ‎（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．‎ ‎【分析】（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；‎ ‎（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．‎ ‎【解答】解：（I）如图，连接BD交AC于点O ‎∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD 以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，‎ 建立空间直角坐标系O﹣xyz，‎ 则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．‎ 又∵OD=CDsin=，‎ ‎∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）‎ 由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）‎ ‎∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），‎ ‎∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，‎ ‎∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）‎ 因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；‎ ‎（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），‎ 设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），‎ ‎∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），‎ 同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），‎ ‎∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===‎ 因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．‎ ‎【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；‎ ‎（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，‎ ‎∴由余弦定理得：cosC===﹣，‎ 又C为三角形的内角，‎ 则C=；‎ ‎（2）由题意==，‎ ‎∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，‎ 即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，‎ ‎∵C=，A+B=，cosAcosB=，‎ ‎∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，‎ ‎∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，‎ 解得：tanα=1或tanα=4．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①‎ ‎∵离心率，∴②‎ 联立①②得：，所以b2=8．‎ 把b2=8代入②得，a2=16．‎ ‎∴椭圆的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，‎ 不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．‎ 联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．‎ 由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8‎ 又P（）在椭圆上，所以．‎ 整理得，．‎ 代入t2+r2=8，得．‎ 解得：．所以，．‎ 此时．‎ 满足椭圆上的其余点均在圆Q外．‎ 由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．‎ 故所求圆Q的标准方程为．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2013•重庆）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．‎ ‎（1）求集合P7中元素的个数；‎ ‎（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．‎ ‎【分析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据Pn中有3个数与In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．‎ ‎（2）先用反证法证明证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）对于集合P7 ，有n=7．‎ 当k=1时，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7个数，‎ 当k=2时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，‎ 当k=3时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，‎ 当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}=Pn={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）‎ 与k=1时Pn中的数重复，‎ 当k=5时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，‎ 当k=6时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，‎ 当k=7时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，‎ 由此求得集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46．‎ ‎（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，‎ Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．‎ 不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，‎ 但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．‎ 再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．‎ 事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，‎ 则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．‎ 当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，‎ 可以分为下列3个稀疏集的并：‎ A2={，，，}，B2={，，}．‎ 当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，‎ 可以分为下列3个稀疏集的并：‎ A3={，，，，}，B3={，，，，}．‎ 最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，‎ 它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，‎ 因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．‎ 综上可得，n的最大值为14．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；qiss；caoqz；minqi5；沂蒙松；maths；刘长柏；wfy814；邢新丽；ywg2058；sxs123（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日