2008年海南省高考数学试卷（理）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】

2008年海南省高考数学试卷（理）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】

‎2008年海南省高考数学试卷（理）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)‎）在区间‎[0, 2π]‎的图象如图：那么ω=(‎ ‎‎)‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎2. 已知复数z=1-i，则z‎2‎‎-2zz-1‎‎=(‎        ‎‎)‎ A.‎2i B.‎-2i C.‎2‎ D.‎‎-2‎ ‎3. 如果等腰三角形的周长是底边长的‎5‎倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）‎ A.‎5‎‎18‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎7‎‎8‎ ‎4. 设等比数列‎{an}‎的公比q=2‎，前n项和为Sn，则S‎4‎a‎2‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎2‎ B.‎4‎ C.‎15‎‎2‎ D.‎‎17‎‎2‎ ‎5. 下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）‎ A.c>x B.x>c C.c>b D.‎b>c ‎6. 已知a‎1‎‎>a‎2‎>a‎3‎>0‎，则使得‎(1-aix‎)‎‎2‎<1(i=1, 2, 3)‎都成立的x的取值范围是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎(0,‎1‎a‎1‎)‎ B.‎(0,‎2‎a‎1‎)‎ C.‎(0,‎1‎a‎3‎)‎ D.‎‎(0,‎2‎a‎3‎)‎ ‎7. ‎3-sin‎70‎‎∘‎‎2-‎cos‎2‎‎10‎‎∘‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎8. 平面向量a‎→‎，b‎→‎共线的充要条件是（ ）‎ A.a‎→‎，b‎→‎方向相同 B.a‎→‎，b‎→‎两向量中至少有一个为零向量 C.‎∃λ∈R，‎b‎→‎‎=λa‎→‎ D.存在不全为零的实数λ‎1‎，λ‎2‎，‎λ‎1‎a‎→‎‎+λ‎2‎b‎→‎=‎‎0‎‎→‎ ‎9. 甲、乙、丙‎3‎位志愿者安排在周一至周五的‎5‎天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有 ‎ 8 / 8‎ ‎（ ）‎ A.‎20‎种 B.‎30‎种 C.‎40‎种 D.‎60‎种 ‎10. 由直线x=‎‎1‎‎2‎，x=2‎，曲线y=‎‎1‎x及x轴所围图形的面积为（ ）‎ A.‎15‎‎4‎ B.‎17‎‎4‎ C.‎1‎‎2‎ln2‎ D.‎‎2ln2‎ ‎11. 已知点P在抛物线y‎2‎‎=4x上，那么点P到点Q(2, -1)‎的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎(‎1‎‎4‎，-1)‎ B.‎(‎1‎‎4‎，1)‎ C.‎(1, 2)‎ D.‎‎(1, -2)‎ ‎12. 某几何体中的一条线段长为‎7‎，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为‎6‎的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎2‎‎5‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13. 已知向量知a‎→‎‎=(0, -1, 1)‎，b‎→‎‎=(4, 1, 0)‎，‎|λa‎→‎+b‎→‎|=‎‎29‎，且λ>0‎，则λ=‎________．‎ ‎14. 设双曲线x‎2‎‎9‎‎-y‎2‎‎16‎=1‎的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则‎△AFB的面积为________．‎ ‎15. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为‎3‎，底面周长为‎3‎，那么这个球的体积为________．‎ ‎16. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了‎25‎根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：‎ 甲品种：‎271 273 280 285 285‎  ‎‎287 292 294 295 301 303 303 307‎ ‎308 310 314 319 323 325 325‎‎  ‎‎328 331 334 337 352‎ 乙品种：‎‎284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318‎ ‎320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356‎ 由以上数据设计了如下茎叶图：‎ 根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：‎ ‎①________；‎ ‎②________．‎ 三、解答题（共8小题，22--24题选做其中一题，满分70分）‎ ‎17. 已知‎{an}‎是一个等差数列，且a‎2‎‎=1‎，a‎5‎‎=-5‎．‎ ‎1‎求‎{an}‎的通项an；‎ ‎2‎求‎{an}‎前n项和Sn的最大值．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎18. 如图，已知点P在正方体ABCD-‎A‎'‎B‎'‎C‎'‎D‎'‎的对角线BD‎'‎上，‎∠PDA=‎‎60‎‎∘‎．‎ ‎（1）求异面直线DP与CC‎'‎所成角的大小；‎ ‎（2）求DP与平面AA‎'‎D‎'‎D所成角的大小．‎ ‎19. A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X‎1‎和X‎2‎．根据市场分析，X‎1‎和X‎2‎的分布列分别为 X‎1‎‎ ‎ ‎5%‎‎ ‎ ‎10%‎‎ ‎ ‎ ‎ X‎2‎ ‎2%‎‎ ‎ ‎8%‎‎ ‎ ‎12%‎‎ ‎ P‎ ‎ ‎0.8‎‎ ‎ ‎ ‎‎0.2‎ ‎ ‎ P ‎ ‎‎0.2‎ ‎ ‎‎0.5‎ ‎ ‎‎0.3‎ ‎（1）在A，B两个项目上各投资‎100‎万元，Y‎1‎和Y‎2‎分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY‎1‎，DY‎2‎；‎ ‎（2）将x(0≤x≤100)‎万元投资A项目，‎100-x万元投资B项目，f(x)‎表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)‎的最小值，并指出x为何值时，f(x)‎取到最小值．（注：D(aX+b)=a‎2‎DX）‎ ‎20. 在直角坐标系xOy中，椭圆C‎1‎‎:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左、右焦点分别为F‎1‎，F‎2‎．F‎2‎也是抛物线C‎2‎‎:y‎2‎=4x的焦点，点M为C‎1‎与C‎2‎在第一象限的交点，且‎|MF‎2‎|=‎‎5‎‎3‎．‎ ‎（1）求C‎1‎的方程；‎ ‎（2）平面上的点N满足MN‎→‎‎=MF‎1‎‎→‎+‎MF‎2‎‎→‎，直线l // MN，且与C‎1‎交于A，B两点，若OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=0‎，求直线l的方程．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎21. 设函数f(x)=ax+‎1‎x+b(a, b∈Z)‎，曲线y=f(x)‎在点（‎2, f(2)‎）处的切线方程是y=3‎．‎ ‎（1）求y=f(x)‎的解析式；‎ ‎（2）证明：函数y=f(x)‎的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；‎ ‎（3）证明：曲线y=f(x)‎上任意一点的切线与直线x=1‎和直线y=x所围成的三角形的面积是定值，并求出这个定值．‎ ‎22. 如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P．‎ ‎（1）证明：OM⋅OP＝OA‎2‎；‎ ‎（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：‎∠OKM＝‎90‎‎∘‎．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎23. 自选题：已知曲线C‎1‎‎:‎x=cosθy=sinθ（θ为参数），曲线C‎2‎‎:‎x=‎2‎‎2‎t-‎‎2‎y=‎2‎‎2‎t（t为参数）．‎ ‎（1）指出C‎1‎，C‎2‎各是什么曲线，并说明C‎1‎与C‎2‎公共点的个数；‎ ‎（2）若把C‎1‎，C‎2‎上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C‎1‎‎'‎，C‎2‎‎'‎．写出C‎1‎‎'‎，C‎2‎‎'‎的参数方程．C‎1‎‎'‎与C‎2‎‎'‎公共点的个数和C与C‎2‎公共点的个数是否相同？说明你的理由．‎ ‎24. 自选题：已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|‎．‎ ‎（1）作出函数y=f(x)‎的图象；‎ ‎（2）解不等式‎|x-8|-|x-4|>2‎．‎ ‎ 8 / 8‎ 参考答案与试题解析 ‎2008年海南省高考数学试卷（理）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.B ‎2.B ‎3.D ‎4.C ‎5.A ‎6.B ‎7.C ‎8.D ‎9.A ‎10.D ‎11.A ‎12.C 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.‎‎3‎ ‎14.‎‎32‎‎15‎ ‎15.‎‎4π‎3‎ ‎16.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度,乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度 三、解答题（共8小题，22--24题选做其中一题，满分70分）‎ ‎17.解：‎1‎设‎{an}‎的公差为d，由已知条件，‎a‎1‎‎+d=1，‎a‎1‎‎+4d=-5，‎ 解出a‎1‎‎=3‎，d=-2‎，所以an‎=a‎1‎+(n-1)d=-2n+5‎．‎ ‎2‎Sn‎=na‎1‎+n(n-1)‎‎2‎d=-n‎2‎+4n=4-(n-2‎‎)‎‎2‎‎．‎ 所以n=2‎时，Sn取到最大值‎4‎．‎ ‎18.解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．‎ 则DA‎→‎‎=(1,0,0)‎，CC‎'‎‎→‎‎=(0,0,1)‎．‎ 连结BD，B‎'‎D‎'‎．‎ 在平面BB‎'‎D‎'‎D中，延长DP交B‎'‎D‎'‎于H．‎ 设DH‎→‎‎=(m,m,1)(m>0)‎，‎ 由‎⟨DH‎→‎,DA‎→‎⟩=‎‎60‎‎∘‎，及DH‎→‎‎⋅DA‎→‎=|DH‎→‎||DA‎→‎|cos⟨DH‎→‎,DA‎→‎⟩‎，‎ 可得‎2m=‎‎2m‎2‎+1‎，‎ 解得m=‎‎2‎‎2‎，‎ 所以DH‎→‎‎=‎‎2‎‎2‎‎,‎2‎‎2‎,1‎．‎ ‎（1）因为cos⟨DH‎→‎,CC‎'‎‎→‎⟩=‎1‎‎1×‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎，‎ 所以‎⟨DH‎→‎,CC‎'‎‎→‎⟩=‎‎45‎‎∘‎，‎ 即异面直线DP与CC‎'‎所成的角为‎45‎‎∘‎．‎ ‎（2）平面AA‎'‎D‎'‎D的一个法向量是DC‎→‎‎=(0,1,0)‎．‎ 因为cos⟨DH‎→‎,DC‎→‎⟩=‎2‎‎2‎‎×0+‎2‎‎2‎×1+1×0‎‎1×‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 所以‎⟨DH‎→‎,DC‎→‎⟩=‎‎60‎‎∘‎．‎ 即DP与平面AA‎'‎D‎'‎D所成的角为‎30‎‎∘‎．‎ ‎19.解：（1）∵ Y‎1‎和Y‎2‎分别表示投资项目A和B所获得的利润，‎ ‎ 8 / 8‎ 根据两个投资项目的利润率分别为随机变量X‎1‎和X‎2‎的分布列 可以得到Y‎1‎和Y‎2‎的分布列分别为 Y‎1‎‎ ‎ ‎5‎ ‎10‎ Y‎2‎ ‎2‎ ‎8‎‎ ‎ ‎12‎ P‎ ‎ ‎0.8‎‎ ‎ ‎0.2‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ EY‎1‎=5×0.8+10×0.2=6‎‎，‎ DY‎1‎=(5-6‎)‎‎2‎×0.8+(10-6‎)‎‎2‎×0.2=4‎‎，‎ EY‎2‎=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8‎‎，‎ DY‎2‎=(2-8‎)‎‎2‎×0.2+(8-8‎)‎‎2‎×0.5+(12-8‎)‎‎2‎×0.3=12‎‎．‎ ‎（2）‎f(x)=D(x‎100‎Y‎1‎)+D(‎100-x‎100‎Y‎2‎)‎ ‎=(x‎100‎‎)‎‎2‎DY‎1‎+(‎100-x‎100‎‎)‎‎2‎DY‎2‎ ‎=‎4‎‎100‎‎2‎[x‎2‎+3(100-x‎)‎‎2‎]‎ ‎=‎4‎‎100‎‎2‎(4x‎2‎-600x+3×‎100‎‎2‎)‎‎，‎ 当x=‎600‎‎2×4‎=75‎时，‎ f(x)=3‎为最小值．‎ ‎20.解：（1）由C‎2‎‎:y‎2‎=4x知F‎2‎‎(1, 0)‎．‎ 设M(x‎1‎, y‎1‎)‎，M在C‎2‎上，因为‎|MF‎2‎|=‎‎5‎‎3‎，‎ 所以x‎1‎‎+1=‎‎5‎‎3‎，得x‎1‎‎=‎‎2‎‎3‎，y‎1‎‎=‎‎2‎‎6‎‎3‎．M在C‎1‎上，且椭圆C‎1‎的半焦距c=1‎，‎ 于是‎4‎‎9‎a‎2‎‎+‎8‎‎3‎b‎2‎=1‎b‎2‎‎=a‎2‎-1.‎ 消去b‎2‎并整理得‎9a‎4‎-37a‎2‎+4=0‎，解得a=2‎（a=‎‎1‎‎3‎不合题意，舍去）．‎ 故椭圆C‎1‎的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎．‎ ‎（2）由MF‎1‎‎→‎‎+MF‎2‎‎→‎=‎MN‎→‎知四边形MF‎1‎NF‎2‎是平行四边形，其中心为坐标原点O，‎ 因为l // MN，所以l与OM的斜率相同，‎ 故l的斜率k=‎2‎‎6‎‎3‎‎2‎‎3‎=‎‎6‎．设l的方程为y=‎6‎(x-m)‎．‎ 由‎3x‎2‎+4y‎2‎=12‎y=‎6‎(x-m)‎ 消去y并化简得‎9x‎2‎-16mx+8m‎2‎-4=0‎．‎ 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎16m‎9‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎8m‎2‎-4‎‎9‎．‎ 因为OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎，所以x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎．‎ x‎1‎x‎2‎‎+‎y‎1‎y‎2‎ ‎=x‎1‎x‎2‎+6(x‎1‎-m)(x‎2‎-m)‎ ‎=7x‎1‎x‎2‎-6m(x‎1‎+x‎2‎)+6‎m‎2‎ ‎=7⋅‎8m‎2‎-4‎‎9‎-6m⋅‎16m‎9‎+6m‎2‎=‎1‎‎9‎(14m‎2‎-28)=0‎‎．‎ 所以m=±‎‎2‎．此时‎△=(16m‎)‎‎2‎-4×9(8m‎2‎-4)>0‎，‎ 故所求直线l的方程为y=‎6‎x-2‎‎3‎，或y=‎6‎x+2‎‎3‎．‎ ‎21.解：（1）f'(x)=a-‎‎1‎‎(x+b‎)‎‎2‎，‎ 于是‎2a+‎1‎‎2+b=3‎a-‎1‎‎(2+b‎)‎‎2‎=0‎ 解得a=1‎b=-1‎或a=‎‎9‎‎4‎b=-‎8‎‎3‎.‎ 因a，b∈Z，故f(x)=x+‎‎1‎x-1‎．‎ ‎（2）证明：已知函数y‎1‎‎=x，y‎2‎‎=‎‎1‎x都是奇函数．‎ 所以函数g(x)=x+‎‎1‎x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．‎ ‎ 8 / 8‎ 而f(x)=x-1+‎1‎x-1‎+1‎．可知，函数g(x)‎的图象按向量a=(1, 1)‎平移，即得到函数f(x)‎的图象，‎ 故函数f(x)‎的图象是以点‎(1, 1)‎为中心的中心对称图形．‎ ‎（3）证明：在曲线上任取一点‎(x‎0‎，x‎0‎+‎1‎x‎0‎‎-1‎)‎．‎ 由f'(x‎0‎)=1-‎‎1‎‎(x‎0‎-1‎‎)‎‎2‎知，过此点的切线方程为y-x‎0‎‎2‎‎-x‎0‎+1‎x‎0‎‎-1‎=[1-‎1‎‎(x‎0‎-1‎‎)‎‎2‎](x-x‎0‎)‎．‎ 令x=1‎得y=‎x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎，切线与直线x=1‎交点为‎(1,x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎)‎．‎ 令y=x得y=2x‎0‎-1‎，切线与直线y=x交点为‎(2x‎0‎-1, 2x‎0‎-1)‎．‎ 直线x=1‎与直线y=x的交点为‎(1, 1)‎．‎ 从而所围三角形的面积为‎1‎‎2‎‎|x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎-1||2x‎0‎-1-1|=‎1‎‎2‎|‎2‎x‎0‎‎-1‎||2x‎0‎-2|=2‎．‎ 所以，所围三角形的面积为定值‎2‎．‎ ‎22.因为MA是圆O的切线，‎ 所以OA⊥AM，又因为AP⊥OM，‎ 在Rt△OAM中，由射影定理知OA‎2‎＝OM⋅OP，‎ 故OM⋅OP＝OA‎2‎得证．‎ 因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同（1）有：‎ OB‎2‎‎＝ON⋅OK，又OB＝OA，‎ 所以OM⋅OP＝ON⋅OK，即ONOP‎=‎OMOK，又‎∠NOP＝‎∠MOK，‎ 所以‎△ONP∼△OMK，‎ 故‎∠OKM＝‎∠OPN＝‎90‎‎∘‎．‎ 即有：‎∠OKM＝‎90‎‎∘‎．‎ ‎23.解：（1）C‎1‎是圆，C‎2‎是直线．C‎1‎的普通方程为x‎2‎‎+y‎2‎=1‎，‎ 圆心C‎1‎‎(0, 0)‎，半径r=1‎．C‎2‎的普通方程为x-y+‎2‎=0‎．‎ 因为圆心C‎1‎到直线x-y+‎2‎=0‎的距离为‎1‎，‎ 所以C‎2‎与C‎1‎只有一个公共点．‎ ‎（2）压缩后的参数方程分别为C‎1‎‎':‎x=cosθy=‎1‎‎2‎sinθ（θ为参数）；‎ C‎2‎‎':‎x=‎2‎‎2‎t-‎‎2‎y=‎2‎‎4‎t‎（t为参数）．‎ 化为普通方程为：C‎1‎‎':x‎2‎+4y‎2‎=1‎，C‎2‎‎':y=‎1‎‎2‎x+‎‎2‎‎2‎，‎ 联立消元得‎2x‎2‎+2‎2‎x+1=0‎，‎ 其判别式‎△=(2‎2‎‎)‎‎2‎-4×2×1=0‎，‎ 所以压缩后的直线C‎2‎‎'‎与椭圆C‎1‎‎'‎仍然只有一个公共点，和C‎1‎与C‎2‎公共点个数相同．‎ ‎24.解：（1）‎f(x)=‎‎4‎x≤4‎‎-2x+12‎‎48‎ 图象如下：‎ ‎（2）不等式‎|x-8|-|x-4|>2‎，即f(x)>2‎，观察知当‎4

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