山东省青岛第二中学2018-2019学年高三下学期2月月考考试数学（理）试题

山东省青岛第二中学2018-2019学年高三下学期2月月考考试数学（理）试题

山东省青岛第二中学2019届高三下学期期初（2月）考试数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知全集为，集合，，则( )‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由运算法则先求，再求 ‎【详解】，，‎ 则或，‎ 则或，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题 ‎2.复数，是虚数单位，则下列结论正确的是 A. B. 的共轭复数为 C. 的实部与虚部之和为1 D. 在复平面内的对应点位于第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．‎ ‎【详解】由题意，‎ 则，的共轭复数为，‎ 复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D．‎ ‎【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．‎ ‎3.命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝‎0”‎的否命题是(　　)‎ A. 若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0‎ B. 若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0‎ C. 若x2＋y2≠0，则x，y都不为0‎ D. 若x2＋y2＝0，则x，y都不为0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用四种命题的逆否关系写出命题的否命题即可．‎ ‎【详解】否命题既否定条件又否定结论．‎ ‎∴命题若“x2+y2=0，则x=y=‎0”‎的否命题是：若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0． 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否命题的写法，基本知识的考查．‎ ‎4.已知角α和角β终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α＝(　　)‎ A. － B. C. － D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】不妨取α∈[0,2π),则由角α和角β的终边关直线y＝x对称,且 ，‎ 可得 ‎ 本题选择D选项.‎ ‎5.若x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为（　　）‎ A. ﹣1 B. ﹣‎2 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是线性规划问题，根据二元一次不等式组，作出约束条件的可行域，用目标函数求解最优解.‎ ‎【详解】由画出可行域，如图.‎ 取直线，平移经过点时，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】将每一个二元一次不等式中不等号改写成等号，依次在平面直角坐标中画出直线，并根据不等式的符号确定不等式所表达的平面区域，这就是可行域的画法.‎ ‎6.已知函数，则不等式的解集是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，‎ 又由，即函数定义域上的奇函数，‎ 又由不等式可转化 ‎ 即，即，解得，‎ 即不等式的解集为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎7.如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为 A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值．‎ ‎【详解】选取为基底，‎ 则，‎ 又，‎ 将以上两式比较系数可得．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题 ‎（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，合理地选择基底会给解题带来方便；‎ ‎（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算；‎ ‎（3）一个向量按照同一组基底进行分解后，所得结果具有唯一性．‎ ‎8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为 ‎.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.‎ ‎9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率.‎ ‎【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为，最大正方形的边长为，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.‎ ‎10.如图，在长方体中，,而对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接并求出，就 是最小值．‎ ‎【详解】把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接．就是的最小值，‎ ‎，，．‎ 所以 故选．‎ ‎【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．‎ ‎11.已知双曲线：（，）的一条渐近线为，圆：与交于，两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 双曲线渐近线为，圆的圆心为，半径，由于，由勾股定理得，故，在中，由余弦定理得，解得.根据圆心到直线的距离为，有，结合解得，故离心率为.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查双曲线的概念与基本性质，考查圆的概念与几何性质.由于圆和双曲线的渐近线相交，故先求出渐近线的方程，根据三角形为等腰直角三角形和半径，可求得三边的长度，再根据向量的数量关系求得的值，利用余弦定理建立方程，求解出的值，再利用点到直线距离公式求得的值，进而求得离心率.‎ ‎12.已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）‎ A. B. C. -2 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用导数研究函数的单调性可证明函数存在唯一零点，即，可得在有零点，由可得结果.‎ 详解：，‎ 当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，，‎ 即函数存在唯一零点，即，‎ ‎，即在有零点，‎ ‎①若，即，‎ 此时的零点为，显然符合题意；‎ ‎②（i）若，即或，‎ 若在只有一个零点，则；‎ ‎（ii）若在只有两个零点，‎ 则，解得，‎ 即的最小值为，故选D.‎ 点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.已知向量，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以先将采用坐标表示出来，再通过解出的值，‎ 最后得出值．‎ ‎【详解】因为 所以，‎ 因为 所以解得 既有 ‎【点睛】本题考察的是向量的乘积，若有，则有 ‎14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环语句，依次先计算出对应值，发觉数值成周期性循环，，则当时，求出对应的即可 ‎【详解】模拟执行程序框图，可得 ‎，‎ ‎，‎ 不满足条件，，‎ 不满足条件，，‎ 不满足条件，，‎ ‎…‎ 不满足条件，，‎ 不满足条件，，‎ 满足条件，退出循环，输出A的值为3.‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图中输出值的计算，属于基础题 ‎15.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1，一个2，两个3，两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出全排列的情况：，再分两种情况讨论，一种是只出现或捆绑的情况，另一种是既有又有捆绑的情况，结合全排列和插空法可求出，最后由古典概型公式即可求解 ‎【详解】由一个1、一个2、两个3、两个4这六个数字组成的所有不同的六位数个数为个；只有33相邻时，我们可先将1,2,33全排列，再将4,4插空，共有个，同理，只有44相邻时，也有36个；若33,44同时出现，则相当于两两捆绑，共有种全排列，即24个，合计36+36+24=96个，故抽到“兄弟数”的概率为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查排列组合公式的应用，捆绑法与插空法的应用，属于中档题 ‎16.在中，为的中点，，，，点与点在直线的异侧，且，则平面四边形的面积的最大值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：首先判断出点P所在的位置具备什么样的条件，之后将四边形分成两个三角形来处理，由于一个三角形是定的，所以四边形的面积最大转化为三角形的面积最大，从而得到点P到AC距离最大，之后再转化为点B到AC的距离最小，综合得到BP和AC垂直时即为所求，从而求得结果.‎ 详解：根据题意可以求得，‎ 所以，则点到边的距离为，‎ 因为点与点在直线的异侧，且，‎ 所以点在以为圆心，以2为半径的圆上，‎ 只有当点到线距离最大时，满足面积最大，‎ 此时就是到线距离最小时，此时到线距离为，‎ 此时四边形的面积分成两个小三角形的面积来求，.‎ 点睛：该题考查的是有关动四边形的面积的最大值的求解问题，在解题的过程中，关键的一步是转化为点B到AC距离最短时即为所求，从而得到此时BP和AC垂直，所以，在求解的时候，可以找四边形的面积，而不是化为两个三角形的面积和，应用四边形的两条对角线互相垂直，从而利用公式求得结果.‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17.已知数列是等差数列，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，，第项，按原来的顺序组成一个新数列，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由条件可以判断出数列是递增数列，再由等差数列的性质： 可以求得 ，然后根据等差数列通项公式即可求解.‎ ‎(2)由（1）可得数列 的通项公式，然后利用分组求和即可求解.‎ ‎【详解】（1）等差数列中，，‎ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知，，，…，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减；解题中需要熟练掌握公式和性质，对计算能力要求较高.‎ ‎18.如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（ⅠⅠ）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）连接交于，得，所以面，又 ，‎ 得面，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；‎ ‎（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量 ，利用向量和向量夹角公式，即可求解与平面所成角的正弦值．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）连接BD交AC于O，易知O是BD的中点，故OG//BE，BE面BEF，OG在面BEF外，所以OG//面BEF；‎ 又EF//AC，AC在面BEF外，AC//面BEF，又AC与OG相交于点O，面ACG有两条相交直线与面BEF平行，故面ACG∥面BEF；‎ ‎（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则， ， ，， ，，，‎ 设面ABF的法向量为，依题意有，，令，，，，，‎ 直线AD与面ABF成的角的正弦值是． ‎ ‎19.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略，在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如图：‎ ‎（1）若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，求x，y的值；‎ ‎（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期中任取4天，记其中游客数超过120人的天数为，求概率；‎ ‎（3）现从如图所示的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为，求的分布列和期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）10位数中位数为第5位和第6位数之和除以2，找出数值计算即可；‎ ‎（2）由题意判断该分布符合二项分布，结合二项分布公式求解即可；‎ ‎（3）由题分别求出景点甲中被选出的概率为，在景点乙中被选出的概率为，判断知的所有可能的取值为0，1，2，由相互独立事件的乘法公式计算求出对应概率，列出分布列，即可求出期望 ‎【详解】（1）景点甲中的数据的中位数是125，可得，景点乙中的数据的平均数是124，可得，解得；‎ ‎（2）由题意知：因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为，‎ 任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有次发生，‎ 故随机变量服从二项分布，则 ‎，‎ ‎（3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为，在景点乙中被选出的概率为.‎ 由题意知：的所有可能的取值为0，1，2.‎ 则，‎ 所以得分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎.‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图中由中位数，平均数计算具体某一项数值，二项分布求解概率，求解离散型随机变量对应的期望和方差，属于中档题 ‎20.对称轴为坐标轴的椭圆的焦点为，，在上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设不过原点的直线与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列，则当的面积为时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）直线的方程为：或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的方程为 ，由椭圆的定义求 ‎，进而得到椭圆标准方程；（2）设，.由题意将直线方程与椭圆方程联立，得，，又，，的斜率依次成等比数列，解得，由，到直线的距离， ，解得，得直线方程 ‎【详解】（1）设椭圆的方程为 ，‎ 由题意可得，又由，得，故，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）设，.‎ 由题意直线的方程为：，‎ 联立得，‎ ‎ ，化简，得①‎ ‎②，③‎ 直线，，的斜率依次成等比数列，，‎ ‎，化简，得 ‎，，又，，‎ 且由①知. ‎ 原点到直线的距离.‎ ‎ ，解得（负舍）或 ‎（负舍）.‎ 直线方程为：或.‎ ‎【点睛】对题目涉及的变量巧妙地引进参数（如设点坐标，直线方程等），利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到设而不求的效果 ‎21.已知函数 . ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若存在，使成立，求整数的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）5.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)求导，分类讨论时三种情况的单调性(2)分离含参量，构造新函数，，求导算出零点的范围，从而求出结果 解析：（1）由题意可知，，，‎ 方程对应的，‎ 当，即时，当时，，‎ ‎∴在上单调递减； ‎ 当时，方程的两根为，‎ 且 ， ‎ 此时，在上，函数单调递增，‎ 在上，函数单调递减；‎ 当时，，， ‎ 此时当，单调递增，‎ 当时，，单调递减； ‎ 综上：当时，，单调递增，当时， 单调递减；‎ 当时，在上单调递增，‎ 在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减； ‎ ‎（2）原式等价于，‎ 即存在，使成立．‎ 设，，‎ 则， ‎ 设，‎ 则，∴在上单调递增．‎ 又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为， 则，且 ‎，即，‎ ‎∴ ‎ 由题意可知，又，，∴的最小值为.‎ 点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果．‎ ‎22.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）．‎ ‎（1）求直线和曲线的普通方程；‎ ‎（2）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据极直互化的公式得到直线方程，根据参普互化的公式得到曲线C的普通方程；（2）联立直线的参数方程和曲线得到关于t的二次， .‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ），‎ 化为，‎ 即的普通方程为，‎ 消去，得的普通方程为.‎ ‎（Ⅱ）在中令得，‎ ‎∵，∴倾斜角，‎ ‎∴的参数方程可设为即，‎ 代入得，，∴方程有两解，‎ ‎，，∴，同号，‎ ‎ .‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知不等式的解集为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】解：（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将绝对值不等式两边同时平方，将其转化为一元一次不等式，再根据不等式解集的端点值即为相对应方程的解可得 ；（2）将代入将原题转化为对恒成立，令求出其值域即可得的取值范围.‎ 试题解析：（1）由得,即,‎ 而不等式的解集为,‎ 则是方程的解，解得舍去).‎ ‎（2）不等式对恒成立等价于，不等式对恒成立，‎ 设，‎ 则.‎